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物理必修 第二册2 向心力教学设计
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这是一份物理必修 第二册2 向心力教学设计，共41页。
56 向心力
〖精讲精练〗
〖知识精讲〗
知识点1、向心力
（1）向心力的定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
（2）向心力的大小：F=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=mr（2πn）2
（3）向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力的始终与线速度垂直。所以向心力的作用效果只改变物体的速度方向而不改变物体的速度大小。
（4）向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的。凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。
〖例1〗如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是：
θ
O
A
B
C
A、 绳的拉力。
B、 重力和绳的拉力的合力。
C、 重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力。
D、绳的拉力和重力沿绳方向的合力。
〖思路分析〗本题考查向心力和绳子的有关知识。如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。故选CD。
〖答案〗CD
〖总结〗非匀速圆周运动，绳的拉力一重力的合力不是向心力。
〖变式训练1〗质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是：
A、0 B、mg C、3mg D、5mg
〖答案〗C
知识点2：变速圆周运动和一般的曲线运动
（1）变速圆周运动物体所受的合力，并不指向圆心。这一合力F可以分解为互相垂直的两个力；跟圆周相切的分力FT和指向圆心方向的分力Fn。
Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向。
FT产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。
仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同是时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动。
说明：①变速圆周运动中，向心加速度和向心力的大小和方向都变化。]
②变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an=v2/r 、an=rω2和
Fn= mv2/r、Fn= mrω2公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度。
③物体做匀速圆周运动的条件：物体做匀速圆周运动所需向心力或所需向心加速度由物体的运动情况来决定。当所需向心力（mv2/r、mrω2）与合力提供的向心力达到相对“供需平衡”（即F供=F需）时，物体才做匀速圆周运动。
（2）一般曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线。
一般的曲线运动可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。
注意：圆周运动的力学问题一般解题方法：
① 确定做圆周运动的物体为研究对象。
② 确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径及轨道
③ 按通常的方法，对研究对象进行受力分析，从中确定出向心力的来源。
④ 选用合适的向心力公式，建立方程来求解，有些问题需运用几何知识建立辅助方程来帮助求解。
〖例2〗如图所示，细绳一端系着质量为M=0。6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0。3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0。2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴转动。问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？（g=10m/s2）
m
M
〖思路分析〗当ω具有最小值时，M有向着圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向背离圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2N，对于M：FT- Fm=Mrω12 ， FT =mg
ω1= 代入数据得ω1=2。9rad/s
当ω具有最大值时，M有背离圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2N，对于M：FT+Fm=Mrω22 ， FT =mg
ω2=代入数据得ω2=6。5rad/s
〖答案〗2。9rad/s<ω<6。5rad/s
〖总结〗通过分析两个极端(临界)状态来确定变化范围,是求解”范围类”问题的基本思路和方法.提供的向心力等于所需向心力mv2/r时,物体维持圆周运动；提供的向心力小于所需向心力时，物体做离心运动；提供的向心力大于所需的向心力时，物体做近心运动，这是分析临界问题的关键。
〖变式训练2〗如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直圆孔中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同。物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能与转盘相对静止？
A
B
〖答案〗≤ω≤
〖难点精析〗
〖例3〗如图所示，小物块与圆盘保持相对静止，跟着圆盘且起做匀速圆周运动，则下列关于A的受力情况说法正确的是；
ω
A
o
A、受重力、支持力。
A、 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力。
B、 受重力、支持力、摩擦力和向心力。
D、受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力。
〖思路分析〗物体A在水平圆盘上，受重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力。A是否受摩擦力，可通过对A的运动状态分析便知：由于A随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A受到摩擦力作用且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A的向心力。
〖答案〗B
〖方法总结〗匀速圆周运动物体受到的向心力大小不变，但方向时刻在变，所以向心力是变力；重力、弹力、摩擦力是按其性质命名的，向心力是按力的效果命名的，做匀速圆周运动的物体并没有受到一个特别性质的力——向心力，而是把物体受到的合力称为向心力，重力、弹力、摩擦力可以分别提供向心力，也可以几个力的合力提供向心力。
ω
〖变式训练3〗如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮随圆盘一起运动，若橡皮质量为m，转动半径为r，角速度为ω，则橡皮受的静摩擦力为多少？
〖答案〗f=mrω2
〖难点精析2〗将一小球拴在一根长为R的轻绳一端，绳的另一端固定，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最高点球的最小速度？
mg
T
〖思路分析〗球在最高点时受重力mg和绳的拉力，如图二力的合力提供向心力。
T+mg=mv2/R 当T=0时，球的速度最小，mg=mv2/R，解得v=
故球在最高点的最小速度为v=
〖答案〗v=〖方法总结〗绳拴球在竖直平面内做圆周运动，在最高点时只有重力提供向心力，此时球的速度最小vmin=
〖变式训练〗一根长为R的轻绳一端拴一小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，球在最高点速度最小，当它运动到最低点绳的拉力为多少？
〖答案〗6mg
〖难点精析3〗如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动，不计摩擦，杆长为R。
（1）若小球在最高点速度为，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力为多少？
（2）若球在最高点速度为/2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？
（3）若球在最高点速度为2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？
〖思路分析〗（1）球在最高点受力如图（设杆对球作用力T1向下）
则T1+mg=mv12/R，将v1=代入得T1 =0。故当在最高点球速为时，杆对球无作用力。
mg
T2
当球运动到最低点时，由动能定理得：
2mgR=mv22/2- mv12/2，
解得：v22=5gR，
球受力如图：
T2-mg=mv22/R，
解得：T2 =6mg
同理可求：（2）在最高点时：T3=-3mg/4 “-”号表示杆对球的作用力方向与假设方向相反，即杆对球作用力方向应为向上，也就是杆对球为支持力，大小为3mg/4
当小球在最低点时：T4=21mg/4
（3）在最高点时球受力：T5=3mg；在最低点时小球受力：T6=9mg
〖答案〗（1）T1 =0 ，T2 =6mg （2）T3=3mg/4，T4=21mg/4 （3）T5=3mg，T6=9mg
〖方法总结〗（1）在最高点，当球速为，杆对球无作用力。
当球速小于，杆对球有向上的支持力。当球速大于，杆对球有向下的拉力。
（2）在最低点，杆对球为向上的拉力。
b
O
a
〖变式训练3〗如图所示细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球的轨道的最低点和最高点。则杆对小球的作用力可能是：
A、 a处是拉力，b处是拉力。
B、 a处是拉力，b处是推力。
C、 a处是推力。B处是拉力。
D、a处是推力。B处是推力。
〖答案〗AB
〖难点精析2〗
〖例4〗汽车以速度v行驶，驾驶员突然发现前方有一横沟，为了避免事故，驾驶员应该刹车好还是转弯好？
〖思路分析〗无论是刹车还是转弯，都是为了避免汽车驶入沟中。刹车时地面的摩擦力使汽车减速，设地面与汽车轮胎间的动摩擦因数为μ，则汽车刹车时的加速度为a=μg。故汽车从开始刹车到汽车静止，汽车行驶的距离为：。
当汽车转弯时，汽车转弯的摩擦力使汽车改变运动方向，因此在转弯时可以提供汽车转弯时的向心力，轨道半径R为：。由以上可得s
〖方法总结〗（1）在汽车转弯避免驶入横沟的情况下，汽车所做的运动是匀速圆周运动，且为了能转弯成功，开始转弯时距横沟的距离至少为R，本题的创新之处在于出题的立意新，能够充分开发同学们的创新意识。
（2）向心力和向心加速度在实际生活中有很多应用，但在抽象出物理模型的过程中应注意拓展自己的思路，结合受力分析和运动分析综合求解。
〖变式训练〗如图所示，凸形拱桥半径为R，汽车质量为m，过桥的顶端的最大速度是多少？
R
O
〖答案〗vm=
〖难点精析3〗
〖例5〗如图所示，在电动距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？
〖思路分析〗铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的作用力F的合力，由圆周运动规律可知：当m转到最低点时，F最大，当m转到最高点时F最小。
设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别是F1和F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mg+F1=mω2r ① 在最低点：F2-mg= mω2r ②
电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，
且压力差的大小为△F= F2- F1 ③
由①②③得△F= 2mω2r
〖答案〗2mω2r
〖方法总结〗在最高点和最低点分别进行受力分析，再应用向心力公式计算。
〖变式训练5〗如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m、悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球正好通过圆轨道的最高点（此时悬线的弹力为零），求小球经过最低点时，台秤的示数为多大？
〖答案〗Mg+6mg
〖综合拓展〗本节主要学习向心力公式F= 。向心力是按效果来命名的。做匀速圆周运动的物体所受的合外力完全用来提供向心力。有关匀速圆周运动中的向心力来源问题，只有准确对物体进行受力分析，才能正确找到向心力，并可利用向心力公式的适当表示方法解题。
〖例6〗如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接有质量为m=1kg的小球A，另一端连接有质量为M=4kg的重物B。求：
（1）当A球沿半径不R=0。1m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω=10rad/s时，B对地面的压力是多少？
（2）要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？（g=10m/s2）
〖思路分析〗（1）对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则：FT=mRω2=10N，对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力mg、绳子的拉力FT、地面的支持力FN。由力的平衡条件知：FT+FN=Mg，解得：FN= FT-Mg，将FT=10N代入可得：FN=30N
由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30N，方向竖直向下。
（2）当B对地面恰好无压力时，有：Mg= FT/，拉力FT/提供小球A所需的向心力，则：
FT/= mRω/2，则ω/==20rad/s。
即当B对地面恰好无压力时，A小球的角速度值应为20rad/s。
〖答案〗（1）B对地面的压力为30N，方向竖直向下。（2）ω/=20rad/s。
〖方法总结〗由于小球A做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力来提供，而绳子的拉力又改变物体B对地面的压力，因此从绳子的拉力入手解决是本题的关键，绳子的拉力是联系小球A与物体B受力情况的“桥梁”
〖活学活练〗
〖基础达标〗
1、 下列有关向心力的说法正确的是：
A、做匀速圆周运动的物体受一个向心力的作用。
B、由F= mRω2可知，向心力是一个恒力。
C、向心力是按力的效果而命名的。
D、 向心力的方向总是与速度方向垂直。
2、如图所示，杂技表演中，在匀速转动的透明圆筒上，杂技演员紧靠圆筒后，随圆筒一起转动，演员所需的向心力的来源为：
A、重力 B、弹力 C、静摩擦力 D、滑动摩擦力
A
B
C
O
3、如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别是2m、m、m，离转轴的距离分别是R、R、2R，三物体与转台间的动摩擦因数均相同，转台旋转时，下列说法中正确的是：
A、若三物体均未滑动，C的向心加速度最大。
B、若三物体均未滑动，B物体所受的摩擦力最大。
C、转速增加，A物体比B物体先滑动。
E、 转速增加，C先滑动。
4、关于做匀速圆周运动的物体所受的合力，下列判断正确的是：
A、合力的大小不变，合力的方向一定指向圆心。
B、合力的大小和方向都时刻在变化。
C、合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小。
D、合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小。
5、质量相等的A、B两物体（可视为质点），放在水平的转台上，A离轴的距离是B离轴的距离的一半，如图所示，当转台匀速转动时，A、B均无滑动，则下列说法正确的是：
A
B
O
A、 因为a= Rω2，而RB>RA,所以B的向心加速度比A的大。
B、 因为a=v2/ R，而RA< RB,所以a的向心加速度比b的大。
C、 因为质量相等，所以它们受到的台面的摩擦力一样大。
D、 转台对B的静摩擦力较小。
6、在质量为M的电动机飞轮上固定一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过：
A、 B、 C、 D、O
m
7、做匀速圆周运动的物体，质量增大1倍，周期减半，向心力应增大 倍，若质量不变，由于半径改变，线速度不变而角速度增大1倍，则向心力增大了 倍。
8、A、B两个小球都在水平面内做匀速圆周运动，A球质量是B球质量的一半，A球每分钟转120转，B球每分钟转60转，A球的轨道半径是40cm，B球的轨道半径是10cm，则A、B两球做匀速圆周运动所需向心力之比为 。
9、一个做匀速圆周运动的物体若保持其半径不变，角速度增加为原来的2倍，所需的向心力比原来增加了60N，物体原来所需的向心力是 N。
10、水平转台上放一小木块，当转数为60转/分时，木块离轴8cm，并恰好与转盘间无相对运动；当转数增加到120转/分时，木块应放在离轴 cm处才能刚好与转盘保持相对静止。
11、如图所示，光滑水平桌面上O处有一光滑的圆孔，一根轻绳一端系质量为m的小球，另一端穿过小孔拴一质量为M的木块，当m以某一角速度在桌面上做匀速圆周运动时，木块M恰能静止不动，这时小球圆周运动的半径为r，则此时小球做匀速圆周运动的角速度为多大？
M《
m
12、冰面对溜冰运动员的最大静擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上半径为R的圆周滑行的运动员其最大速度是多少？
13、飞机在做俯冲拉起运动时，可以看做圆周运动，若在最低点附近做半径为R=180m的圆周运动，飞行员的质量为m=70kg，飞机经过最低点P点时的速度为v=360km/h，试计算一下飞行员对座位的压力是多大？（g=10m/s2）
14、如图所示，竖直的半圆形轨道与水平面相切，轨道半径R=0。2m，质量m=200g的小球以某一速度正对半圆形轨道运动，，A、B、C三点分别为圆轨道最低点、与圆心等高点、最高点。小球过这三点的速度分别为：vA=5m/s、vB=4m/s、vC=3m/s，求：
（1）小球经过这三个位置时对轨道的压力？
（2）小球从C点飞出到落到水平面上，其着地点与A点相距多少？（g=10m/s2）
C
A
B
15、飞行员员俯冲后往上拉飞机时，会发生黑视，第一次是因为大脑缺血，问：
（1） 血压为什么会降低？（2）为了使飞行员适应这种情况，要在如图所示的食品中对飞行员进行培训，飞行员坐在一个竖直平面内做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员的加速度a=6g，则转动速度需要多大？（R=2m，g=10m/s2）
〖基础达标答案〗
1、CD 2、B 3、AD 4、A 5、A 6、A 7、7，1 8、8：1 9、20
10、2 11、 12、 13、4588。9N 14、NA=27N；NB=16N；
NC=7N。
15、（1）当飞行员的加速度向上时，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运送血液，导致血压降低。
（2）血液在循环中所起的作用是提供氧气、营养，带走代谢产生的废物。
（3）由a=v2/R可得v==34。6m/s
〖能力提升〗
1、如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是：
O
B
A
A、 W1>W2，B、W1=W2，C、W3=0 D、W3= W1+W2，
2、如图所示是用来说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mp=2 mQ，当整个装置以ω匀速转动时，两球离转轴的距离保持不变，则此时：
Q
P
ω
A、两球受到的向心力大小相等。
B、rp一定等于rQ/2。
C、P球受到的向心力大于Q受到的向心力。
D、当ω增大时，P球将向外运动。
θθ
3、如图所示，链球运动员在将链球抛掷出手之前，总要双手拉着链条，加速转动几周，这样可使链球的速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远，在运动员加速转动过程中，能发现他手中链球的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，试通过分析计算说明为什么θ角随链球转速增大而增大。
4、质量为m的小球用两根长度均为L的细线系在竖直轴上的O、O/两点，O、O/的距离也是L，如图所示，当竖直轴以一定的角速度匀速转动时，小球绕轴作匀速圆周运动，试求：
A
O/
O
（1）竖直轴的角速度为多大时，O/A绳正好处于竖直状态？（2）若竖直轴的角速度是O/A绳正好处于竖直状态时角速度的2倍，此时两绳拉力各是多少？
A
B
O
5、如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间由长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，线被拉直。A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台角速度达到多大时，A物块开始滑动？
〖能力提升答案〗
1、AD 2、AB 3、球在转动过程中的向心力由球的重力和链条的对球的拉力的合力提供，
mgtanθ=mrω2 所以： mgtanθ=m（Lsinθ）ω2 即： 当ω增大时，θ角增大。
4、（1） （2）FOA=5mg，FO/A=3mg
5、；
〖真题再现〗
B
A
C
v0
如图所示，半径R=0。4m的光滑半圆形圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于A，一质量m=0。10kg的小球，以初速度v0=7。0m/s在水平地面上向左做加速度a=3。0m/s2的匀减速直线运动，运动4。0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C两点间的距离（g=10m/s2）
〖思路分析〗匀减速运动过程中，有：vA2-vB2=-2as ①
恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：mg= ②解得：
假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒定律：
③
由①③得： 因为，所以小球能通过最高点B。
小球从B点做平抛运动： ④
⑤
由④⑤得：sAC=1。2m
〖答案〗1。2m
第八节 生
活中的圆周运动
知识点 1 火车在弯道上的运动
（1）火车车轮的结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运动时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹 。
（2）如果转弯处内外轨一样高 ，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外归队轮圆的弹力就是火车转弯的向心力。 但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。
（3）如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，时转弯时所需的向心力几乎完全有重力G和支持力的合力来提供（如图）
G
F合
FN
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为。由上图所示力的合成的向心力为
＝mgtanα≈mgsinα=mg
由牛顿第二定律得：＝m
所以 mg＝m
即火车转弯的规定速度 ＝。
(4)对火车转弯时速度与向心力的讨论：
a、 当火车以规定速度转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。
b、 当火车转弯速度v>时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。
c、 当火车转弯速度v〈时，该合力F大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与合共同充当向心力。
例1 铁路转弯处的圆弧半径是300米，轨距是1425米，规定火车通过这里的速度是
72,内外轨的高度差该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72，会分别发生什么现象？说明理由。
思路分析 圆周运动是一种常见的运动，常用受力分析的方法去找向心力，从而解决有关问题。本题考察的为圆周运动向心力来源及火车转弯的临界状态问题。
火车在转弯时所需的向心力在“临界”状况时由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供。如图所示。图中h为内外轨高度差，d为轨距。
h
G
F
FN
α
F=mgtanα=m,tanα=
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，
可以近似地认为tanα≈sinα＝
带入上式得：＝
所以内外轨的高度差为 h==m=0.195m
说明 （1）如果车速v>72（20），F将小于向心力，所差的仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
（2）如果车速v<72km/h,F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的压力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象。
答案 h＝0.195m
总结 临界值运动中经常考察的一个重点内容，它是物体在作圆周运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值，今后要注意对临界值的判断和应用。
变式训练1 火车在拐弯时，需要向心力的作用，对与向心力的分析，正确的是（ ）
A 由于火车本身作用而产生了向心力
B 主要是由于内外轨高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C 火车在拐弯时的速率，小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D 火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
答案 D
知识点2 拱形桥
（1） 汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力。
FN
G
汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力提供向心力。如图所示
G-＝m
所以=G-
汽车对桥的压力于巧对其车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。
思考 汽车的速度不断增加，会发生什么现象？
由上面表达式=G-可以看出，v越大越小。当＝0时，
由G＝m 可得v=。若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面。我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因。
（2） 汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力。
如图所示，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力。则有－G＝，所以=G＋
G
FN
由牛顿第三定律知，车对桥的压力＝G＋，大于车的
重力，而且还可以看出,v越大，车对桥的压力越大。
例2 如图所示，汽车车厢顶部悬挂以轻质弹簧，弹簧拴一质量为m的小球。当汽车在水平面上匀速行使时，弹簧长度为，当汽车以同一速度通过一桥面为弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为，下列正确的是（）
A ＝ B>
C < D前三种情况均有可能
思路分析 由题知k=mg ①
对整体分析知，加速度a向下，对小球有：mg-k=ma ②
由①②得，> 。
答案 B
方法总结 汽车过凸形桥时，向心加速度指向圆心，加速度向下，处于失重状态。支持力和拉力小于重力，若v=，则支持力或拉力为零。
变式训练 汽车以一定的速度v通过一圆形的拱桥顶端时，汽车受力的说法中正确的是：（如右图所示）（）
A 汽车的向心力就是它所受的重力
B 汽车所受的向心力是它所受的重力和支持力的合力
方向指向圆心
v
C汽车受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
D 以上均不正确
答案 B
知识点3 航天器的失重现象
飞船环绕地球作匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力。引力与支持力的合力为他提供了绕地球作匀速圆周运动所需的向心力F＝m，即
mg-＝m也就是＝m(g-) 由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力＝0，航天员处于失重状态。
2 离心运动
F=0
F
3 （1）定义：作匀速圆周运动的物体，在所受合理突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
（2） 本质：离心运动是物体惯性的表现
（3） 如图所示：
向心力的作用效果是改变物体运动方向，
如果它们受到合外力恰好等于物体所需的向心力，
物体就做匀速圆周运动。此时F＝mr
②如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出。这时F＝0。
③如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动。其轨迹为圆周和切线间的某条线，这时，F〈mr。
（4） 离心运动的应用和危害
① 利用离心运动制成离心机械。例如离心干燥器，洗衣机的脱水筒和离心转速计等等。
② 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力，汽车将做离心运动而造成交通事故。因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度； 二是把路面筑成外高内地的斜坡以增大向心力。
例3 在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象？
① 荡秋千经过最低点的小孩
② 汽车过凸形桥
③ 汽车过凹形桥
④ 在绕地球作匀速圆周运动的飞船中的仪器
A ①② B ①③ C ①④ D ③④
思路分析 物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力（支持力）的作用，若向心力加速度向下，则mg-＝m，有〈mg物体处于失重状态；若向心加速度向上，则
mg-＝m，有〉mg，物体处于超重状态，mg＝m，则＝0。
答案 B
总结 物体在竖直平面内作圆周运动时，在最高点处于失重状态，在最低点处于超重状态。
变式训练3 下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是（）
A 因为向心加速度的大小不变，故是匀变速运动
B 由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动
C 用线系着的物体在光滑水平面上作匀速圆周运动，线断后，物体受到“离心力”作用，而背离圆心运动
D 向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力
答案 B
O
v
难点精析 例 4 长l＝0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于o点，上端连有质量m=2kg的小球，它绕o点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图，g=10m/。求：（1）当＝1m/s时，杆受到的力的大小，并指出是压力还是拉力
（2）当＝4m/s时，杆受到的力的大小，并指出是压力还是拉力
思录分析 设杆对小球没有作用力时的速度为，根据牛顿第二定律
mg=m,==m/s=m/s。显然，v<时，重力大于向心力，小球将有向心运动趋势，杆对小球有向上的支持力；当v>时，重力小于向心力，小球有离心运动趋势，杆对小球有向下的拉力。
（1） 当＝1m/s时，杆中出现压力（对小球为支持力），小球受到了重力mg和干的支持力，则mg－＝，＝mg－＝16N
（2） ＝4m/s时，杆中出现拉力，则mg+=,=-mg=44N。
根据牛顿第三定律，在（1）情况下感受到的压力’=16N;在（2）情况下，杆受到的拉力’＝44N。
答案 （1）16N，杆受到向下的压力（2）44N，杆受到向上的拉力。
方法总结 （1）所谓假定法，就是假定一个可能的物理状态或物理过程，然后依此状态与题给状态进行比较，来确定题给状态的受力情况和运动情况。在题设状态无法确定的情况下，假定法是一种重要方法。
（2）本题中两种情况，都可以假定杆对小球的作用力向下（为拉力），根据规律列式求解，若求得的力为正值，则力是向下的（拉力），若求得的力位负值，则力是向上的（支持力）。
（3） 竖直平面内的圆周运动有两种模型:一种是没有支撑的小球（绳系小球；小球在圆轨道内侧运动）；另一种是有支撑的小球（杆连小球；小球套在光滑圆环上或小球在弯曲管内），它们在最高点受力不同，要注意区分。
变式训练4 北京时间2004年8月23日，中国选手滕海滨为中国体操队夺得一枚雅典奥运会金牌，中国体操运动员过去曾在单杠项目上实现了“单臂大回环”：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。假设一体操运动员的质量是65kg，那么，他在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受多大的力？（g取10m/）
答案 至少承受3250N的力。
难点精析2
例4 如果高速公路转弯处弯道圆半径R＝100m，汽车轮胎与路面间的静摩擦因数＝0.23。若路面是水平的，文汽车转弯时不发生径向滑动（离心运动）所许可的最大速率多大？
思路分析 设汽车质量为m，则最大静摩擦力＝mg，汽车转弯时所许可的最大速率由运动方程决定：
m=mg, =
取g＝9.8 m/可得＝15m/s＝54km/h。
答案 54km/h。
方法总结 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供。
变式训练5 如图所示，质量为m的物块计与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k倍，它与转轴OO’相距为R，物块随转台有静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止道开始滑动前的这一过程，转台对物块做的功为（）
O
O/
m
A kmgR B 0
C 2πkmgR D2kmgR
答案 A
综合拓展 本节中学习了火车转弯，拱形桥，航天器中的失重现象和离心现象
核心问题是 圆周运动问题的解决步骤
（1） 明确研究对象：明确所研究的是哪一个作圆周运动的物体。
（2） 确定物体作圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。
（3） 确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向心力。这是解题的关键。
（4） 根据向心力公使列方程求解
例 2 一根细绳系着装有水的水桶，在竖直平面内作圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长l=60cm，水桶质量不计，求：
（1） 最高点水不流出的最小速率
（2） 水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力
思路分析 （1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力
即：mg<=m。
则所求最小速率＝＝m/s≈2.42m/s。
（3） 当水在最高点速率大于时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为，有牛顿第二定律有＋mg=m,= m-mg＝2.6N。
由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力’==2.6N，方向竖直向上。
答案 （1）2.42m/s (2) 2.6N，方向竖直向上。
方法总结 （1）分析临界状态，找出临界条件是解这类极值问题的关键。
（2）水桶在最高点，若桶与水之间无压力，则＝。这一公式在竖直方向的圆周运动中经常用到。
（3）如果是杆的一端固定一个小球，它绕另一端在竖直平面内作圆周运动，在最高点杆不仅可以提供拉力，还能提供支持力，故小球在最高点，速度可以为零。
基础达标 活学活练
1 在水平面上转弯的汽车，向心力是（）
A 重力和支持力的合力 B 静摩擦力
C 滑动摩擦力 D 重力、支持力和牵引力的合力
2 火车在倾斜的弯道上转弯，弯道的倾角为θ，半径为R，则火车内外轨都不受轮边缘挤压时的转弯速率是（）
A B
C D
3 用长为l的细绳，拴着质量为m的小球，在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中正确的是（）
A 小球在最高点所受的向心力一定是重力
B 小球在最高点绳子的拉力可能为零
C 小球在最低点绳子的拉力一定大于重力
D 若小球恰恰正好能在竖直平面内作圆周运动，则它在最高点的速率为
4 如图所示，从光滑的圆弧槽的最高点滑下的小铁块，滑出槽口时的速度为水平方向，槽口与一半球面顶点相切，半球的底面为水平。若要使小铁块滑出槽口以后不与球面接触，弧形槽半径和半球面的半径之间的关系是（）
R2
R1
（提示：小铁块滑至球面顶时的速度为）
A 〈＝ B 〉＝
C 〈＝ D 〉＝
5 汽车通过半圆形拱桥顶端时，关于汽车的受力，下列说法正确的是（）
A 汽车的向心力就是它受到的重力
B 汽车的向心力就是它受到的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D 以上说法均不正确
6 有一种惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上作匀速圆周运动，这时使车子和人整体作圆周运动的向心力是（）
A 圆筒壁对车的静摩擦力
B 筒壁对车的弹力
C 摩托车本身的动力
D 重力和摩擦力的合力
7 如图所示，小球黏在长为R的直杆的一端，球随杆绕O点在竖直平面内作圆周运动，在小球运动到最高点时，下列关于球的线速度v和球对杆的作用力F的描述中，正确的是（）
O
R
A v=0时，F＝0
B v＝时，F＝0
C v〉时，F表现为拉力
D v〈时，F表现为压力
8 图中的物块质量为m，它与圆筒壁的静摩擦力因数为，圆筒的半径为r，若要物块不下滑，圆筒的转速至少为＿＿r/s。
9 如图所示，一细绳长L=1m，上端系在滑轮的轴上，下端拴一质量为m=1kg的物体，滑轮与物体一起以2m/s的速度匀速向右运动，当滑轮碰上固定障碍物B突然停止的瞬间，细绳受到的拉力为＿＿N。（g取10m/）
B
m
L
10 如图所示，物体A在水平面内作匀速圆周运动，忽略一切阻力。若减少m的重力，则A的半径R＿＿，角速度ω＿＿，线速度v＿＿。（填增大、不变、减小）
m
A
11 汽车顶棚上拴着一根细绳，细绳下端悬挂一小物体，当汽车在水平地面上以10m/s的速度匀速向右转弯时，细绳偏离竖直方向，则汽车转弯半径为＿＿。（g取10m/）
12 如图所示，水平面上方挂一个摆长为L，摆球质量为m的单摆。若摆球位于光滑水平面上，悬点到水平面的距离为h（h
L
13 据广东《新快报》报道2004年11月，在珠海航展“迎2008奥运，飞跃神州万里行”的新闻发布会上，珠海女子陈燕宣布将成为首个持此有驾照的女飞行员。如图所示，如果陈燕在操纵飞机又俯冲向上爬行的过程中，飞机在最低点附近曲率半径为1000m，由于女性的生理特点，在飞行中座椅对人体的压力不允许超过人体体重的5倍，则飞机在最低点的速度有什么要求》？
14 一段铁道弯轨，内外轨道高度差为h=10cm，弯道半径为900m，轨道平面宽L＝144cm，求这段弯道的设计速度，试讨论当火车速度大于或小于这以速度时将发生什么现象。
15 如图所示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半州市在圆筒上留下a、b；两个弹孔，已知ao、bo夹角为φ，求①子弹的速度；②若题中“在圆筒旋转不到半周时”去掉，子弹的速度又如何？
φ
O
b
a
ω
基础达标
1、 B 2、 C 3 、BCD 4、 D 5、 B 6、 B 7、 BCD 8、
9 、14 10、增大、减少、减少 11、17.3m
12、n= 13、v<200m/s
14 设计速度90km/h，当速度大于设计速度，外轮与外轨的侧压力会损坏外轨；当速度小于设计速度，内轮与内轨的侧压力会损坏内轨。
15 解析 （1）子弹从a穿入到从b穿出圆筒时，圆筒转过角度为 ，（小于，圆筒旋转不到半周），则子弹穿过圆筒的时间为：t=
在这段时间内子弹的位移为d，则子弹的速度为v==.
（2）当没有“圆筒旋转不到半周”的条件限制时，圆筒旋转的角度有多种可能nπ+(π-ψ),(n为转过的周数，n=0,1,2,…)时间t=则v=＝＝式中n=0,1,2…
能力提升
1 重2t的飞机以100m/s的速度沿水平圆周盘旋，如图所示，若飞机旋转一周用20πs，则飞机机翼倾角α为＿＿，飞机所受升力为＿＿N。（飞机的升力有飞机机身上下的压强差产生，方向垂直机翼，g取10m/）
α
O
2 如图所示，滑雪者滑到圆弧山坡处，圆弧的半径为R， 长度是圆周长的，为了能腾空飞起并直接落在地面上，滑雪者在坡顶的速度至少为＿＿，这时落地点离坡顶的水平距离为＿＿
O
R
v
O
R
h
3 如图所示，一个人用一根长1m，只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内作速度逐渐增大的圆周运动。已知圆心O离地面h=6m，转动时绳子在最低点时断了（g取10m/）。求：
（1）绳子断时小球运动的角速度多大？
（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离。
4、如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为L＝0.9m的轻杆一端，杆可绕O点的水平转轴在竖直平面内转动，g取10m/。求：
（1） 当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
O
L
m
v
（2） 当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，球对杆的作用力的大小和方向。
5 汽车与路面的动摩擦因数为，公路某转弯处半径为R，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问：
（1） 若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
（2） 若将公路转弯处设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角α，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力？
α
mg
FN
F合
能力提升答案
1、45°；2.8* 2、；
3、（1）6m/s (2) 6m 4、（1）3m/s (2) 6N 向上（3）1.5N 向下
5、（1） （2）
〖总结归纳〗
〖知识梳理〗本章我们学习了物体做曲线运动的条件以及运动的合成和分解，并研究了两种曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动。运动的合成和分解是研究曲线运动的基本方法，本章的知识框图如下：
曲线运动
曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上
研究曲线运动的基本方法：运动的合成与分解
两种特殊的曲线运动曲线运动
运动性质：匀变速曲线运动
规律：
vx=v0
vy=gt
平抛运动
x=v0t
y=gt2/2
匀速圆周运动
运动性质：变速运动
描述匀速圆周运动的几个物理量：
向心力：
向心加速度：
〖情景发散〗
本章要点追踪：
1、物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动，曲线运动的条件可从两个角度来理解：（1）从运动学角度来理解；物体的加速度方向不在同一条直线上；（2）从动力学角度来理解：物体所受合力的方向与物体的速度方向不在一条直线上。曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，曲线运动是一种变速运动。
曲线运动是一种复杂的运动，为了简化解题过程引入了运动的合成与分解。一个复杂的运动可根据运动的实际效果按正交分解或按平行四边形定则进行分解。合运动与分运动是等效替代关系，它们具有独立性和等时性的特点。运动的合成是运动分解的逆运算，同样遵循平等四边形定则。
2、平抛运动
平抛运动具有水平初速度且只受重力作用，是匀变速曲线运动。研究平抛运动的方法是利用运动的合成与分解，将复杂运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。其运动规律为：（1）水平方向：ax=0，vx=v0，x= v0t。
（2）竖直方向：ay=g，vy=gt，y= gt2/2。（3）合运动：a=g，，
。vt与v0方向夹角为θ，tanθ= gt/ v0，s与x方向夹角为α，
tanα= gt/ 2v0。
平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即，与v0无关。水平射程s= v0。
3、匀速圆周运动、描述匀速圆周运动的几个物理量、匀速圆周运动的实例分析。
正确理解并掌握匀速圆周运动、线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力的概念及物理意义，并掌握相关公式。
圆周运动与其他知识相结合时，关键找出向心力，再利用向心力公式F=mv2/r=mrω2列式求解。向心力可以由某一个力来提供，也可以由某个力的分力提供，还可以由合外力来提供，在匀速圆周运动中，合外力即为向心力，始终指向圆心，其大小不变，作用是改变线速度的方向，不改变线速度的大小，在非匀速圆周运动中，物体所受的合外力一般不指向圆心，各力沿半径方向的分量的合力指向圆心，此合力提供向心力，大小和方向均发生变化；与半径垂直的各分力的合力改变速度大小，在中学阶段不做研究。
对匀速圆周运动的实例分析应结合受力分析，找准圆心的位置，结合牛顿第二定律和向心力公式列方程求解，要注意绳类的约束条件为v临=，杆类的约束条件为v临=0。
〖综合演练〗
1、 对于曲线运动中的速度方向，下述说法中正确的是：
A、曲线运动中，质点在任一位置处的速度方向总是通过这一点的切线方向。
B、 在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定沿着轨迹的切线。
C、旋转的雨伞，伞面上水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向不是沿其轨迹切线方向。
D、旋转的雨伞，伞面上水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向总是沿其轨迹切线方向。
2、 下面说法中正确的是：
A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动。
B、物体在变力作用下有可能做曲线运动。
C、 做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上。
D、 物体在变力作用下不可能做曲线运动。
3、物体受到几个外力作用而做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，保持其它力不变，它可能做：①匀速直线运动；②匀加速直线运动；③匀减速直线运动；④匀变速曲线运动。下列组合正确的是：
A、①②③ B、②③ C、②③④ D、②④
4、关于互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是：
A、 一定是直线运动。 B、一定是曲线运动。
C、可能是直线运动。 D、可能是曲线运动。
5、质量为m1的子弹在h=10m的高度以800m/s的水平速度射出枪口，质量为m2（m2>m1）的物体也在同一高度同时以10m/s的水平速度抛出（不计空气阻力）则有：
A、 子弹和物体同时落地。 B、子弹落地比物体迟。
B、 子弹水平飞行距离较长。 D、子弹落地速率比物体大。
6、一飞机以150m/s的速度在高空某一水平面上做匀速直线运动，相隔1s先后从飞机上落下A、B两个物体，不计空气阻力，在运动过程中它们所在的位置关系是：
A、 A在B之前150m处。
B、A在B之后150m处。
C、 正下方4。9m处。
D、A在B 的正下方且与B的距离随时间而增大。
7、以速度v在平直轨道上匀速行驶的车厢中，货架上有一个小球，货架距车厢底面的高度为h，当车厢突然以加速度a做匀速加速直线运动时，这个小球从货架上落下，小球落到车厢面上的距货架的水平距离为：
A、0 B、 C、 d、
8、在高度为h的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度大于B球的初速度，则下列说法中正确的是：
A、 A球比B球先落地。
B、 在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移。
C、 若两球在飞行中遇到一堵墙，A球击中墙的高度大于B球击中墙的高度。
D、在空中飞行的任意时刻A球的速率总是大于B球的速率。
9、下列说法正确的是：
A、做匀速圆周运动的物体的加速度恒定。
B、 做匀速圆周运动的物体所受的合外力为零。
C、 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的。
D、做匀速圆周运动的物体处于平衡状态。
10、“探究平抛运动的规律”的实验目的是：
A、 描出平抛物体运动的轨迹。
B、 求出重力加速度。
C、 求出平抛物体的初速度。
D、求出平抛物体的位移。
O
m
11、如右图所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于小球的受力，正确的是：
A、 受重力、拉力、向心力。
B、 受重力、拉力。
C、 只受重力。
D、以上均不正确。
12、质量为m的小球在竖直平面内圆形轨道内侧运动，经过最高点而刚好不脱离轨道时的速度为v，则小球以2v的速度经过最高点时，对轨道内侧的压力大小为：
A、0 B、mg C、3mg D、5mg
13、质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力的大小为：
A、mω2R B、 C、 D、无法确定
m
P
R
ω
14、如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的作用力，则F：
A、 一定是拉力。
B、 一定是推力
C、 一定等于0
D、 可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
15、行车的钢丝长L=3。0m，下面吊着质量为m=2。0×103kg的货物，以速度v=3。0m/s行驶，行车突然刹车时，钢丝绳所受的拉力是 N。（g=10m/s2）
16、如图所示，代表船的划速的方向用5个箭头表示，每两个箭头之间的夹角都是300，已知水速为1m/s，船在静水中的划速为2m/s。则：
（1）要使船能够垂直渡过河，那么划船的方向应是 。
（2）要使船以最短的时间渡河，那么划船的方向应是 。
v水
E
D
C
B
A
17、一列火车以v1=2m/s的速度向东匀速行驶，在车厢内有人用步枪垂直于车身水平地对准车厢外距列车100m处与车轨平行的一面墙上的A点射击。子弹离开枪口时的速度为v2=500m/s，则子弹打到墙上的位置偏离A点的距离为：水平方向x= ；竖直方向y= 。（g=10m/s2）
18、甲、乙两轮为没有相对滑动的摩擦传动装置，甲、乙两轮半径之比为2：1，A、B两点分别为甲、乙两轮边缘上的点，A、B两点的线速度之比为 ；
向心加速度之比为 ；周期之比为 。
19、一质量为m的小物块沿半径为R的圆弧轨道下滑，滑到最低点时的速度是v，若小物与轨道的动摩擦因数是μ，则当小物块滑到最低点时受到的摩擦力是
。
20、在“研究平抛物体运动“的实验中，某同学记录了A、B、C三点，取A点为坐标原点，建立了右图所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。那么小球平抛的初速度为 ；小球抛出点的坐标为 。
x/cm
y/cm
C
B
A
40
15
10
20
21、从离地面高为h、与墙相距s处水平抛出一个弹性小球，小球与墙发生碰撞后，落到地面上，落地点与墙的距离为2s，设碰撞过程无机械能损失，则小球抛出到落地的时间为 ；小球抛出时的初速度大小为 。
22、质量为3×103kg的汽车以10m/s的速度通过一半径为20m的凸形桥，汽车过桥顶时对桥的压力为 N，如汽车以速度为 m/s通过桥顶时，汽车对桥的压力为零。（g=10m/s2）
23、汽车通过拱形桥顶点的速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在粗糙桥面上行驶到桥顶时不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度为
。
A
B
24、半径为R的圆筒A，绕其竖直中心轴匀速转动，其内壁上有一质量为m的物体B，B一边随A转动，一边以竖直的加速度a下滑，AB间的动摩擦因数为μ，A转动的角速度大小为 。
θ
v
25、如图所示，船以速度v匀速向右划行，通过绳跨过滑轮拖动汽车运动，当绳与水面夹角为θ时，汽车向右运动的瞬时速度为 。
26、试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速度的实验方法，提供的实验器材：弹射器（含弹丸，见示意图）；铁架台（带有铁夹）；米尺。
（1）画出实验示意图。
（2） 在安装弹射器时应注意 。
（3） 实验中需要测量的量（并在示意图中用字母标出）
。
（4）由于弹射器每次射出的弹丸初速不可能完全相等，在实验中应采取的方法是 。
（5）计算公式为： 。
27、不久前在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同。他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，（1）他对座椅的压力是多大？（2）在圆周运动的过程中他曾有眼睛“黑视”的情况发生，“黑视”在何处最严重？（不考虑空气阻力，g取10m/s2）
A
B
R
b
a
28、如图所示，AB为半径为R的金属导轨，a、b分别为沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球，要使小球不致脱离导轨，a、b在导轨最高点的速度va、vb应满足的条件是什么？
29、如图所示，摩托车做腾跃特技表演，以初速度v0冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出。若摩托车始终以额定功率P行驶，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力的影响可以忽略不计，求：
（1）人和车到达坡顶时的速度v？
（2）人和车飞出的水平距离x？
v0
v
h
x
（3）当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远？
30、如图所示，一个小球自A点以初速度v0沿粗糙水平面滑行s后，接着滑上半圆形轨道，当小球滑离上端C点后，又恰好落到A点。已知半圆形轨道的半径为r，且小球与水平面的动摩擦因数为μ。求小球的初速度v0和s各自需要满足的条件？
s
A
B
C
O
r
〖综合演练答案〗
1、 AD 2、BC 3、C 4、B 5、ACD 6、D 7、B 8、BCD 9、C 10、AC
11、B 12、C 13、C 14、D 15、2。6×104 16、B；C 17、0。4；0。2
18、1：1；1：2； 2：1 19、 20、1m/s；（-10，-5）
21、 22、1。5×104；14。1 23、20m/s 24、
25、vcosθ
y
x
26、解：根据研究平抛运动的实验及平抛运动的规律，可知使弹丸做平抛运动，通过测量下落高度求出时间，再测水平位移可求出其平抛的初速度，即弹丸出射时的初速。
（1）实验示意图如图所示：
（2）弹射器必须水平，以保证弹丸的初速度沿水平方向。
（3）应测出弹丸下降的高度y和水平射程x，如图所示。
（4）在不改变高度y的条件下进行多次实验测量水平射程x，得出水平射程x的平均值，以减小误差。
（5）由得：。又因：x=v0t，故v0==。
27、解析：（10在最高点向心力为2mg，速度为v1则：
解得：
在最低点：解得：
故
这时压力FN=mg+F向=
由于超重，血压降低，脑部缺血造成“黑视”，在最低点是过日子严重。
28、解：分析a、b两球在最高点的受力，结合受力情况，再分析能完成圆周运动的临界条件。
在最高点时，根据牛顿第二定律： ①
要使a球不脱离轨道，则Fa>0 ②
由①②得：
b球在最高点，根据牛顿第二定律： ③
又b球不脱离圆周，则Fb>0 ④
由③④得:
答案: ,
29、解：（1）Pt-mgh=mv2-mv02 ①
得：v= ②
（2）设人和车从高台飞出到落地所经历时间为t/，则有：
③
x=vt/ ④
联立②③④得；。
（4） 由于上式中的为常量考虑到
为常量，因此，当2h=时，即当h=时，人和车飞出的水平距离最远。
答案：（1）（2） （3）
30、解：设小球的初速度为v0，小球离开C处时的速度为v，则根据题意有：
2r=，即t= 又s=vt，v=，所以：v= ①
小球在AB段运动时，摩擦力做功W=μmgs 根据功能关系有：
所以： ②
将①代入②中，得：
又由于小球运动到最高点C的条件为：，
所以，即s≥2r。
答案：，s≥2r。
56 向心力
〖精讲精练〗
〖知识精讲〗
知识点1、向心力
（1）向心力的定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，根据牛顿第二定律，这个加速度一定是由于它受到了指向圆心的合力，这个合力叫做向心力。
（2）向心力的大小：F=mv2/r=mrω2=mr（2π/T）2=mr（2πn）2
（3）向心力的作用效果：向心力总是指向圆心，而线速度是沿圆周的切线方向，故向心力的始终与线速度垂直。所以向心力的作用效果只改变物体的速度方向而不改变物体的速度大小。
（4）向心力的来源：向心力是从力的作用效果命名的。凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力。它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。当物体做匀速圆周运动时，合外力就是向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。
〖例1〗如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是：
θ
O
A
B
C
A、 绳的拉力。
B、 重力和绳的拉力的合力。
C、 重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力。
D、绳的拉力和重力沿绳方向的合力。
〖思路分析〗本题考查向心力和绳子的有关知识。如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。故选CD。
〖答案〗CD
〖总结〗非匀速圆周运动，绳的拉力一重力的合力不是向心力。
〖变式训练1〗质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是：
A、0 B、mg C、3mg D、5mg
〖答案〗C
知识点2：变速圆周运动和一般的曲线运动
（1）变速圆周运动物体所受的合力，并不指向圆心。这一合力F可以分解为互相垂直的两个力；跟圆周相切的分力FT和指向圆心方向的分力Fn。
Fn产生了向心加速度，与速度垂直，改变了速度方向。
FT产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向在一条直线上，它改变了速度的大小。
仅有向心加速度的运动是匀速圆周运动，同是时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动是变速圆周运动。
说明：①变速圆周运动中，向心加速度和向心力的大小和方向都变化。]
②变速圆周运动中，某一点的向心加速度和向心力均可用an=v2/r 、an=rω2和
Fn= mv2/r、Fn= mrω2公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度。
③物体做匀速圆周运动的条件：物体做匀速圆周运动所需向心力或所需向心加速度由物体的运动情况来决定。当所需向心力（mv2/r、mrω2）与合力提供的向心力达到相对“供需平衡”（即F供=F需）时，物体才做匀速圆周运动。
（2）一般曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线。
一般的曲线运动可以分割成许多不同半径的极短一小段圆弧，这样一般曲线运动可以采用圆周运动的分析方法。
注意：圆周运动的力学问题一般解题方法：
① 确定做圆周运动的物体为研究对象。
② 确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径及轨道
③ 按通常的方法，对研究对象进行受力分析，从中确定出向心力的来源。
④ 选用合适的向心力公式，建立方程来求解，有些问题需运用几何知识建立辅助方程来帮助求解。
〖例2〗如图所示，细绳一端系着质量为M=0。6kg的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为m=0。3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0。2m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴转动。问角速度ω在什么范围内m处于静止状态？（g=10m/s2）
m
M
〖思路分析〗当ω具有最小值时，M有向着圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向背离圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2N，对于M：FT- Fm=Mrω12 ， FT =mg
ω1= 代入数据得ω1=2。9rad/s
当ω具有最大值时，M有背离圆心运动的趋势，故水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且等于最大静摩擦力Fm=2N，对于M：FT+Fm=Mrω22 ， FT =mg
ω2=代入数据得ω2=6。5rad/s
〖答案〗2。9rad/s<ω<6。5rad/s
〖总结〗通过分析两个极端(临界)状态来确定变化范围,是求解”范围类”问题的基本思路和方法.提供的向心力等于所需向心力mv2/r时,物体维持圆周运动；提供的向心力小于所需向心力时，物体做离心运动；提供的向心力大于所需的向心力时，物体做近心运动，这是分析临界问题的关键。
〖变式训练2〗如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直圆孔中心的距离为r，物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同。物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能与转盘相对静止？
A
B
〖答案〗≤ω≤
〖难点精析〗
〖例3〗如图所示，小物块与圆盘保持相对静止，跟着圆盘且起做匀速圆周运动，则下列关于A的受力情况说法正确的是；
ω
A
o
A、受重力、支持力。
A、 受重力、支持力和指向圆心的摩擦力。
B、 受重力、支持力、摩擦力和向心力。
D、受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力。
〖思路分析〗物体A在水平圆盘上，受重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力。A是否受摩擦力，可通过对A的运动状态分析便知：由于A随圆盘一起做匀速圆周运动，故其必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A受到摩擦力作用且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A的向心力。
〖答案〗B
〖方法总结〗匀速圆周运动物体受到的向心力大小不变，但方向时刻在变，所以向心力是变力；重力、弹力、摩擦力是按其性质命名的，向心力是按力的效果命名的，做匀速圆周运动的物体并没有受到一个特别性质的力——向心力，而是把物体受到的合力称为向心力，重力、弹力、摩擦力可以分别提供向心力，也可以几个力的合力提供向心力。
ω
〖变式训练3〗如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮随圆盘一起运动，若橡皮质量为m，转动半径为r，角速度为ω，则橡皮受的静摩擦力为多少？
〖答案〗f=mrω2
〖难点精析2〗将一小球拴在一根长为R的轻绳一端，绳的另一端固定，使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，求在最高点球的最小速度？
mg
T
〖思路分析〗球在最高点时受重力mg和绳的拉力，如图二力的合力提供向心力。
T+mg=mv2/R 当T=0时，球的速度最小，mg=mv2/R，解得v=
故球在最高点的最小速度为v=
〖答案〗v=〖方法总结〗绳拴球在竖直平面内做圆周运动，在最高点时只有重力提供向心力，此时球的速度最小vmin=
〖变式训练〗一根长为R的轻绳一端拴一小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，球在最高点速度最小，当它运动到最低点绳的拉力为多少？
〖答案〗6mg
〖难点精析3〗如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕O点的水平轴自由转动，不计摩擦，杆长为R。
（1）若小球在最高点速度为，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力为多少？
（2）若球在最高点速度为/2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？
（3）若球在最高点速度为2时，杆对球作用力为多少？当球运动到最低点时，杆对球的作用力是多少？
〖思路分析〗（1）球在最高点受力如图（设杆对球作用力T1向下）
则T1+mg=mv12/R，将v1=代入得T1 =0。故当在最高点球速为时，杆对球无作用力。
mg
T2
当球运动到最低点时，由动能定理得：
2mgR=mv22/2- mv12/2，
解得：v22=5gR，
球受力如图：
T2-mg=mv22/R，
解得：T2 =6mg
同理可求：（2）在最高点时：T3=-3mg/4 “-”号表示杆对球的作用力方向与假设方向相反，即杆对球作用力方向应为向上，也就是杆对球为支持力，大小为3mg/4
当小球在最低点时：T4=21mg/4
（3）在最高点时球受力：T5=3mg；在最低点时小球受力：T6=9mg
〖答案〗（1）T1 =0 ，T2 =6mg （2）T3=3mg/4，T4=21mg/4 （3）T5=3mg，T6=9mg
〖方法总结〗（1）在最高点，当球速为，杆对球无作用力。
当球速小于，杆对球有向上的支持力。当球速大于，杆对球有向下的拉力。
（2）在最低点，杆对球为向上的拉力。
b
O
a
〖变式训练3〗如图所示细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球的轨道的最低点和最高点。则杆对小球的作用力可能是：
A、 a处是拉力，b处是拉力。
B、 a处是拉力，b处是推力。
C、 a处是推力。B处是拉力。
D、a处是推力。B处是推力。
〖答案〗AB
〖难点精析2〗
〖例4〗汽车以速度v行驶，驾驶员突然发现前方有一横沟，为了避免事故，驾驶员应该刹车好还是转弯好？
〖思路分析〗无论是刹车还是转弯，都是为了避免汽车驶入沟中。刹车时地面的摩擦力使汽车减速，设地面与汽车轮胎间的动摩擦因数为μ，则汽车刹车时的加速度为a=μg。故汽车从开始刹车到汽车静止，汽车行驶的距离为：。
当汽车转弯时，汽车转弯的摩擦力使汽车改变运动方向，因此在转弯时可以提供汽车转弯时的向心力，轨道半径R为：。由以上可得s
〖方法总结〗（1）在汽车转弯避免驶入横沟的情况下，汽车所做的运动是匀速圆周运动，且为了能转弯成功，开始转弯时距横沟的距离至少为R，本题的创新之处在于出题的立意新，能够充分开发同学们的创新意识。
（2）向心力和向心加速度在实际生活中有很多应用，但在抽象出物理模型的过程中应注意拓展自己的思路，结合受力分析和运动分析综合求解。
〖变式训练〗如图所示，凸形拱桥半径为R，汽车质量为m，过桥的顶端的最大速度是多少？
R
O
〖答案〗vm=
〖难点精析3〗
〖例5〗如图所示，在电动距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动，则电机对地面的最大压力和最小压力之差为多少？
〖思路分析〗铁块在竖直平面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的作用力F的合力，由圆周运动规律可知：当m转到最低点时，F最大，当m转到最高点时F最小。
设铁块在最高点和最低点时，电机对其作用力分别是F1和F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mg+F1=mω2r ① 在最低点：F2-mg= mω2r ②
电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，
且压力差的大小为△F= F2- F1 ③
由①②③得△F= 2mω2r
〖答案〗2mω2r
〖方法总结〗在最高点和最低点分别进行受力分析，再应用向心力公式计算。
〖变式训练5〗如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，手拿一个质量为m、悬线长为R的小球，在竖直平面内做圆周运动，且摆球正好通过圆轨道的最高点（此时悬线的弹力为零），求小球经过最低点时，台秤的示数为多大？
〖答案〗Mg+6mg
〖综合拓展〗本节主要学习向心力公式F= 。向心力是按效果来命名的。做匀速圆周运动的物体所受的合外力完全用来提供向心力。有关匀速圆周运动中的向心力来源问题，只有准确对物体进行受力分析，才能正确找到向心力，并可利用向心力公式的适当表示方法解题。
〖例6〗如图所示，在光滑的水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接有质量为m=1kg的小球A，另一端连接有质量为M=4kg的重物B。求：
（1）当A球沿半径不R=0。1m的圆做匀速圆周运动，其角速度为ω=10rad/s时，B对地面的压力是多少？
（2）要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？（g=10m/s2）
〖思路分析〗（1）对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡，因此绳子的拉力提供向心力，则：FT=mRω2=10N，对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力mg、绳子的拉力FT、地面的支持力FN。由力的平衡条件知：FT+FN=Mg，解得：FN= FT-Mg，将FT=10N代入可得：FN=30N
由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30N，方向竖直向下。
（2）当B对地面恰好无压力时，有：Mg= FT/，拉力FT/提供小球A所需的向心力，则：
FT/= mRω/2，则ω/==20rad/s。
即当B对地面恰好无压力时，A小球的角速度值应为20rad/s。
〖答案〗（1）B对地面的压力为30N，方向竖直向下。（2）ω/=20rad/s。
〖方法总结〗由于小球A做匀速圆周运动的向心力由绳子的拉力来提供，而绳子的拉力又改变物体B对地面的压力，因此从绳子的拉力入手解决是本题的关键，绳子的拉力是联系小球A与物体B受力情况的“桥梁”
〖活学活练〗
〖基础达标〗
1、 下列有关向心力的说法正确的是：
A、做匀速圆周运动的物体受一个向心力的作用。
B、由F= mRω2可知，向心力是一个恒力。
C、向心力是按力的效果而命名的。
D、 向心力的方向总是与速度方向垂直。
2、如图所示，杂技表演中，在匀速转动的透明圆筒上，杂技演员紧靠圆筒后，随圆筒一起转动，演员所需的向心力的来源为：
A、重力 B、弹力 C、静摩擦力 D、滑动摩擦力
A
B
C
O
3、如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别是2m、m、m，离转轴的距离分别是R、R、2R，三物体与转台间的动摩擦因数均相同，转台旋转时，下列说法中正确的是：
A、若三物体均未滑动，C的向心加速度最大。
B、若三物体均未滑动，B物体所受的摩擦力最大。
C、转速增加，A物体比B物体先滑动。
E、 转速增加，C先滑动。
4、关于做匀速圆周运动的物体所受的合力，下列判断正确的是：
A、合力的大小不变，合力的方向一定指向圆心。
B、合力的大小和方向都时刻在变化。
C、合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小。
D、合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小。
5、质量相等的A、B两物体（可视为质点），放在水平的转台上，A离轴的距离是B离轴的距离的一半，如图所示，当转台匀速转动时，A、B均无滑动，则下列说法正确的是：
A
B
O
A、 因为a= Rω2，而RB>RA,所以B的向心加速度比A的大。
B、 因为a=v2/ R，而RA< RB,所以a的向心加速度比b的大。
C、 因为质量相等，所以它们受到的台面的摩擦力一样大。
D、 转台对B的静摩擦力较小。
6、在质量为M的电动机飞轮上固定一个质量为m的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过：
A、 B、 C、 D、O
m
7、做匀速圆周运动的物体，质量增大1倍，周期减半，向心力应增大 倍，若质量不变，由于半径改变，线速度不变而角速度增大1倍，则向心力增大了 倍。
8、A、B两个小球都在水平面内做匀速圆周运动，A球质量是B球质量的一半，A球每分钟转120转，B球每分钟转60转，A球的轨道半径是40cm，B球的轨道半径是10cm，则A、B两球做匀速圆周运动所需向心力之比为 。
9、一个做匀速圆周运动的物体若保持其半径不变，角速度增加为原来的2倍，所需的向心力比原来增加了60N，物体原来所需的向心力是 N。
10、水平转台上放一小木块，当转数为60转/分时，木块离轴8cm，并恰好与转盘间无相对运动；当转数增加到120转/分时，木块应放在离轴 cm处才能刚好与转盘保持相对静止。
11、如图所示，光滑水平桌面上O处有一光滑的圆孔，一根轻绳一端系质量为m的小球，另一端穿过小孔拴一质量为M的木块，当m以某一角速度在桌面上做匀速圆周运动时，木块M恰能静止不动，这时小球圆周运动的半径为r，则此时小球做匀速圆周运动的角速度为多大？
M《
m
12、冰面对溜冰运动员的最大静擦力为运动员重力的k倍，在水平冰面上半径为R的圆周滑行的运动员其最大速度是多少？
13、飞机在做俯冲拉起运动时，可以看做圆周运动，若在最低点附近做半径为R=180m的圆周运动，飞行员的质量为m=70kg，飞机经过最低点P点时的速度为v=360km/h，试计算一下飞行员对座位的压力是多大？（g=10m/s2）
14、如图所示，竖直的半圆形轨道与水平面相切，轨道半径R=0。2m，质量m=200g的小球以某一速度正对半圆形轨道运动，，A、B、C三点分别为圆轨道最低点、与圆心等高点、最高点。小球过这三点的速度分别为：vA=5m/s、vB=4m/s、vC=3m/s，求：
（1）小球经过这三个位置时对轨道的压力？
（2）小球从C点飞出到落到水平面上，其着地点与A点相距多少？（g=10m/s2）
C
A
B
15、飞行员员俯冲后往上拉飞机时，会发生黑视，第一次是因为大脑缺血，问：
（1） 血压为什么会降低？（2）为了使飞行员适应这种情况，要在如图所示的食品中对飞行员进行培训，飞行员坐在一个竖直平面内做匀速圆周运动的舱内，要使飞行员的加速度a=6g，则转动速度需要多大？（R=2m，g=10m/s2）
〖基础达标答案〗
1、CD 2、B 3、AD 4、A 5、A 6、A 7、7，1 8、8：1 9、20
10、2 11、 12、 13、4588。9N 14、NA=27N；NB=16N；
NC=7N。
15、（1）当飞行员的加速度向上时，血液处于超重状态，视重增大，心脏无法像平常一样运送血液，导致血压降低。
（2）血液在循环中所起的作用是提供氧气、营养，带走代谢产生的废物。
（3）由a=v2/R可得v==34。6m/s
〖能力提升〗
1、如图所示，半径为R的孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度v0在水平面内做圆周运动，小球与管壁间的摩擦因数为μ，设从开始运动的一周内小球从A到B和从B到A的过程中摩擦力对小球做功分别为W1和W2，在这一周内摩擦力做的总功为W3，则下列关系式正确的是：
O
B
A
A、 W1>W2，B、W1=W2，C、W3=0 D、W3= W1+W2，
2、如图所示是用来说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mp=2 mQ，当整个装置以ω匀速转动时，两球离转轴的距离保持不变，则此时：
Q
P
ω
A、两球受到的向心力大小相等。
B、rp一定等于rQ/2。
C、P球受到的向心力大于Q受到的向心力。
D、当ω增大时，P球将向外运动。
θθ
3、如图所示，链球运动员在将链球抛掷出手之前，总要双手拉着链条，加速转动几周，这样可使链球的速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远，在运动员加速转动过程中，能发现他手中链球的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，试通过分析计算说明为什么θ角随链球转速增大而增大。
4、质量为m的小球用两根长度均为L的细线系在竖直轴上的O、O/两点，O、O/的距离也是L，如图所示，当竖直轴以一定的角速度匀速转动时，小球绕轴作匀速圆周运动，试求：
A
O/
O
（1）竖直轴的角速度为多大时，O/A绳正好处于竖直状态？（2）若竖直轴的角速度是O/A绳正好处于竖直状态时角速度的2倍，此时两绳拉力各是多少？
A
B
O
5、如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间由长为L的细线相连。开始时，A、B与轴心在同一直线上，线被拉直。A、B与水平转台间的动摩擦因数均为μ，当转台的角速度达到多大时线上出现张力？当转台角速度达到多大时，A物块开始滑动？
〖能力提升答案〗
1、AD 2、AB 3、球在转动过程中的向心力由球的重力和链条的对球的拉力的合力提供，
mgtanθ=mrω2 所以： mgtanθ=m（Lsinθ）ω2 即： 当ω增大时，θ角增大。
4、（1） （2）FOA=5mg，FO/A=3mg
5、；
〖真题再现〗
B
A
C
v0
如图所示，半径R=0。4m的光滑半圆形圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于A，一质量m=0。10kg的小球，以初速度v0=7。0m/s在水平地面上向左做加速度a=3。0m/s2的匀减速直线运动，运动4。0m后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C两点间的距离（g=10m/s2）
〖思路分析〗匀减速运动过程中，有：vA2-vB2=-2as ①
恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：mg= ②解得：
假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒定律：
③
由①③得： 因为，所以小球能通过最高点B。
小球从B点做平抛运动： ④
⑤
由④⑤得：sAC=1。2m
〖答案〗1。2m
第八节 生
活中的圆周运动
知识点 1 火车在弯道上的运动
（1）火车车轮的结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘，且火车在轨道上运动时，有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，这种结构特点，主要是有助于固定火车运动的轨迹 。
（2）如果转弯处内外轨一样高 ，外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，外归队轮圆的弹力就是火车转弯的向心力。 但火车质量太大，靠这种办法得到向心力，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损。
（3）如果在转弯处使外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供了一部分向心力。这就减轻了轮缘与外轨的挤压。在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，时转弯时所需的向心力几乎完全有重力G和支持力的合力来提供（如图）
G
F合
FN
设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为。由上图所示力的合成的向心力为
＝mgtanα≈mgsinα=mg
由牛顿第二定律得：＝m
所以 mg＝m
即火车转弯的规定速度 ＝。
(4)对火车转弯时速度与向心力的讨论：
a、 当火车以规定速度转弯时，合力F等于向心力，这时轮缘与内外轨均无侧压力。
b、 当火车转弯速度v>时，该合力F小于向心力，外轨向内挤压轮缘，提供侧压力，与F共同充当向心力。
c、 当火车转弯速度v〈时，该合力F大于向心力，内轨向外挤压轮缘，产生的侧压力与合共同充当向心力。
例1 铁路转弯处的圆弧半径是300米，轨距是1425米，规定火车通过这里的速度是
72,内外轨的高度差该是多大，才能使铁轨不受轮缘的挤压？保持内外轨的这个高度差，如果车的速度大于或小于72，会分别发生什么现象？说明理由。
思路分析 圆周运动是一种常见的运动，常用受力分析的方法去找向心力，从而解决有关问题。本题考察的为圆周运动向心力来源及火车转弯的临界状态问题。
火车在转弯时所需的向心力在“临界”状况时由火车所受的重力和轨道对火车的支持力的合力提供。如图所示。图中h为内外轨高度差，d为轨距。
h
G
F
FN
α
F=mgtanα=m,tanα=
由于轨道平面与水平面间的夹角一般很小，
可以近似地认为tanα≈sinα＝
带入上式得：＝
所以内外轨的高度差为 h==m=0.195m
说明 （1）如果车速v>72（20），F将小于向心力，所差的仍需由外轨对轮缘的弹力来弥补。这样就出现车轮的轮缘向外挤压外轨的现象。
（2）如果车速v<72km/h,F将大于需要的向心力，超出的则由内轨对内侧车轮轮缘的压力来平衡，这样就出现内侧车轮的轮缘向外挤压内轨的现象。
答案 h＝0.195m
总结 临界值运动中经常考察的一个重点内容，它是物体在作圆周运动过程中，发生质变的数值或使物体受力情况发生变化的关键数值，今后要注意对临界值的判断和应用。
变式训练1 火车在拐弯时，需要向心力的作用，对与向心力的分析，正确的是（ ）
A 由于火车本身作用而产生了向心力
B 主要是由于内外轨高度差的作用，车身略有倾斜，车身所受重力的分力产生了向心力
C 火车在拐弯时的速率，小于规定速率时，内轨将给火车侧压力，侧压力就是向心力
D 火车在拐弯时的速率大于规定速率时，外轨将给火车侧压力，侧压力作为火车拐弯时向心力的一部分
答案 D
知识点2 拱形桥
（1） 汽车过拱桥时，车对桥的压力小于其重力。
FN
G
汽车在桥上运动经过最高点时，汽车所受重力G及桥对其支持力提供向心力。如图所示
G-＝m
所以=G-
汽车对桥的压力于巧对其车的支持力是一对作用力与反作用力，故汽车对桥的压力小于其重力。
思考 汽车的速度不断增加，会发生什么现象？
由上面表达式=G-可以看出，v越大越小。当＝0时，
由G＝m 可得v=。若速度大于时，汽车所需的向心力会大于重力，这时汽车将“飞”离桥面。我们看摩托车越野赛时，常有摩托车飞起来的现象，就是这个原因。
（2） 汽车过凹桥时，车对桥的压力大于其重力。
如图所示，汽车经过凹桥最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，其合力充当向心力。则有－G＝，所以=G＋
G
FN
由牛顿第三定律知，车对桥的压力＝G＋，大于车的
重力，而且还可以看出,v越大，车对桥的压力越大。
例2 如图所示，汽车车厢顶部悬挂以轻质弹簧，弹簧拴一质量为m的小球。当汽车在水平面上匀速行使时，弹簧长度为，当汽车以同一速度通过一桥面为弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为，下列正确的是（）
A ＝ B>
C < D前三种情况均有可能
思路分析 由题知k=mg ①
对整体分析知，加速度a向下，对小球有：mg-k=ma ②
由①②得，> 。
答案 B
方法总结 汽车过凸形桥时，向心加速度指向圆心，加速度向下，处于失重状态。支持力和拉力小于重力，若v=，则支持力或拉力为零。
变式训练 汽车以一定的速度v通过一圆形的拱桥顶端时，汽车受力的说法中正确的是：（如右图所示）（）
A 汽车的向心力就是它所受的重力
B 汽车所受的向心力是它所受的重力和支持力的合力
方向指向圆心
v
C汽车受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
D 以上均不正确
答案 B
知识点3 航天器的失重现象
飞船环绕地球作匀速圆周运动，当飞船距地面高度为一二百千米时，它的轨道半径近似等于地球半径R，航天员还可能受到飞船座舱对他的支持力。引力与支持力的合力为他提供了绕地球作匀速圆周运动所需的向心力F＝m，即
mg-＝m也就是＝m(g-) 由此可以解出，当v=时，座舱对航天员的支持力＝0，航天员处于失重状态。
2 离心运动
F=0
F
3 （1）定义：作匀速圆周运动的物体，在所受合理突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动。
（2） 本质：离心运动是物体惯性的表现
（3） 如图所示：
向心力的作用效果是改变物体运动方向，
如果它们受到合外力恰好等于物体所需的向心力，
物体就做匀速圆周运动。此时F＝mr
②如果向心力突然消失（例如小球转动时绳子突然断裂），则物体的速度方向不再变化，由于惯性，物体将沿此时的速度方向（即切线方向）按此时的速度大小飞出。这时F＝0。
③如果提供的外力小于物体做匀速圆周运动所需的向心力，虽然物体的速度方向还要变化，但速度方向变化较慢，因此物体偏离原来的圆周做离心运动。其轨迹为圆周和切线间的某条线，这时，F〈mr。
（4） 离心运动的应用和危害
① 利用离心运动制成离心机械。例如离心干燥器，洗衣机的脱水筒和离心转速计等等。
② 在水平公路上行驶的汽车，转弯时所需的向心力是由车轮与路面间的静摩擦力提供的。如果转弯时速度过大，所需向心力F很大，大于最大静摩擦力，汽车将做离心运动而造成交通事故。因此，在转弯处，为防止离心运动造成危害：一是限定车辆的转弯速度； 二是把路面筑成外高内地的斜坡以增大向心力。
例3 在下面所介绍的各种情况中，哪种情况将出现超重现象？
① 荡秋千经过最低点的小孩
② 汽车过凸形桥
③ 汽车过凹形桥
④ 在绕地球作匀速圆周运动的飞船中的仪器
A ①② B ①③ C ①④ D ③④
思路分析 物体在竖直平面内做圆周运动，受重力和拉力（支持力）的作用，若向心力加速度向下，则mg-＝m，有〈mg物体处于失重状态；若向心加速度向上，则
mg-＝m，有〉mg，物体处于超重状态，mg＝m，则＝0。
答案 B
总结 物体在竖直平面内作圆周运动时，在最高点处于失重状态，在最低点处于超重状态。
变式训练3 下列关于匀速圆周运动的说法中正确的是（）
A 因为向心加速度的大小不变，故是匀变速运动
B 由于向心加速度的方向变化，故是变加速运动
C 用线系着的物体在光滑水平面上作匀速圆周运动，线断后，物体受到“离心力”作用，而背离圆心运动
D 向心力和离心力一定是一对作用力和反作用力
答案 B
O
v
难点精析 例 4 长l＝0.5m，质量可忽略的杆，其下端固定于o点，上端连有质量m=2kg的小球，它绕o点在竖直平面内做圆周运动，当通过最高点时，如图，g=10m/。求：（1）当＝1m/s时，杆受到的力的大小，并指出是压力还是拉力
（2）当＝4m/s时，杆受到的力的大小，并指出是压力还是拉力
思录分析 设杆对小球没有作用力时的速度为，根据牛顿第二定律
mg=m,==m/s=m/s。显然，v<时，重力大于向心力，小球将有向心运动趋势，杆对小球有向上的支持力；当v>时，重力小于向心力，小球有离心运动趋势，杆对小球有向下的拉力。
（1） 当＝1m/s时，杆中出现压力（对小球为支持力），小球受到了重力mg和干的支持力，则mg－＝，＝mg－＝16N
（2） ＝4m/s时，杆中出现拉力，则mg+=,=-mg=44N。
根据牛顿第三定律，在（1）情况下感受到的压力’=16N;在（2）情况下，杆受到的拉力’＝44N。
答案 （1）16N，杆受到向下的压力（2）44N，杆受到向上的拉力。
方法总结 （1）所谓假定法，就是假定一个可能的物理状态或物理过程，然后依此状态与题给状态进行比较，来确定题给状态的受力情况和运动情况。在题设状态无法确定的情况下，假定法是一种重要方法。
（2）本题中两种情况，都可以假定杆对小球的作用力向下（为拉力），根据规律列式求解，若求得的力为正值，则力是向下的（拉力），若求得的力位负值，则力是向上的（支持力）。
（3） 竖直平面内的圆周运动有两种模型:一种是没有支撑的小球（绳系小球；小球在圆轨道内侧运动）；另一种是有支撑的小球（杆连小球；小球套在光滑圆环上或小球在弯曲管内），它们在最高点受力不同，要注意区分。
变式训练4 北京时间2004年8月23日，中国选手滕海滨为中国体操队夺得一枚雅典奥运会金牌，中国体操运动员过去曾在单杠项目上实现了“单臂大回环”：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。假设一体操运动员的质量是65kg，那么，他在完成“单臂大回环”的过程中，他的单臂至少要承受多大的力？（g取10m/）
答案 至少承受3250N的力。
难点精析2
例4 如果高速公路转弯处弯道圆半径R＝100m，汽车轮胎与路面间的静摩擦因数＝0.23。若路面是水平的，文汽车转弯时不发生径向滑动（离心运动）所许可的最大速率多大？
思路分析 设汽车质量为m，则最大静摩擦力＝mg，汽车转弯时所许可的最大速率由运动方程决定：
m=mg, =
取g＝9.8 m/可得＝15m/s＝54km/h。
答案 54km/h。
方法总结 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供。
变式训练5 如图所示，质量为m的物块计与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k倍，它与转轴OO’相距为R，物块随转台有静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止道开始滑动前的这一过程，转台对物块做的功为（）
O
O/
m
A kmgR B 0
C 2πkmgR D2kmgR
答案 A
综合拓展 本节中学习了火车转弯，拱形桥，航天器中的失重现象和离心现象
核心问题是 圆周运动问题的解决步骤
（1） 明确研究对象：明确所研究的是哪一个作圆周运动的物体。
（2） 确定物体作圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。
（3） 确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向心力。这是解题的关键。
（4） 根据向心力公使列方程求解
例 2 一根细绳系着装有水的水桶，在竖直平面内作圆周运动，水的质量m=0.5kg，绳长l=60cm，水桶质量不计，求：
（1） 最高点水不流出的最小速率
（2） 水在最高点速率v=3m/s时，水对桶底的压力
思路分析 （1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力
即：mg<=m。
则所求最小速率＝＝m/s≈2.42m/s。
（3） 当水在最高点速率大于时，只靠重力提供向心力已不足，此时水桶底对水有一向下的压力，设为，有牛顿第二定律有＋mg=m,= m-mg＝2.6N。
由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力’==2.6N，方向竖直向上。
答案 （1）2.42m/s (2) 2.6N，方向竖直向上。
方法总结 （1）分析临界状态，找出临界条件是解这类极值问题的关键。
（2）水桶在最高点，若桶与水之间无压力，则＝。这一公式在竖直方向的圆周运动中经常用到。
（3）如果是杆的一端固定一个小球，它绕另一端在竖直平面内作圆周运动，在最高点杆不仅可以提供拉力，还能提供支持力，故小球在最高点，速度可以为零。
基础达标 活学活练
1 在水平面上转弯的汽车，向心力是（）
A 重力和支持力的合力 B 静摩擦力
C 滑动摩擦力 D 重力、支持力和牵引力的合力
2 火车在倾斜的弯道上转弯，弯道的倾角为θ，半径为R，则火车内外轨都不受轮边缘挤压时的转弯速率是（）
A B
C D
3 用长为l的细绳，拴着质量为m的小球，在竖直平面内作圆周运动，则下列说法中正确的是（）
A 小球在最高点所受的向心力一定是重力
B 小球在最高点绳子的拉力可能为零
C 小球在最低点绳子的拉力一定大于重力
D 若小球恰恰正好能在竖直平面内作圆周运动，则它在最高点的速率为
4 如图所示，从光滑的圆弧槽的最高点滑下的小铁块，滑出槽口时的速度为水平方向，槽口与一半球面顶点相切，半球的底面为水平。若要使小铁块滑出槽口以后不与球面接触，弧形槽半径和半球面的半径之间的关系是（）
R2
R1
（提示：小铁块滑至球面顶时的速度为）
A 〈＝ B 〉＝
C 〈＝ D 〉＝
5 汽车通过半圆形拱桥顶端时，关于汽车的受力，下列说法正确的是（）
A 汽车的向心力就是它受到的重力
B 汽车的向心力就是它受到的重力与支持力的合力，方向指向圆心
C 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D 以上说法均不正确
6 有一种惊险的杂技节目叫“飞车走壁”，杂技演员骑摩托车先在如图所示的大型圆筒底部做速度较小、半径较小的圆周运动，通过逐步加速，圆周运动半径逐步增大，最后能以较大的速度在竖直的壁上作匀速圆周运动，这时使车子和人整体作圆周运动的向心力是（）
A 圆筒壁对车的静摩擦力
B 筒壁对车的弹力
C 摩托车本身的动力
D 重力和摩擦力的合力
7 如图所示，小球黏在长为R的直杆的一端，球随杆绕O点在竖直平面内作圆周运动，在小球运动到最高点时，下列关于球的线速度v和球对杆的作用力F的描述中，正确的是（）
O
R
A v=0时，F＝0
B v＝时，F＝0
C v〉时，F表现为拉力
D v〈时，F表现为压力
8 图中的物块质量为m，它与圆筒壁的静摩擦力因数为，圆筒的半径为r，若要物块不下滑，圆筒的转速至少为＿＿r/s。
9 如图所示，一细绳长L=1m，上端系在滑轮的轴上，下端拴一质量为m=1kg的物体，滑轮与物体一起以2m/s的速度匀速向右运动，当滑轮碰上固定障碍物B突然停止的瞬间，细绳受到的拉力为＿＿N。（g取10m/）
B
m
L
10 如图所示，物体A在水平面内作匀速圆周运动，忽略一切阻力。若减少m的重力，则A的半径R＿＿，角速度ω＿＿，线速度v＿＿。（填增大、不变、减小）
m
A
11 汽车顶棚上拴着一根细绳，细绳下端悬挂一小物体，当汽车在水平地面上以10m/s的速度匀速向右转弯时，细绳偏离竖直方向，则汽车转弯半径为＿＿。（g取10m/）
12 如图所示，水平面上方挂一个摆长为L，摆球质量为m的单摆。若摆球位于光滑水平面上，悬点到水平面的距离为h（h
L
13 据广东《新快报》报道2004年11月，在珠海航展“迎2008奥运，飞跃神州万里行”的新闻发布会上，珠海女子陈燕宣布将成为首个持此有驾照的女飞行员。如图所示，如果陈燕在操纵飞机又俯冲向上爬行的过程中，飞机在最低点附近曲率半径为1000m，由于女性的生理特点，在飞行中座椅对人体的压力不允许超过人体体重的5倍，则飞机在最低点的速度有什么要求》？
14 一段铁道弯轨，内外轨道高度差为h=10cm，弯道半径为900m，轨道平面宽L＝144cm，求这段弯道的设计速度，试讨论当火车速度大于或小于这以速度时将发生什么现象。
15 如图所示，直径为d的纸制圆筒，使它以角速度ω绕轴O匀速转动，然后使子弹沿直径穿过圆筒，若子弹在圆筒旋转不到半州市在圆筒上留下a、b；两个弹孔，已知ao、bo夹角为φ，求①子弹的速度；②若题中“在圆筒旋转不到半周时”去掉，子弹的速度又如何？
φ
O
b
a
ω
基础达标
1、 B 2、 C 3 、BCD 4、 D 5、 B 6、 B 7、 BCD 8、
9 、14 10、增大、减少、减少 11、17.3m
12、n= 13、v<200m/s
14 设计速度90km/h，当速度大于设计速度，外轮与外轨的侧压力会损坏外轨；当速度小于设计速度，内轮与内轨的侧压力会损坏内轨。
15 解析 （1）子弹从a穿入到从b穿出圆筒时，圆筒转过角度为 ，（小于，圆筒旋转不到半周），则子弹穿过圆筒的时间为：t=
在这段时间内子弹的位移为d，则子弹的速度为v==.
（2）当没有“圆筒旋转不到半周”的条件限制时，圆筒旋转的角度有多种可能nπ+(π-ψ),(n为转过的周数，n=0,1,2,…)时间t=则v=＝＝式中n=0,1,2…
能力提升
1 重2t的飞机以100m/s的速度沿水平圆周盘旋，如图所示，若飞机旋转一周用20πs，则飞机机翼倾角α为＿＿，飞机所受升力为＿＿N。（飞机的升力有飞机机身上下的压强差产生，方向垂直机翼，g取10m/）
α
O
2 如图所示，滑雪者滑到圆弧山坡处，圆弧的半径为R， 长度是圆周长的，为了能腾空飞起并直接落在地面上，滑雪者在坡顶的速度至少为＿＿，这时落地点离坡顶的水平距离为＿＿
O
R
v
O
R
h
3 如图所示，一个人用一根长1m，只能承受46N拉力的绳子，拴着一个质量为1kg的小球，在竖直平面内作速度逐渐增大的圆周运动。已知圆心O离地面h=6m，转动时绳子在最低点时断了（g取10m/）。求：
（1）绳子断时小球运动的角速度多大？
（2）绳断后，小球落地点与抛出点间的水平距离。
4、如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在长为L＝0.9m的轻杆一端，杆可绕O点的水平转轴在竖直平面内转动，g取10m/。求：
（1） 当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
O
L
m
v
（2） 当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，球对杆的作用力的大小和方向。
5 汽车与路面的动摩擦因数为，公路某转弯处半径为R，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），问：
（1） 若路面水平，汽车转弯不发生侧滑，汽车速度不能超过多少？
（2） 若将公路转弯处设计成外侧高，内侧低，使路面与水平面有一倾角α，如图所示，汽车以多大速度转弯时，可使车与路面间无摩擦力？
α
mg
FN
F合
能力提升答案
1、45°；2.8* 2、；
3、（1）6m/s (2) 6m 4、（1）3m/s (2) 6N 向上（3）1.5N 向下
5、（1） （2）
〖总结归纳〗
〖知识梳理〗本章我们学习了物体做曲线运动的条件以及运动的合成和分解，并研究了两种曲线运动：平抛运动和匀速圆周运动。运动的合成和分解是研究曲线运动的基本方法，本章的知识框图如下：
曲线运动
曲线运动的条件：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上
研究曲线运动的基本方法：运动的合成与分解
两种特殊的曲线运动曲线运动
运动性质：匀变速曲线运动
规律：
vx=v0
vy=gt
平抛运动
x=v0t
y=gt2/2
匀速圆周运动
运动性质：变速运动
描述匀速圆周运动的几个物理量：
向心力：
向心加速度：
〖情景发散〗
本章要点追踪：
1、物体的运动轨迹不是直线的运动称为曲线运动，曲线运动的条件可从两个角度来理解：（1）从运动学角度来理解；物体的加速度方向不在同一条直线上；（2）从动力学角度来理解：物体所受合力的方向与物体的速度方向不在一条直线上。曲线运动的速度方向沿曲线的切线方向，曲线运动是一种变速运动。
曲线运动是一种复杂的运动，为了简化解题过程引入了运动的合成与分解。一个复杂的运动可根据运动的实际效果按正交分解或按平行四边形定则进行分解。合运动与分运动是等效替代关系，它们具有独立性和等时性的特点。运动的合成是运动分解的逆运算，同样遵循平等四边形定则。
2、平抛运动
平抛运动具有水平初速度且只受重力作用，是匀变速曲线运动。研究平抛运动的方法是利用运动的合成与分解，将复杂运动分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。其运动规律为：（1）水平方向：ax=0，vx=v0，x= v0t。
（2）竖直方向：ay=g，vy=gt，y= gt2/2。（3）合运动：a=g，，
。vt与v0方向夹角为θ，tanθ= gt/ v0，s与x方向夹角为α，
tanα= gt/ 2v0。
平抛运动中飞行时间仅由抛出点与落地点的竖直高度来决定，即，与v0无关。水平射程s= v0。
3、匀速圆周运动、描述匀速圆周运动的几个物理量、匀速圆周运动的实例分析。
正确理解并掌握匀速圆周运动、线速度、角速度、周期和频率、向心加速度、向心力的概念及物理意义，并掌握相关公式。
圆周运动与其他知识相结合时，关键找出向心力，再利用向心力公式F=mv2/r=mrω2列式求解。向心力可以由某一个力来提供，也可以由某个力的分力提供，还可以由合外力来提供，在匀速圆周运动中，合外力即为向心力，始终指向圆心，其大小不变，作用是改变线速度的方向，不改变线速度的大小，在非匀速圆周运动中，物体所受的合外力一般不指向圆心，各力沿半径方向的分量的合力指向圆心，此合力提供向心力，大小和方向均发生变化；与半径垂直的各分力的合力改变速度大小，在中学阶段不做研究。
对匀速圆周运动的实例分析应结合受力分析，找准圆心的位置，结合牛顿第二定律和向心力公式列方程求解，要注意绳类的约束条件为v临=，杆类的约束条件为v临=0。
〖综合演练〗
1、 对于曲线运动中的速度方向，下述说法中正确的是：
A、曲线运动中，质点在任一位置处的速度方向总是通过这一点的切线方向。
B、 在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定沿着轨迹的切线。
C、旋转的雨伞，伞面上水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向不是沿其轨迹切线方向。
D、旋转的雨伞，伞面上水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向总是沿其轨迹切线方向。
2、 下面说法中正确的是：
A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动。
B、物体在变力作用下有可能做曲线运动。
C、 做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上。
D、 物体在变力作用下不可能做曲线运动。
3、物体受到几个外力作用而做匀速直线运动，如果撤掉其中的一个力，保持其它力不变，它可能做：①匀速直线运动；②匀加速直线运动；③匀减速直线运动；④匀变速曲线运动。下列组合正确的是：
A、①②③ B、②③ C、②③④ D、②④
4、关于互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是：
A、 一定是直线运动。 B、一定是曲线运动。
C、可能是直线运动。 D、可能是曲线运动。
5、质量为m1的子弹在h=10m的高度以800m/s的水平速度射出枪口，质量为m2（m2>m1）的物体也在同一高度同时以10m/s的水平速度抛出（不计空气阻力）则有：
A、 子弹和物体同时落地。 B、子弹落地比物体迟。
B、 子弹水平飞行距离较长。 D、子弹落地速率比物体大。
6、一飞机以150m/s的速度在高空某一水平面上做匀速直线运动，相隔1s先后从飞机上落下A、B两个物体，不计空气阻力，在运动过程中它们所在的位置关系是：
A、 A在B之前150m处。
B、A在B之后150m处。
C、 正下方4。9m处。
D、A在B 的正下方且与B的距离随时间而增大。
7、以速度v在平直轨道上匀速行驶的车厢中，货架上有一个小球，货架距车厢底面的高度为h，当车厢突然以加速度a做匀速加速直线运动时，这个小球从货架上落下，小球落到车厢面上的距货架的水平距离为：
A、0 B、 C、 d、
8、在高度为h的同一位置向水平方向同时抛出两个小球A和B，若A球的初速度大于B球的初速度，则下列说法中正确的是：
A、 A球比B球先落地。
B、 在飞行过程中的任一段时间内，A球的水平位移总是大于B球的水平位移。
C、 若两球在飞行中遇到一堵墙，A球击中墙的高度大于B球击中墙的高度。
D、在空中飞行的任意时刻A球的速率总是大于B球的速率。
9、下列说法正确的是：
A、做匀速圆周运动的物体的加速度恒定。
B、 做匀速圆周运动的物体所受的合外力为零。
C、 做匀速圆周运动的物体的速度大小是不变的。
D、做匀速圆周运动的物体处于平衡状态。
10、“探究平抛运动的规律”的实验目的是：
A、 描出平抛物体运动的轨迹。
B、 求出重力加速度。
C、 求出平抛物体的初速度。
D、求出平抛物体的位移。
O
m
11、如右图所示，用细线吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，关于小球的受力，正确的是：
A、 受重力、拉力、向心力。
B、 受重力、拉力。
C、 只受重力。
D、以上均不正确。
12、质量为m的小球在竖直平面内圆形轨道内侧运动，经过最高点而刚好不脱离轨道时的速度为v，则小球以2v的速度经过最高点时，对轨道内侧的压力大小为：
A、0 B、mg C、3mg D、5mg
13、质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力的大小为：
A、mω2R B、 C、 D、无法确定
m
P
R
ω
14、如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的作用力，则F：
A、 一定是拉力。
B、 一定是推力
C、 一定等于0
D、 可能是拉力，可能是推力，也可能等于0
15、行车的钢丝长L=3。0m，下面吊着质量为m=2。0×103kg的货物，以速度v=3。0m/s行驶，行车突然刹车时，钢丝绳所受的拉力是 N。（g=10m/s2）
16、如图所示，代表船的划速的方向用5个箭头表示，每两个箭头之间的夹角都是300，已知水速为1m/s，船在静水中的划速为2m/s。则：
（1）要使船能够垂直渡过河，那么划船的方向应是 。
（2）要使船以最短的时间渡河，那么划船的方向应是 。
v水
E
D
C
B
A
17、一列火车以v1=2m/s的速度向东匀速行驶，在车厢内有人用步枪垂直于车身水平地对准车厢外距列车100m处与车轨平行的一面墙上的A点射击。子弹离开枪口时的速度为v2=500m/s，则子弹打到墙上的位置偏离A点的距离为：水平方向x= ；竖直方向y= 。（g=10m/s2）
18、甲、乙两轮为没有相对滑动的摩擦传动装置，甲、乙两轮半径之比为2：1，A、B两点分别为甲、乙两轮边缘上的点，A、B两点的线速度之比为 ；
向心加速度之比为 ；周期之比为 。
19、一质量为m的小物块沿半径为R的圆弧轨道下滑，滑到最低点时的速度是v，若小物与轨道的动摩擦因数是μ，则当小物块滑到最低点时受到的摩擦力是
。
20、在“研究平抛物体运动“的实验中，某同学记录了A、B、C三点，取A点为坐标原点，建立了右图所示的坐标系。平抛轨迹上的这三点坐标值图中已标出。那么小球平抛的初速度为 ；小球抛出点的坐标为 。
x/cm
y/cm
C
B
A
40
15
10
20
21、从离地面高为h、与墙相距s处水平抛出一个弹性小球，小球与墙发生碰撞后，落到地面上，落地点与墙的距离为2s，设碰撞过程无机械能损失，则小球抛出到落地的时间为 ；小球抛出时的初速度大小为 。
22、质量为3×103kg的汽车以10m/s的速度通过一半径为20m的凸形桥，汽车过桥顶时对桥的压力为 N，如汽车以速度为 m/s通过桥顶时，汽车对桥的压力为零。（g=10m/s2）
23、汽车通过拱形桥顶点的速度为10m/s，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在粗糙桥面上行驶到桥顶时不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度为
。
A
B
24、半径为R的圆筒A，绕其竖直中心轴匀速转动，其内壁上有一质量为m的物体B，B一边随A转动，一边以竖直的加速度a下滑，AB间的动摩擦因数为μ，A转动的角速度大小为 。
θ
v
25、如图所示，船以速度v匀速向右划行，通过绳跨过滑轮拖动汽车运动，当绳与水面夹角为θ时，汽车向右运动的瞬时速度为 。
26、试根据平抛运动原理设计测量弹射器弹丸出射初速度的实验方法，提供的实验器材：弹射器（含弹丸，见示意图）；铁架台（带有铁夹）；米尺。
（1）画出实验示意图。
（2） 在安装弹射器时应注意 。
（3） 实验中需要测量的量（并在示意图中用字母标出）
。
（4）由于弹射器每次射出的弹丸初速不可能完全相等，在实验中应采取的方法是 。
（5）计算公式为： 。
27、不久前在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同。他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，（1）他对座椅的压力是多大？（2）在圆周运动的过程中他曾有眼睛“黑视”的情况发生，“黑视”在何处最严重？（不考虑空气阻力，g取10m/s2）
A
B
R
b
a
28、如图所示，AB为半径为R的金属导轨，a、b分别为沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球，要使小球不致脱离导轨，a、b在导轨最高点的速度va、vb应满足的条件是什么？
29、如图所示，摩托车做腾跃特技表演，以初速度v0冲上高为h、顶部水平的高台，然后从高台水平飞出。若摩托车始终以额定功率P行驶，经时间t从坡底到达坡顶，人和车的总质量为m，且各种阻力的影响可以忽略不计，求：
（1）人和车到达坡顶时的速度v？
（2）人和车飞出的水平距离x？
v0
v
h
x
（3）当h为多少时，人和车飞出的水平距离最远？
30、如图所示，一个小球自A点以初速度v0沿粗糙水平面滑行s后，接着滑上半圆形轨道，当小球滑离上端C点后，又恰好落到A点。已知半圆形轨道的半径为r，且小球与水平面的动摩擦因数为μ。求小球的初速度v0和s各自需要满足的条件？
s
A
B
C
O
r
〖综合演练答案〗
1、 AD 2、BC 3、C 4、B 5、ACD 6、D 7、B 8、BCD 9、C 10、AC
11、B 12、C 13、C 14、D 15、2。6×104 16、B；C 17、0。4；0。2
18、1：1；1：2； 2：1 19、 20、1m/s；（-10，-5）
21、 22、1。5×104；14。1 23、20m/s 24、
25、vcosθ
y
x
26、解：根据研究平抛运动的实验及平抛运动的规律，可知使弹丸做平抛运动，通过测量下落高度求出时间，再测水平位移可求出其平抛的初速度，即弹丸出射时的初速。
（1）实验示意图如图所示：
（2）弹射器必须水平，以保证弹丸的初速度沿水平方向。
（3）应测出弹丸下降的高度y和水平射程x，如图所示。
（4）在不改变高度y的条件下进行多次实验测量水平射程x，得出水平射程x的平均值，以减小误差。
（5）由得：。又因：x=v0t，故v0==。
27、解析：（10在最高点向心力为2mg，速度为v1则：
解得：
在最低点：解得：
故
这时压力FN=mg+F向=
由于超重，血压降低，脑部缺血造成“黑视”，在最低点是过日子严重。
28、解：分析a、b两球在最高点的受力，结合受力情况，再分析能完成圆周运动的临界条件。
在最高点时，根据牛顿第二定律： ①
要使a球不脱离轨道，则Fa>0 ②
由①②得：
b球在最高点，根据牛顿第二定律： ③
又b球不脱离圆周，则Fb>0 ④
由③④得:
答案: ,
29、解：（1）Pt-mgh=mv2-mv02 ①
得：v= ②
（2）设人和车从高台飞出到落地所经历时间为t/，则有：
③
x=vt/ ④
联立②③④得；。
（4） 由于上式中的为常量考虑到
为常量，因此，当2h=时，即当h=时，人和车飞出的水平距离最远。
答案：（1）（2） （3）
30、解：设小球的初速度为v0，小球离开C处时的速度为v，则根据题意有：
2r=，即t= 又s=vt，v=，所以：v= ①
小球在AB段运动时，摩擦力做功W=μmgs 根据功能关系有：
所以： ②
将①代入②中，得：
又由于小球运动到最高点C的条件为：，
所以，即s≥2r。
答案：，s≥2r。
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