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第四节  数列求通项方法

课中讲解

考点一.递推公式为与的关系式。(或)

解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。

例1.已知数列前n项和.

（1）求与的关系；（2）求通项公式.

变式1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an  

例2.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.

变式2.已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求{an}通项公式．

例3．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．求证：数列是等比数列．

变式3．数列满足，

    (1) 求的值； (2) 求数列前项和；

考点二.累加法 

 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1.已知数列满足，，求。

变式1．已知数列中，满足,求数列的通项公式．

例2．已知数列中，满足,求数列的通项公式．

变式2.已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,   a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；

（II）求{ an}的通项公式.

考点三.累乘法   

 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1.已知数列满足，，求。

变式1.已知， ，求。

例2.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项  

考点四．构造等差、等比数列（构造法）

构造法主要解决形如类型的问题，其基本策略是对进行变形，使其可以变为一个新的等比或等差数列，求出新的等差或等比数列的通项公式，进而求出的通项公式．

类型1. （其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例1.已知数列中，，，求.

变式1．已知数列{an}满足a1＝1，，求的通项公式．

例2．已知数列{an}的前n项和满足，求的通项公式．

变式2.已知数列满足

（I）求数列的通项公式；

（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；

（Ⅲ）证明：

类型2： （其中p，q均为常数，）。    （或,其中p，q,  r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决

例1.已知数列满足，求数列的通项公式。

例2.设数列的前项的和，

（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：

类型3

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例1设数列：，求.

变式1已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… 

(Ⅰ)令

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出  若不存在,则说明理由

类型4 递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为

其中s，t满足

解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

例1.数列：， ，求数列的通项公式。

变式1.已知数列中，,,，求。

变式2.已知数列满足

（I）证明：数列是等比数列；

（II）求数列的通项公式；

（III）若数列满足证明是等差数列 

类型5

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

例：已知数列｛｝中，，求数列

解：由两边取对数得，

令，则，再利用待定系数法解得：。

例1.已知数列

（1）证明

（2）求数列的通项公式an.

变式1.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）              证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）              设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 

类型5

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例1.已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。

变式1.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？说明理由．

例2．求数列的通项公式.

变式2．已知数列{an}满足a1＝3，anan－1＝2an－1－1(n≥2)．

(1)求a2，a3，a4；(2)求证：数列是等差数列，并写出{an}的一个通项公式．

类型6双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例1.已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.

类型7周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例1.若数列满足，若，则的值为___________。

变式1.已知数列满足，则= （    ）

 A．0 B． C． D．

课后习题

一．单选题

1.已知数列 满足 ，，则 等于(　　)

A． B． C． D．

2.已知 ，，则数列 的通项公式 (　　)

A．
B．
C．
D．

3.已知数列 满足 ，，则 (　　)

A．               B．              
C． D．

4.已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则   (　　)

A．  B．  C．  D．

5.数列 的前 项和 ，则 的通项公式为(　　)

A．　　　　　　             
B．
C．
D．

6.在数列 中， ， ，则 (　　)

A．
B．
C．
D．

7.数列中，，，则的值为(　　)

A． B． C． D．

8.数列 满足 ，，并且 ，则数列的第 项为(　　)

A．
B．
C．
D．

9.已知中，，，则数列的通项公式是(　　)

A．
B．
C．
D．

10.已知，则(　　)

A． B．
C． D．

二.填空题

11.设数列 的 项和为 ，且 ， 为等差数列，则 的通项公式 ________

12.在数列 中，，，则通项 _________________．

13.已知数列满足，且，则________

14.在数列 中，．若点 在直线 上，则 ________．

三.解答题

15.数列 的前 项和是 ，，．

(1) 求证数列 为等差数列，并分别写出 和 关于 的表达式；

(2) 设数列 的前 项和 ，求 ；

(3) 是否存在自然数 值得 ？若存在求出 值；若不存在，说明理由．

16.已知数列 中，，，数列 满足 求数列 的通项公式；

17.设 为数列 的前 项和，且 ，．

(1) 求数列 的通项公式；

(2) 求数列 的前 项和 ．