江苏省南京秦淮区四校联考2020-2021学年11月10日八年级 期中数学卷

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一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1．以下四家银行的行标图中，是轴对称图形的有()
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2．以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是()
2
3
5
A．9，16，25B．，，
C．0.2，0.3，0.5D． 1 ， 1 ， 1
345
3．如图， △ABD≌△ACE ，若 AB  13 ， AE  7 ，则CD 的长度为() A．20B．13C．7D．6
（第 3 题图）（第 4 题图）（第 6 题图）
4．如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形 ABCD ）关于 BD 所在的直线对称， AC 与
BD 相交于点O ，且 AB  AD ，则下列判断不正确的是()
A． △ABD≌△CBD C． △AOB≌△COB
B． △ABC≌△ADC D． △AOD≌△COD
5．下列说法：①角平分线上的点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；④等腰三角形的一边长为 8，一边长为 16，那么它的周长是 32 或 40．其中，所有正确说法的序号是( )
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
6． 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE  AB ，垂足为 E ，S△ABC  7 ，DE  2 ，AB  4 ， 则 AC 长是()
A．6B．5C．4D．3
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
7．一个三角形的三条边长分别为 4、7、 x ，另一个三角形的三条边分别为 y 、4、6，若这两个三角形全等，则 x  y  ．
8．若一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，且满足a  b2  c2  2ab ，则这个三角形是
三角形．
9．已知△ABC≌△DEF ， BC  EF  10 cm ，若DEF 的面积是40cm2 ，则△ABC 中 BC 边上的高是cm ．
10．若一直角三角形的两直角边长分别为 6 cm 和 8 cm ，则斜边上中线的长度是cm ．
11．若等腰三角形的一个角等于50 ，那么它的顶角的度数是 ．
12．如图， C  90 ， BAD  CAD ，若 BC  10 cm ， BD  6 cm ，则点 D 到 AB 的距离为cm ．
（第 12 题图）（第 13 题图）（第 14 题图）
13．如图，要为一段高 5 m ，长 13 m 的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯m ．
14．如图，在ABC 中， AB  AC  5 cm ， BC  6 cm ， M 为 BC 中点， MN  AC ，垂足为
N ，则 MN =cm ．
15．如图，线段 AB 、 BC 的垂直平分线l1 、l2 相交于点O ，若AOC  82 ，则1  ．
16．如图，圆柱形容器高为 1.2 m ，底面周长为 1 m ，在容器内．壁．距离容器底部 0.3 m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外．壁．，距离容器上沿 0.3 m 与蚊子相．对．的点 A 处， 则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为 m ．（不计壁厚）.
（第 15 题图）（第 16 题图）
三、作图题（本大题共 2 小题，共 12 分）
17．（6 分）如图，在长度为 1 个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A 、 B 、C 在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC 关于直线l 成轴对称的△ ABC ；
（2）如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么以 AC 为边作可作出 个与△ABC 全等的格点三角形；
（3）在直线l 上找一点 P ，使 PB  PC 的长最短．
18．（6 分）近年来，南京市秦淮区逐步在“南部新城”引进优质教育资源．现计划在 A 、B两楼盘之间设立一所名校的分校 P， A 、B 两楼盘坐落在两条相交公路CD 、CE 旁（如图所示）．名校的分校 P 必须适合下列条件：①使其到两公路CD 、CE 距离相等；②到 A 、
B 两楼盘的距离也相等．请确定该名校分校 P 的位置．（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法）
四、解答题（本大题共 3 小题，共 18 分）
19．（6 分）已知： 如图，C 是 AB 的中点，AE  BD ，A  B ． 求证：ACE  BCD ．
20．（6 分）如图，在△ABC 中， AB 、 AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D 、 E ．
（1）若 BC  10 ，求△ADE 的周长；
（2）若BAC  130 ，求DAE 的度数．
（第 20 题图）
21．（6 分）学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆 AB 的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1m （如图①），小明拉着绳子的末端往后退，当他将绳子拉直时，小华测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD 为1m ， 到旗杆的距离CE 为8m ，（如图②）．请你求出旗杆 AB 的高度．
图①图②
（第 21 题图）
五、思考与探究题（本大题共 4 小题，共 38 分）
22．（6 分）王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a 、b 、c 与n 之间的关系，并用含自然数n(n  1) 的代数式表示：a  ，
b  ， c  ．
（2）猜想：以a ， b ， c 为边的三角形是否是直角三角形？为什么？
n
2
3
4
5

a
22 1
32  1
42 1
52  1

b
4
6
8
10

c
22  1
32  1
42  1
52  1

23．（10 分）我们在学习“ §2.5 等腰三角形的轴对称性”时，有一个思考：“如图，在 Rt△ABC中，ACB  90 ，如果B  30 ，那么 AC 与 AB 有怎样的数量关系？”请你写出 AC 与
AB 所满足的数量关系并用两种不同的方法进行证明．
法一：
法二：
24．（10 分）已知：在ABC 中， D 是ABC 平分线上一点， E 、 F 分别在 AB 、 BC 上，且 DE  DF ． 试判断BED 与BFD 的关系并证明．
解： BED  BFD ，
证明如下：如图：过点 D 作 DM  AB ， DN  BC ，垂足分别为 M 、 N ，
△DEM 和△DFN 是直角三角形，
 BD 是ABC 的平分线， DM  AB ， DN  BC ，
 DM  DN ．
在 Rt△DEM 与 Rt△DFN 中，
DE  DF

∴ Rt△DEM ≌ Rt△DFN （HL）
MED  NFD ，
BED  BFD ．
DM  DN ，
下面方框中是小明的判断与证明：
数学老师认为小明的判断不完整，请你认真思考给出完整的判断并证明．
25．（12 分）阅读下列材料，完成探究过程：
若规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．那么，我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．
【初步思考】
在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足 4 个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地， 我们容易知道两个四边形全等至少需要 5 个条件．
某探究小组的同学在探究时发现：如果对图中的四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 先给出如下条件：AB  A1B1 、B  B1 、BC  B1C1 ，并在此基础上又给出“ AD  A1D1 ，CD  C1D1 ” 两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形 ABCD ≌四边形 A1B1C1D1 ”．
请根据他们给出的条件，说明“四边形 ABCD ≌四边形 A1B1C1D1 ”的理由．
【深入探究】：
（1）若在条件“ AB  A1B1 、B  B1 、BC  B1C1 ”的基础上，又添加两个条件“ AD  A1D1 、
BCD  B1C1D1 ”.满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形 ABCD
≌四边形 A1B1C1D1 ．
（2）在条件“ AB  A1B1 、B  B1 、 BC  B1C1 ”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于【初步思考】中给出过的条件），使四边形 ABCD ≌四边形 A1B1C1D1 .你添加的条件是① ，② ．
（3）由以上探究过程，该小组的同学们得出结论：“四条边和一个角对应相等的两个四边形一定全等”，但是“三条边和二个角对应相等的两个四边形不一定全等”.
随着进一步探究，该小组的同学们发现也可以对“二条边和三个角对应相等”进一步分
类，如以四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 为例，可以分为以下几类：
① AB  A1B1 ， AD  A1D1 ， A  A1 ， B  B1 ， C  C1 ；
② AB  A1B1 ， AD  A1D1 ， A  A1 ， B  B1 ， D  D1 ；
③ AB  A1B1 ， AD  A1D1 ， B  B1 ， C  C1 ， D  D1 ；
④ AB  A1B1 ， CD  C1D1 ， A  A1 ， B  B1 ， C  C1 ．
上述分类中能判定四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 全等的是 （填序号），概括可得“全 等四边形的判定方法”，这个判定方法是 ．