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高中1 曲线运动教案设计
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新人教高中物理必修2精品教案
第五章 曲线运动51 曲线运动
[精讲精析]
[知识精讲]
知识点1 曲线运动是变速运动
质点运动轨迹是一条曲线，称质点做曲线运动。轨迹上各点的切线方向为质点在该点的速度方向。由于轨迹是条曲线，曲线上不同点，切线方向一般不同，即速度方向不同。所以质点做曲线运动，速度方向时刻在变化。速度是矢量，速度的变化包括速度大小的变化和速度方向的变化，因此曲线运动是一种变速运动。
[例1]下列有关曲线运动的说法中，正确的是（ ）
A、 曲线运动是一种变速运动
B、 做曲线运动的物体合外力一定不为零
C、 做曲线运动的物体所受的合外力一定是变化的
D、 曲线运动不可能是一种匀变速运动
[思路分析]由于速度方向是轨迹各点的切线方向，而曲线运动轨迹切线随位置而变化，所以曲线运动速度是变化的，具有加速度，由F=ma有合外力必定不为零，则A、B正确。做曲线运动的条件是物体具有一定的初速度，受一个与速度不在一条直线上的合外力作用。此力不一定变化，也不一定不变化。若力变化，则为变加速运动，故C、D错。
[答案] A、B
[总结]1、变速运动指速度变化的运动。速度的变化有：速度大小变化（包括变速直线运动）、速度方向变化（如曲线运动）、速度大小和方向都变化。在物体运动的过程中，即使速度大小不变，但方向变化，仍为曲线运动。
2、做曲线运动的物体，不管速度大小是否变化，只要其方向变化，速度就会发生变化，因此曲线运动必定是变速运动。
3、作直线运动的物体，如果速度方向不变，其大小变化，也称为变速运动。
[变式训练]下列说法正确的是（ ）
A、做曲线运动物体的速度方向必定变化
B、速度变化的运动必定是曲线运动
C、曲线运动中质点在某点的瞬时速度方向，就是曲线上这一点的切线方向
D、物体做曲线运动，速度大小必定变化
〔答案〕AC
知识点2 物体做曲线运动的条件
当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
注意：1、曲线运动是变速运动，凡物体做变速运动比有加速度，而加速度是由于力的作用产生的，做曲线运动的物体在任何时刻所受合外力皆不为零，不受力的物体不可能做曲线运动，加速度方向与合外力方向相同，可推知：曲线运动的加速度方向与速度方向不在同一直线上。
2、物体做直线运动与做曲线运动条件的比较
条件
直线运动
匀速直线运动
F＝0（a=0）
匀加速直线运动
F(a)方向与v同方向且F不变
变加速直线运动
F(a)方向与v同方向且F变
匀减速直线运动
F(a)方向与v反方向且F不变
变减速直线运动
F(a)方向与v反方向且F变
曲线运动
匀变速曲线运动
F(a)方向与v方向不共线且F不变
非匀变速曲线运动
F(a)方向与v方向不共线且F变
F1
F2
3、在变速直线运动（加速直线运动或减速直线运动）中，加速度方向（即合外力方向）与速度方向在同一直线上，加速度只改变速度的大小，不改变速度的方向；在曲线运动中，加速度方向（合外力方向）与速度方向不在同一条直线上，加速度可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。某时刻物体受力如图所示，
F
把F分解成互相垂直的F1和F2两个分力，其中F1沿轨迹切向，F2垂直于F1方向，可见，在这一时刻，F2使物体的运动方向发生变化，而F1则改变物体运动的速率。合力F方向指向轨迹弯曲的一侧，也就是曲线运动轨迹必定向合外力的指向方向弯曲。
〔例2〕物体受几个恒力作用恰做匀速直线运动，如果突然撤去其中的一个力F2，则它可能做（ ）
A、匀速直线运动 B、匀加速直线运动
C、匀减速直线运动 D、匀变速曲线运动
〔思路分析〕撤去力F2后，物体受合外力大小为F2，方向与F2相反，但此合外力方向与速度方向可能相同、相反或不在同一直线上，因而应考虑这三种情况下物体可能做的运动。
〔答案〕BCD
〔总结〕1、解题时应注意分析和挖掘题中信息，在速度方向（或受力方向）不定的情况下，应考虑各种可能的情况。
2、对于速度方向与F合方向不定的情况，可先考虑速度与F合在同一直线（同向或反向），然后再讨论不在同一直线上（夹角为锐角、直角、钝角）的情况，进而分析物体速度大小和方向的变化。
〔变式训练2〕一个物体在力F1、F2、F3等几个力的共同作用下，做匀速直线运动。若突然撤去力F1后，则物体（ ）
A、可能做曲线运动 B、不可能继续做直线运动
C、必然沿F1的方向做直线运动
D、必然沿F1的反方向做匀加速直线运动
[答案] A
[难点精析1]曲线运动的速度与加速度
物体做曲线运动的条件是：物体具有一定的初速度，受一个与速度不在一条直线上的合外力作用。根据牛顿第二运动定律F=ma，物体的加速度与物体所受的合外力是瞬时对应关系，而且加速度方向与合外力方向一致，因此做曲线运动的物体的加速度与速度不在一条直线上。速度的方向是轨迹的切线方向，加速度的方向是合外力的方向。
[例3]一物体在某一恒力作用下做曲线运动，t时刻速度方向与此恒力的方向的夹角为60°。下列说法中正确的是（ ）
A、t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角大于60° B、t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角小于60°
C、t+△t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角大于60°
D、t+△t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角小于60°
[思路分析]加速度方向与力的方向一致，物体受恒力作用，则加速度恒定。速度方向为轨迹的切线方向。t时刻速度与力夹角为60°，则速度与加速度夹角也为60°，则A、B错。经△t后，加速度方向仍不变，但速度方向改变了，由于轨迹力的指向方向弯曲，△t后速度方向与力的方向夹角应小于60°，则速度方向与加速度方向夹角小于60°，所以D正确，C错误。
[答案] D
[方法总结]1、物体在恒力作用下做曲线运动，其加速度也恒定不变，这样的运动叫匀变速直线运动。
2、物体在恒力作用下做曲线运动，若时间足够长，速度方向向合外力方向趋近，故加速度方向与速度方向的夹角随时间增加而变小。
[变式训练3]下列说法正确的是（ ）
A、做曲线运动物体的速度方向必定变化
B、速度变化的运动可能是曲线运动
C、加速度恒定的运动可能是曲线运动
D、加速度变化的运动必定是曲线运动
[答案] B C
[难点精析2]匀变速运动和非匀变速运动的区别
（1）匀变速运动：加速度为定值（大小、方向均不变），可以是直线运动，也可以是曲线运动。如物体受合外力是恒力，必做匀变速运动。
（2）非匀变速运动：加速度是改变的（大小改变，或方向改变，或大小、方向均改变），可以是直线运动，也可以是曲线运动。如物体受合外力为变力，它做非匀变速运动。
[例4]下列说法正确的有（ ）
A、速度大小不变的曲线运动是匀速运动，是没有加速度的
B、变速运动一定是曲线运动
C、曲线运动的速度一定是要改变的
D、曲线运动也可能是匀速运动
[思路分析]曲线运动的速度方向时刻改变，不管它的速度大小是否改变，它的速度是改变的，因而必定有加速度。曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，也可以是速度大小变化的直线运动。
曲线运动是否是匀变速运动，要看物体受的合外力是不是恒力，若合外力是恒力，则为匀变速曲线运动；若受的是变力，则为非匀变速曲线运动。
[答案] C D
[警示误区]对曲线运动理解的主要失误有：对矢量概念理解不清，错误地认为速度大小不变，就是匀速运动，就没有加速度；对变速运动与匀变速运动概念理解不透，认为变速运动就是曲线运动，曲线运动不可能是匀变速运动。排除障碍的方法是：真正理解速度、加速度等矢量概念，特别是注意矢量的方向性。
[变式训练4]下列说法正确的是（ ）
A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B、物体在变力作用下有可能做曲线运动
C、物体在恒力作用下速度方向必定与加速度方向相同
D、物体在变力作用下不可能做直线运动
[答案] B
[难点精析3]曲线运动中受力方向判断
[例5]如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受的力反向，但大小不变，即由F变为-F，在此力的作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）
c
b
a
B
A
A、物体不可能沿曲线Ba运动
B、物体不可能沿曲线Bb运动
C、物体不可能沿曲线Bc运动
D、物体不可能沿原曲线由B返回到A
[思路分析]
由原来的运动轨迹A B可以确定恒力F的方向是斜向下的，当外力反向时物体的运动方向应斜向上，运动的轨迹是Bc。特别注意B选项，原F的方向不可能沿Bb方向，因为在A点时速度在垂直Bb的方向上有速度分量，而在B点的速度方向是Bb方向，在垂直Bb的向下方向有外力的分力，因此外力F的方向是右偏下。
〔答案〕A B D
〔方法总结〕1、曲线运动轨迹必定向合外力的指向方向弯曲，利用这一规律可判定恒力F的方向。
2、合外力方向与速度方向分层在轨迹两侧，可判定由F变为－F后物体运动轨迹是B C
〔变式训练5〕一质点在恒力F作用下，在xoy平面内从o点运动到M点的轨迹如图所示，则恒力F可能（ ）
y
x
o
A、沿＋x方向
B、沿－x方向
C、沿＋y方向
D、沿－y方向
〔答案〕D
[难点精析4]空间探测器运动状态的改变
[例6]如图所示为一空间探测器的示意图，P1，P2，P3，P4是四个喷气发动机，P1，P3的连线与空间一固定的坐标系的x轴平行，P2，P4的连线与y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，担不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的v0速度向x正方向运动
P1
P4
P2
P3
(1)、单独开动P1，探测器将做什么运动？
(2)、单独开动P2，探测器将做什么运动？
(3)、同时开动P3，P4，探测器将做什么运动？
[思路分析]
（1）单独开动P1，探测器受到与初速度相反方向的力的作用，探测器做匀减速直线运动。
（2）单独开动P2，探测器受到与初速度方向垂直的力的作用，探测器做匀变速曲线运动（类平抛运动），探测器向上偏转。
（3）同时开动P3，P4，探测器受到沿x轴正方向与y轴反方向的力的作用，使探测器一边加速一边同时向y轴负方向偏转。
〔答案〕（1）匀减速直线运动；（2）向上偏转（类平抛运动）；（3）沿x轴方向加速同时向y轴负方向偏转。
〔方法总结〕物体的运动状态是由物体的受力和初速度两个因素共同决定的，所以判定物体的运动情况，一方面要分析物体的受力；另一方面要分析物体的速度方向与力的方向之间的关系。
〔综合拓展〕本节学习了1、质点运动轨迹是曲线的运动叫曲线运动。
2、物体做曲线运动时，在某点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向，曲线运动的速度方向时刻在变化，其速率可变可不变。曲线运动是变速运动。
3、做曲线运动的条件是合外力方向与速度方向不共线，加速度方向与速度方向也不共线。曲线运动的轨迹向合外力方向弯曲。
〔例7〕一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A、速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B、速度方向一定不断地改变，加速度可以不变
C、速度大小可以不变，加速度一定不断地改变
D、速度可以不变，加速度也可以不变
〔思路分析〕曲线运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，其速度方向一定变化，速度大小可能变化，也可能不变，所以曲线运动速度一定变化，曲线运动一定有加速度，加速度方向与速度方向不在一条直线上，加速度可恒定也可变化，故A C D错，B对
〔答案〕B
〔误区警示〕（1）曲线运动速度方向时刻在变化，速度大小可以不变，也可以改变；其加速度不一定改变。
（2）物体的加速度恒定也可以做曲线运动。
[活学活练]
[基础达标]
1、2002年哥伦比亚号航天飞机在进入地球高空大气层时，发生意外事故，7名宇航员全部遇难，该航天飞机进入大气层时与地面成450角，发生事故后，动力关闭，该飞机的运动状态为：
A、 沿原方向做匀速直线运动。
B、 做自由落体运动。
C、 做曲线运动。
D、 由于空气阻力，飞机可能做直线运动，也可能做曲线运动。
2、对曲线运动中的速度的方向，下列说法正确的是：
A、 在曲线运动中，质点在任一位置的速度方向总是与这一点的切线方向相同。
B、 在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定是沿着轨迹的切线方向。
C、旋转雨伞时，伞面上的水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向不是沿其轨迹切线方向。
D、旋转雨伞时，伞面上的水滴由内向外做螺旋运动，水滴速度方向总是沿其轨迹切线方向。
3、下列说法正确的是：
A、 做曲线运动的物体受到的合力一定不为零。
B、 做曲线运动的物体的加速度一定是变化的。
C、 物体在恒力作用下，不可能做曲线运动。
D、 物体在变力作用下，可能做直线运动，也可能做曲线运动。
4、下列说法中正确的是：
A、 做曲线运动的物体的速度大小可能不变，其加速度可能为零。
B、 做曲线运动的物体在某点的运动方向与该点的曲线切线方向相同。
C、 曲线运动一定是变速运动。
D、 曲线运动的速度方向可以不变，但大小一定改变。
5、关于做曲线运动的物体的速度和加速度，下列说法中正确的是：
A、 速度方向不断改变，加速度方向不断改变。
B、 速度方向不断改变，加速度方向一定不为零。
C、 加速度越大，速度的大小改变得越快。
D、 加速度越大，速度改变得越快。
6、在曲线运动中，下列说法中正确的是：
A、 速度v大小可能不变。
B、 加速度a的大小可能不变。
C、 合力F大小可能不变。
D、 位移x始终变大。
7、如图所示，小钢球m以初速度v0在光滑水平面上运动，后受到磁极的侧向作用力而做图示的曲线运动到达D点，从图可知磁极的位置及极性可能是：
v0
·A
·B
·C
·D
m
A、 磁极在A位置，极性一定是N极。
B、 磁极在B位置，极性一定是S极。
C、 磁极在C位置，极性一定是N极。
D、 磁极在B位置，极性无法确定。
8、下列说法正确的是：
A、 抛出的石块在空中的运动一定是曲线运动。
B、 砂轮磨刀具时，砂轮上擦落的微粒做曲线运动而飞离砂轮。
C、 水平飞行的飞机中自由落下一跳伞运动员，在空中的运动是曲线运动。
D、 火箭发射时，竖直上升阶段做的是曲线运动。
9、在曲线运动中，下列现象可能出现的有：
A、 平均速度不等于零，平均速率不等于零。
B、平均速度不等于零，平均速率等于零。
C、平均速度等于零，平均速率不等于零。
D、平均速度等于零，平均速率等于零。
10、运动物体所受的合外力为零时，物体做 运动。如果合外力不为零，它的方向与物体速度方向在同一直线上，物体就做 运动；如果不在同一直线上，物体就做 运动。
11、做曲线运动的物体，在某一点的瞬时速度的方向就是通过这一点沿曲线的
方向，因而做曲线运动的物体速度方向 ，所以曲线运动是一种 。
12、如图所示，质量为m的物体在4个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与F1、F3方向恰在一直线上，则：
（1）若只撤去F1，物体将做 运动，加速度大小为 ，方向为 。
（2）若只撤去F2，它将做 运动，加速度大小为 ，方向为 。
（3）若只撤去F3，它将做 运动，加速度大小为 ，方向为 。
F3
v
F1
F2
F4
（4）若将四个力同时撤去，它将做 运动，加速度大小为 。
13、如图所示，从A经B到C为投出的篮球在竖直平面飞行的轨迹图，试在图上画出A、B、C三点的速度方向及加速度方向。
·C
·B
·A
[活学活练答案]
1、C 2、AD 3、AD 4、BC 5、BD 6、ABC 7、D 8、C 9、AC
10、匀速直线；直线；曲线。11、切线，时刻改变；变速运动。
12、（1）匀加速直线；F1/m；F1的反方向。（2）曲线；F2/m；F2的反方向。
（3）匀减速直线；F3/m；F3的反方向。（4）匀速直线；0。
13、略。
[能力提升]
1、做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是：
A、速度 B、加速度 C、合外力 D、速率
2、下列关于曲线运动的说法正确的是：
A、 可以是匀速率运动。
B、 一定是变速运动。
C、 加速度可能恒为0。
D、 可以是匀变速运动。
3、关于曲线运动，下列说法正确的是：
A、 曲线运动一定是变速运动。
B、 变速运动一定是曲线运动。
C、 曲线运动一定是变加速运动。
D、 加速度大小和速度大小都不变的运动一定不是曲线运动。
4、下列说法正确的是：
A、 做曲线运动的物体受到的合外力一定不为零。
B、 做曲线运动的物体的加速度一定变化。
C、 物体在恒力作用下，不可能性做曲线运动。
D、物体在变力作用下，一定做曲线运动。
5、物体做曲线运动的轨迹如图所示，它在曲线上的A点所受的合外力方向哪些是可能性的：
·A
F1
F2
F3
F4
6、某物体在一足够大的光滑水平面上向东匀速运动，当它受到一人向南的恒定外力的作用，物体的运动将是：
A、 匀变速曲线运动。
B、 匀变速直线运动。
C、 非匀变速曲线运动。
D、 无法确定。
7、一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2的作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增加到F1+△F，则质点：
A、 一定做匀变速曲线运动。
B、 在相等的时间内速度的变化一定相等。
C、 可能做匀速直线运动。
D、可能做变加速曲线运动。
8、如图所示，一个劈形物体M，各面均光滑，放在固定的斜面上，M的上表面水平，在M上放一光滑的小球m，劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是：
θ
M
m
A、 沿斜面向下的直线。
B、 竖直向下的直线。
C、 无规则曲线。
D、 抛物线。
·C
·D
·B
·A
9、图是一做匀变速曲线运动的轨迹示意图，已知B点的速度方向与加速度方向垂直，则下列说法中，正确的是：
A、 D点的速率比C点速率大。
B、 A点的加速度与速度的夹角小于900。
C、 A点的加速度比D点加速度大。
D、从A到D加速度与速度的夹角是先增大后减小。
11、当物体做做下列运动时，其所受的合力与初速度分别满足的条件是什么？
（1）匀变速直线运动。 （ ）
（2）匀速运动。 （ ）
（3）曲线运动。 （ ）
（4）匀加速直线运动。 （ ）
（5）匀减速直线运动。 （ ）
（6）匀变速曲线运动。 （ ）
A、 合外力为零，初速度不为零。
B、 合外力大小不变，方向与初速度方向相同。
C、 合外力大小不变，方向与初速度方向相反。
D、合外力大小、方向不变，方向与初速度方向不在一条直线上。
[能力提升答案]
1、A 2、ABD 3、A 4、A 5、CD 6、A 7、AB 8、B 9、A
10、（1）BC （2）A （3）D （4）B （5）C （6） D
[真题再现]
1、下面说法中正确的是：
A、 做曲线运动的物体的速度方向必定变化。
B、 速度变化的运动必定是曲线运动。
C、 加速度恒定的运动不可能是曲线运动。
D、 加速度变化的运动必定是曲线运动。
思路分析：在曲线运动中，运动质点在任一点的速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向，所以曲线运动的速度方向一定变化，所以A正确；速度是矢量既有大小又有方向，速度大小或方向其中一个变化或两个都变化，速度就变化。若速度大小变化，方向不变，且速度方向与加速度方向在一条直线上，物体就做变速直线运动，故B不正确；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在一条直线上，而不是要求加速度是否为恒量，C不正确；加速度是矢量，既有大小又有方向，若加速度方向不变，仅是大小变化且加速度方向与速度方向在一条直线上时，物体做变加速直线运动，所以D不正确。
[答案]A
2、下列说法中正确是：
A、 物体在恒力作用下，不可能做曲线运动。
B、 物体在变力作用下一定做曲线运动。
C、 物体在恒力或变力作用下都可能做曲线运动。
D、做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向一定不在同一直线上。
思路分析:物体是否做曲线运动,与力的大小没有关系,关键在于合力的方向与速度方向是否共线,只要合力的方向与速度方向不在同一直线上,物体就做曲线运动,所以A、B错，C正确。由于加速度方向与合力方向一致，所以选项D正确。
[答案]CD
第2节 运动的合成与分解
[知识精讲]
知识点1 运动的合成与分解
(1) 合运动与分运动
合运动就是物体的实际运动.一个运动又可以看作物体同时参与了几个运动,这几个运动就是物体实际运动的分运动,物体的实际运动(合运动0的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度,而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
(2) 运动的合成与分解
包括位移、速度、加速度的合成与分解,他们与力的合成与分解一样都遵守平行四边形定则:由已知的分运动求跟他们等效的合运动的过程叫做运动的合成,而由已知的合运动求跟他们等效的分运动的过程叫做运动的分解
研究运动的合成与分解,目的是在于把一些复杂的运动简化为比较简单的直线运动,这样就可应用已经掌握的的有关直线运动的规律,来确定一些复杂的曲线运动.
(3) 合运动和分运动的关系
① 等时性:合运动与分运动经历的时间相等.
例如,小船过河时,一方面小船随水流向下游运动;另一方面,小船相对水向对岸划行.当小船在下游某处到达对岸时,这两个分运动也同时结束.
② 独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响.
例如, 船过河时,如果水流速度变大,只影响小船向下游的分运动,不影响小船的过河时间,即不影响向对岸划行的速度.
③ 等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果.
(4) 运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的几个物理量,即位移、速度、加速度的合成与分解,由于他们都是矢量,所以都遵循平行四边形定则.
①两分运动在同一直线上时,同向相加,反向相减.例如,竖直抛体运动看成是水平方向的匀速运动(v0t)和自由落体运动(gt2)的合成,下抛时vt=v0+gt,x=vot+gt2,上抛时, vt=v0-gt,x=vot-gt2
②不在同一直线上时,按照平行四边形定则进行合成,如图所示:
v2
O
v1
v
x2
x1
O
x
O
a1
a2
a
③两分运动垂直或正交分解后的合成
a合= v合= x合=
(5)互成角度的两个分运动的和运动的几种可能情况
① 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动
② 一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
③ 两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动.合运动的方向,即两个加速度合成的方向
④ 两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动,也可能是匀变速直线运动.当两个分运动初速度的合速度方向与两分运动的合速度的方向在同一直线上时,合运动为匀变速直线运动,否则,是匀变速曲线运动.
(6)运动的分解是运动合成的逆过程
分解原则:根据运动的实际效果分解或正交分解
[例1]小船在200米宽的河中横渡,水流速度为2m/s,船在静水中的航速是4m/s,求:
(1) 当小船的船头始终正对对岸是,他将在何时、何处到达对岸?
(2) 要使小船到达正对岸,应如何行驶,历时多长?
θ
v水
v合
v船
[思路分析]小船参与了两个运动,随水漂和船在静水中的运动,因为分运动间是互不干扰的,具有等时的性质,故
(1) 小船渡河时间等于垂直河岸的分运动时间:
t=t1==200/4=50s,
沿河流方向的位移
s水=v水t=2×50m=100m
即在正对岸下游100米处靠岸.
(2) 要小船垂直过河,即合速度要垂直河岸,如 图6-2-1所示,则
cosθ==
所以θ=600,即航向与岸成600角,渡河时间
t=t1= = ==57.7s
[答案](1)经50s到达正对岸下游100m处;
(2)船头与岸成(向上游方向),历时57.7s.
[总结]解决这类问题的步骤(1)明确哪个是合运动,哪个是分运动;
根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解;
在解题时应注意画好示意图.
[内容延伸]渡河问题分析
小船过河的问题,可以 小船渡河运动分解为他同时参与的两个运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.
设河宽为d,船在静水中的速度为v1,河水流速为v2
①船头正对河岸行驶,渡河时间最短,t短=
②当 v1> v2时,且合速度垂直于河岸,航程最短x1=d
当 v1< v2时,合速度不可能垂直河岸,确定方法如下:
如图所示,以 v2矢量末端为圆心;以 v1矢量的大小为半径画弧,从v2矢量的始端向圆弧作切线,则
v1
θ
d
v2
x2
合速度沿此切线航程最短,
由图知: sinθ=
最短航程x2= =
注意:船的划行方向与船头指向一致,而船的航行方向是实际运动方向.
[变式训练1]小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min可到达下游120m处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经12.5min可到达正对岸,试问河宽有多少米?
[答案]河宽200m
知识点2 在直角坐标系中研究蜡块的运动
(1) 建立直角坐标系
运动开始时蜡块的位置为原点,水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向.
(2) 蜡块的位置
如图所示,蜡块沿玻璃管匀速上升的速度 vy,玻璃管向右移动的速度设为vx,从蜡块开始运动的时刻t计时,于是,在时刻t,蜡块P的位置可以用它的x、y两个坐标表示x= vx t, y= vy t
O
θ
x
y
P
v
vx
vy
(3) 蜡块的运动轨迹:
由以上两式可得:y=
因为vy、 vx都是常量,故代表的是一条过原点的直线.
(4) 蜡块的位移:s== tanθ=
(5) 蜡块的速度:v=
注意：1、两个方向的分运动为匀速直线运动时，其合运动必然为匀速直线运动，
2、这种方法对变速运动也适应
[例2]在一根玻璃管内装上一红蜡块,使红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升,若红蜡块在A 点匀速上升的同时,使玻璃管水平向右做匀速直线运动,,则红蜡块实际运动的轨迹是图6-2-3所示的：
A
Q
P
R
A.直线 P B.曲线Q
C.曲线 D. 无法确定
[思路分析]红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动两个分运动,而合加速度就是水平方向的加速度,方向是水平向右的,它们之间有一定的夹角,故轨迹是曲线.又因为物体做曲线运动时曲线总向加速度方向偏折(或加速度方向总是指向曲线的凹向)故选项B正确
[答案] B
[总结]分析物体做直线或曲线运动时,首先确定合外力的方向和初速度的方向.
若合外力方向与初速度方向共线,则做直线运动;若合外力方向与初速度方向有一定夹角,则物体在曲线运动,曲线运动轨迹向合外力方向弯曲,也就是曲线总向加速度方向偏折.
[误区警示]物体做曲线运动时,物体在外力作用下总向合力方向偏折,故曲线运动的加速度方向总是指向曲线的凹向,而不是指向曲线的凸向.
[内容延伸]两个匀变速直线运动合运动
匀变速直线运动的动力学特征就是受力恒定,运动学特征就是加速度恒定.
对两匀变速直线运动合运动,起加速度是俩各个分运动加速度的矢量和,两个分运动加速度恒定,则加速度必定恒定,所以其合运动必定是匀变速运动.
直线运动的动力学特征是躯体的受力与物体的运动速度在同一直线上,运动学的特征就是加速度方向与速度方向在同一直线上,要保证合运动是直线应保证合速度与合加速度是在同一直线上,因此只有当速度矢量与加速度矢量在同一直线上才能满足做直线运动的条件.
[变式训练2] 下列说法正确的是 ( )
A两个匀速直线运动,其合运动必为匀速直线运动
B两个匀变速直线运动, 其合运动必为匀变速直线运动
C平面上的曲线运动可分解成两个直线运动
D两个运动的合运动必定大于分运动
[答案] AC
[难点精析1]运动的独立性
[例3]如图所示,高为h的车厢在平直轨道上匀减速向右行使,加速度大小为a,车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上,车厢地板上的O点位于A点正下方,则油滴落在地板上的点必在O点 (填”左”或”右”)方, 离O点距离为 . .
A
O
h
[思路分析]本题考查物体运动的合成问题.当油滴离开车厢顶部时 ,油滴水平方向不受力,做匀速直线运动;油滴竖直方向受重力,做自由落体运动.两方向上的运动各自独立,互不影响.设油滴离开车厢顶部时,车速为v0, 油滴落到车厢上的时间为t,这段时间油滴水平位移为x1=v0t,车的水平位移为x2 = v0t -at2;因为x1>x2,所以油滴落O在点右方,距O点距离Δx=x1-x2= v0t –(v0t -at2),而h=gt2,得t=,
所以得Δx=at2=a· =.
[答案] 右 ;
[方法总结]1任何一个分运动都不受其他分运动的干扰而保持其运动性质不变.
2各分运动与合运动经历时间相等
[变式训练3]没有风时,跳伞员随降落伞从某一高度落到地面所用的时间为t,现有沿水平方向的强风,则跳伞员随降落伞从同一高度落到地面上所用的时间为( )
A等于t/2 B小于t C 等于t D大于t
[答案]C
[难点精析2]轻绳两端拴两物体沿不同方向运动问题
v1
m
例4.如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m,若汽车和物体m在同一时刻的速度分别为v1和v2,则下面说法正确的是( )
v2
A.物体m 做匀速运动且v1=v2
B.物体m 做减速运动且v1
D.物体m 做加速运动且v1
[思路分析]汽车向左运动,这是汽车的实际运动,故为汽车的合运动,汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车的绳变长了,二是滑轮到汽车的绳与竖直方向的夹角变大了,显然汽车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分运动.如图所示,建立平面直角坐标系.汽车沿绳方向的分速度v3=v1sinθ轻绳的各点在沿绳方向的速度大小必然相等.因为轻绳没有断开.因此,汽车沿绳方向分速度v3与物体m2应相等,即v2=v1sinθ,汽车以v1向左运动, θ角将变大,v1将变大,但不是均匀变大,物体m 将做加速运动,v2
v3
v4
[答案] D
[方法总结]轻绳两端拴物体沿不同方向运动, 轻绳两端所拴物的实际运动即两物的合运动, 两物的合运动在沿绳方向的分速度大小应相等,是解此类问题的关键.这是此类问题的创新解法.
[变式训练4]如图所示,重物M沿绳下滑,并通过绳带动小车m沿斜面升高,则当滑轮右侧绳与竖直发放系的夹角为θ,且重物下滑的速度为v时,小车的速度v’是多少?
M
θ
v’
m
[答案]v’=vcosθ
[综合拓展]运动的合成与分解一节主要学习将复杂运动分解成两个简单的直线运动的方法，合成与分解遵守平行四边形法则。合成与分解的物理量是位移、速度、加速度等矢量。各个分运动各自独立，互不影响，合运动与分运动具有等时性、等效性。本节的难点是运动的合成与分解中的极值问题。
渡河中的极值问题：
渡河问题是运动合成与分解的典型模型，在渡河中，有四个重要的极值规律，设河岸平直，船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，其方向就是船的航向）河的宽度为L。
规律1、当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。
证明：如图所示，设船头与河岸的夹角角为α，则渡河时间可以表示为：
，当sinα=1时，即α=900时，渡河时间最短为
这里应注意：渡河时间与水的流速无关，水的流速只影响船下漂的距离，即：
x=（v水+v船cosα）t=（v水+v船cosα），当α=900时，下漂距离为
α
vx
v船
vy
v
v水
v船
x
L
规律2 在v船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移最小并等于河宽，即smin=L。
α
L
v水
v船
v
证明：如图所示，当合速度v的方向即船的
航向垂直于河岸时，船将到达正对岸，不会
下漂，即x=0，位移最小位smin=L，这时，
船头与河岸的夹角应为：cosα=v水/v船。
v水
α
L
v船
v
x
规律3 在v船
，合速度v的矢尖总是在以v船为半径的
圆周上；当v与圆相切，即v船⊥v时,
α最小，渡河位移最小。cosα= v船/ v水。
这时最小位移为smin=L/ cosα=L v船/ v水。
最小漂移距离：xmin=Ltanα
[例5]两河岸平行，河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在静水中的速度是4m/s时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？，船的位移是多大？
（2）船在静水中的速度是6m/s时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
（3）船在静水中的速度为1。5m/s时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？
[思路分析]（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=d/v2=100/4=25s
v1
d
v
v2
合速度v=
船的位移大小s=v tmin=125m
v1
θ
v
v2
（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的开行速度v2与岸成θ角，则cosθ=，所以θ=600
合速度v=v2sin600=3
t=
β
v2
v
v1
（3）船在静水中速度小于水流的速度，
船头垂直于合速度v时，渡河位移最小，
设船头与河岸夹角为β，如图所示：
cosβ= 所以β=600
最小位移smin=
[答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=25s ; s =125m
(2) 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=
(3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，smin=
[方法总结]船渡河中极值问题,是运动合成与分解中典型问题,是本章的难点,准确理解并熟练掌握上述几条规律是解决此类问题的突破口.
[活学活练]
[基础达标]
1关于运动的合成，下列说法中正确的是：
A、合运动的速度一定比每一个分运动的速度大。
B、两个匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动。
C、两个分运动是直线运动的合运动，一定是匀速直线运动。
D、两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等。
2、如果两个分运动的速度大小相等，且为定值，则以下说法中正确的是：
A、两个分运动夹角为零，合速度最大。
B、两个分运动夹角为900，合速度大小与分速度大小相等。
C、合速度大小随分运动的夹角的增大而减小。
D、两个分运动夹角大于1200，合速度大小小于分速度。
3、从电视新闻看到美国军队围攻伊拉克费卢杰城的激烈战斗场面，一辆向东高速运行的坦克对道路侧面的静止目标进行了轰炸，正好击中目标，坦克上发射炮弹时：
A、直接瞄准目标。 B、瞄准目标应适当偏东。
C、瞄准目标应适当偏西。 D、由于坦克在运动，无法确定方向。
4、雨点匀速竖直向下降落，一列火车各南匀速行驶，坐在车厢内的人观察雨点的运动情况，下列说法中正确的是：
A、雨点水平向北匀速运动。 B、雨点竖直向下匀速运动。
C、雨点向下偏北匀速运动。 D、雨点向下偏南匀速运动。
5、小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一条河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至中心时，水流速度突然增大，则渡河时间将：
A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定
6、互成角度α（不包括00，1800）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动：A、可能是直线运动。 B、可能是匀速运动
C、一定是曲线运动。 D、一定是匀变速运动。
7、火车站里的自动扶梯用1min就可以把一个静立在扶梯上的人送上去；当自动扶梯不动，人沿扶梯走上去需用3min，若此人沿向上运动的扶梯走上去，所需的时间是（人对扶梯的速度及扶梯本身的速度均不变）
A、4min B、1。5min C、0。75min D、0。5min
8、已知船速v1和水的流速v2之间的关系为v1>v2，现船欲横渡宽为L的河，下列说法中，正确的是：
A、船头垂直河岸，正对彼岸航行时，横渡时间最短。
B、船头垂直河岸，正对彼岸航行时，实际航程最短。
C、船头朝上游转过一定角度，使实际航线垂直河岸，此时航程最短。
D、船头朝下游转过一定角度，使实际航速增大，此时横渡时间最短。
9、船在静水中的速度为4m/s，若河水流速为3。5m/s不变，则河岸上的人能看到船的实际船速大小可能是：
A、0．1m/s B、1。75m/s C、5。6m/s D、8。3m/s
10、河宽420m，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是3m/s，则过河的最短时间为 ；
最小位移是 。
11、如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小为 （用v、θ表示）
θ
v
P
M
12、一架飞机沿仰角300斜向上做初速度为100m/s，加速度为10m/s2的匀加速直线运动。则飞机的运动可看成竖直方向的v0y= 、ay= 的匀加速直线运动，与水平方向上的v0x= ；ax= 的匀加速直线运动的合运动。在4s内飞机的水平位移为 ；竖直位移为 。
13、小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后12。5min到达正对岸。求：
（1）水流的速度？（2）船在静水中的速度（3）河的宽度？（4）船头与河岸的夹角α？
14、直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5m/s，若空投时飞机停留在离地面100m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1m/s的速度匀速水平向北运动，求：（1）物资在空中运动的时间？（2）物资落地时的速度大小？（3）物资在下落过程中水平方向移动的距离？
[基础达标答案]
1、BD 2、A 3、C 4、C 5、C 6、CD 7、C 8、AC 9、BC 10、105；420
11、vcosθ 12、50m；5m/s2；50；5；200m；200m
13、解析：设水流速为v1，河宽为d，船在静水中速度为v2
（1）L= v1t1，=0。2m/s
d
v1
v2
L
（2）当船头与岸成α角航行到达正对岸，合速度与河岸垂直，航程最短为河宽d。
d=v2t2sinα又因d=v2t1 ,可得:
sinα===0.8,则α=530
而，可得：
v1
α
v
v2
故d= v2t1 =×10×60=200m
15、（1）20s （2）5。1m/s （3）20m
[能力提升]
1、如图所示，纤绳以恒定的速率v，沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是：
v0
θ
v
A、v0>v B、v0
2、如图所示，若中间的物体M的瞬时速度为v，定滑轮两侧绳子上质量也是M的两物体的瞬时速度v1和v2是：
M
M
M
θ
θ
v
v2
v1
A、v1=v2= v/cosθ
B、v1=v2= vcosθ
C、v1=v2= v
D、若θ=600则v1=v2= v
3、如图所示耳玻璃生产线上宽为d的成型玻璃以v1的速度在平直轨道上前进，在切割工序处，金刚石切割刀以速度v2切割玻璃，且每次割下玻璃板都成规定的尺寸的矩形，以下说法正确的是：
c
b
a
o
v1
θ
A、切割一次的时间为。
B、割刀切割一次所走的距离为
C、速度v2方向应由O指向C，且cosθ=。
D、速度v2方向应由O指向a，且v1与v2的合速度方向沿ob。
4、民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标距离为d，要想在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应为：
A、 B、 C、 D、
5、一条河宽为d，水速为v1，船在静水中划行速度v2，要使船从一岸到达对岸路程s最短，则有：
A、当v1>v2时，有。
B、当v1>v2时，有。
C、当v1
6、如图所示，在高为h的光滑平台上有一物体，用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀的速度v0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少？
v0
s
A
h
d
B
C
7、北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？
30m
雷区
40m
8、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一水雷区，若水流速度5m/s，为了使船在到达雷区之前靠岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大？
9、在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江面是平直的，洪水沿江而下，水流速度为5m/s，舟在静水中的速度为10m/s，战士救人地点A离岸边最近点O的距离为50m，问：
（1）战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间？
（2）战士要想通过最短航程将人送上岸，战士应将船头与岸成多少度角开？
（3）战士要想将人送达下游离O点距离为50m的B点处且航线沿AB直线，战士控制船头与岸成多少度角才能使船在静水中航速变为最小？在此情况下，船在静水中航速最小为多少？
（4）如果水流速度是10m/s，而舟静水中的航速是5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短距离？
[能力提升答案]
1、A 2、BD 3、C 4、C 5、AC
6、思路分析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向两个分运动。设人运动到B点时，绳与地面的夹角为θ，人的运动在绳的方向上的分运动的速度为v0cosθ。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相等，所以物体的运动速度为v=v0cosθ=，物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度。
d=
v船
θ
v水
v风
答案：v=；d=
7、思路分析：本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；
“烟柱是竖直的“说明人感觉不到风，那么轮船应该
与风同速航行。轮船的轮船的实际航向正南，
大小为4m/s，由于河水流动，轮船应该有一
个分速度：大小与v水相等，方向与v水相反，
这样轮船才会朝正南方向行驶，如图所示，
tanθ=则θ=370，
即船头应该与上游河岸成530角航行。
且v船=
答案：5m/s，船头方向与上游河岸成530角航行。
8、思路分析：设船到达雷区前，恰好到达对岸，则其合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸的夹角为α，则tanα=，α=370，船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知：当船对于静水的速度v1垂直于合速度方向时，v1最小，v1的最小值为
vmin=v2sinα=3m/s，这时v1方向与河岸的夹角β=900-370=530，即从现在开始，船头指向与上游成530角，以相对于静水3m/s的速度航行，在到达雷区前恰好靠岸。
θ
β
v1
v
v2
答案：3m/s
9、思路分析：（1）舟头垂直于河岸时，靠岸时间最短tmin=
v水
θ
v
v舟
（2）舟头向上游转过一定角度，使速度方向垂直于岸，航程最短，如图示，设舟头与岸夹角为θ，则cosθ=，θ=600
B
A
θ
β
v舟
v
v水
（3）航线沿AB直线，即合位移方向由A指向B，合速度方向也由A指向B，当v舟方向与合速度方向垂直时，v舟最小，v舟的最小值为v舟=v水sinα，又知tanα=，α=450
故v舟= v水sinα=m/s，
此时v舟方向与岸夹角θ=450。
（4）在v水> v舟的条件下,舟只能斜向下游到达岸,舟头垂直于合速度v时,航程最小,设舟头与河岸夹角为φ，如图所示：
φ
v舟
v
v水
cosφ=所以φ=600。
最短航程s=
[真题再现]
1、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如果战士想在最短的时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为：
A、 B、0 C、 D、
2、如图所示的塔吊臂上有一要沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=、H-2t2（式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做：
A
B
A、速度大小不变的曲线运动。
B、速度大小增加的曲线运动。
C、加速度大小方向均不变的曲线运动。
D、加速度大小和方向均变化的曲线运动。
3、关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的有：
A、一定是直线运动。
B、一定是曲线运动。
C、可能是直线运动，也可能是曲线运动。
D、以上说法均不正确。
4、右图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动，要使探测器改为向正x偏负y600的方向以原来的速度v0平动，则可：
A、先开动P1适当时间，再开动P4适当时间。
O
P3
x
y
P1
P2
P4
B、先开动P3适当时间，再开动P2适当时间。
C、开动P4适当时间。
D、先开动P3适当时间，再开动P4适当时间。
A
5、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是：
A、绳子的拉力大于A的重力。
B、绳子的拉力等于A的重力。
C、绳子的拉力小于A的重力。
D、拉力先大于重力，后变为小于重力。
L
x
y
o
h
6、质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。今测得当飞机在水平方向的位移为L时，它的上升高度为h。如图所示，求：（1）飞机受到的升力的大小？（2）从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能？
[真题再现答案]
1、C 2、BC 3、C 4、A 5、A
6、思路分析：运用运动合成与分解知识解决实际问题。
（1）飞机水平方向速度不变，则：L=v0t ①
竖直方向上飞机加速度恒定，则：h= ②
由①②得a=，根据牛顿第二定律得：
F-mg=ma即F=mg+ma=mg（1+）
（2）从起飞到升至h处过程中升力所做的功：
W=Fh=mgh（1+）
在h处竖直分速度vy=，水平速度v0不变，则v= ，所以动能
Ek=mv2=mv02+mvy2=mv02（1+）
答案：（1）mg（1+） （2）mgh（1+） （3）mv02（1+）
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第五章 曲线运动51 曲线运动
[精讲精析]
[知识精讲]
知识点1 曲线运动是变速运动
质点运动轨迹是一条曲线，称质点做曲线运动。轨迹上各点的切线方向为质点在该点的速度方向。由于轨迹是条曲线，曲线上不同点，切线方向一般不同，即速度方向不同。所以质点做曲线运动，速度方向时刻在变化。速度是矢量，速度的变化包括速度大小的变化和速度方向的变化，因此曲线运动是一种变速运动。
[例1]下列有关曲线运动的说法中，正确的是（ ）
A、 曲线运动是一种变速运动
B、 做曲线运动的物体合外力一定不为零
C、 做曲线运动的物体所受的合外力一定是变化的
D、 曲线运动不可能是一种匀变速运动
[思路分析]由于速度方向是轨迹各点的切线方向，而曲线运动轨迹切线随位置而变化，所以曲线运动速度是变化的，具有加速度，由F=ma有合外力必定不为零，则A、B正确。做曲线运动的条件是物体具有一定的初速度，受一个与速度不在一条直线上的合外力作用。此力不一定变化，也不一定不变化。若力变化，则为变加速运动，故C、D错。
[答案] A、B
[总结]1、变速运动指速度变化的运动。速度的变化有：速度大小变化（包括变速直线运动）、速度方向变化（如曲线运动）、速度大小和方向都变化。在物体运动的过程中，即使速度大小不变，但方向变化，仍为曲线运动。
2、做曲线运动的物体，不管速度大小是否变化，只要其方向变化，速度就会发生变化，因此曲线运动必定是变速运动。
3、作直线运动的物体，如果速度方向不变，其大小变化，也称为变速运动。
[变式训练]下列说法正确的是（ ）
A、做曲线运动物体的速度方向必定变化
B、速度变化的运动必定是曲线运动
C、曲线运动中质点在某点的瞬时速度方向，就是曲线上这一点的切线方向
D、物体做曲线运动，速度大小必定变化
〔答案〕AC
知识点2 物体做曲线运动的条件
当物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
注意：1、曲线运动是变速运动，凡物体做变速运动比有加速度，而加速度是由于力的作用产生的，做曲线运动的物体在任何时刻所受合外力皆不为零，不受力的物体不可能做曲线运动，加速度方向与合外力方向相同，可推知：曲线运动的加速度方向与速度方向不在同一直线上。
2、物体做直线运动与做曲线运动条件的比较
条件
直线运动
匀速直线运动
F＝0（a=0）
匀加速直线运动
F(a)方向与v同方向且F不变
变加速直线运动
F(a)方向与v同方向且F变
匀减速直线运动
F(a)方向与v反方向且F不变
变减速直线运动
F(a)方向与v反方向且F变
曲线运动
匀变速曲线运动
F(a)方向与v方向不共线且F不变
非匀变速曲线运动
F(a)方向与v方向不共线且F变
F1
F2
3、在变速直线运动（加速直线运动或减速直线运动）中，加速度方向（即合外力方向）与速度方向在同一直线上，加速度只改变速度的大小，不改变速度的方向；在曲线运动中，加速度方向（合外力方向）与速度方向不在同一条直线上，加速度可以改变速度的大小，也可以改变速度的方向。某时刻物体受力如图所示，
F
把F分解成互相垂直的F1和F2两个分力，其中F1沿轨迹切向，F2垂直于F1方向，可见，在这一时刻，F2使物体的运动方向发生变化，而F1则改变物体运动的速率。合力F方向指向轨迹弯曲的一侧，也就是曲线运动轨迹必定向合外力的指向方向弯曲。
〔例2〕物体受几个恒力作用恰做匀速直线运动，如果突然撤去其中的一个力F2，则它可能做（ ）
A、匀速直线运动 B、匀加速直线运动
C、匀减速直线运动 D、匀变速曲线运动
〔思路分析〕撤去力F2后，物体受合外力大小为F2，方向与F2相反，但此合外力方向与速度方向可能相同、相反或不在同一直线上，因而应考虑这三种情况下物体可能做的运动。
〔答案〕BCD
〔总结〕1、解题时应注意分析和挖掘题中信息，在速度方向（或受力方向）不定的情况下，应考虑各种可能的情况。
2、对于速度方向与F合方向不定的情况，可先考虑速度与F合在同一直线（同向或反向），然后再讨论不在同一直线上（夹角为锐角、直角、钝角）的情况，进而分析物体速度大小和方向的变化。
〔变式训练2〕一个物体在力F1、F2、F3等几个力的共同作用下，做匀速直线运动。若突然撤去力F1后，则物体（ ）
A、可能做曲线运动 B、不可能继续做直线运动
C、必然沿F1的方向做直线运动
D、必然沿F1的反方向做匀加速直线运动
[答案] A
[难点精析1]曲线运动的速度与加速度
物体做曲线运动的条件是：物体具有一定的初速度，受一个与速度不在一条直线上的合外力作用。根据牛顿第二运动定律F=ma，物体的加速度与物体所受的合外力是瞬时对应关系，而且加速度方向与合外力方向一致，因此做曲线运动的物体的加速度与速度不在一条直线上。速度的方向是轨迹的切线方向，加速度的方向是合外力的方向。
[例3]一物体在某一恒力作用下做曲线运动，t时刻速度方向与此恒力的方向的夹角为60°。下列说法中正确的是（ ）
A、t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角大于60° B、t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角小于60°
C、t+△t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角大于60°
D、t+△t时刻物体的加速度方向与速度方向夹角小于60°
[思路分析]加速度方向与力的方向一致，物体受恒力作用，则加速度恒定。速度方向为轨迹的切线方向。t时刻速度与力夹角为60°，则速度与加速度夹角也为60°，则A、B错。经△t后，加速度方向仍不变，但速度方向改变了，由于轨迹力的指向方向弯曲，△t后速度方向与力的方向夹角应小于60°，则速度方向与加速度方向夹角小于60°，所以D正确，C错误。
[答案] D
[方法总结]1、物体在恒力作用下做曲线运动，其加速度也恒定不变，这样的运动叫匀变速直线运动。
2、物体在恒力作用下做曲线运动，若时间足够长，速度方向向合外力方向趋近，故加速度方向与速度方向的夹角随时间增加而变小。
[变式训练3]下列说法正确的是（ ）
A、做曲线运动物体的速度方向必定变化
B、速度变化的运动可能是曲线运动
C、加速度恒定的运动可能是曲线运动
D、加速度变化的运动必定是曲线运动
[答案] B C
[难点精析2]匀变速运动和非匀变速运动的区别
（1）匀变速运动：加速度为定值（大小、方向均不变），可以是直线运动，也可以是曲线运动。如物体受合外力是恒力，必做匀变速运动。
（2）非匀变速运动：加速度是改变的（大小改变，或方向改变，或大小、方向均改变），可以是直线运动，也可以是曲线运动。如物体受合外力为变力，它做非匀变速运动。
[例4]下列说法正确的有（ ）
A、速度大小不变的曲线运动是匀速运动，是没有加速度的
B、变速运动一定是曲线运动
C、曲线运动的速度一定是要改变的
D、曲线运动也可能是匀速运动
[思路分析]曲线运动的速度方向时刻改变，不管它的速度大小是否改变，它的速度是改变的，因而必定有加速度。曲线运动是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动，也可以是速度大小变化的直线运动。
曲线运动是否是匀变速运动，要看物体受的合外力是不是恒力，若合外力是恒力，则为匀变速曲线运动；若受的是变力，则为非匀变速曲线运动。
[答案] C D
[警示误区]对曲线运动理解的主要失误有：对矢量概念理解不清，错误地认为速度大小不变，就是匀速运动，就没有加速度；对变速运动与匀变速运动概念理解不透，认为变速运动就是曲线运动，曲线运动不可能是匀变速运动。排除障碍的方法是：真正理解速度、加速度等矢量概念，特别是注意矢量的方向性。
[变式训练4]下列说法正确的是（ ）
A、物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B、物体在变力作用下有可能做曲线运动
C、物体在恒力作用下速度方向必定与加速度方向相同
D、物体在变力作用下不可能做直线运动
[答案] B
[难点精析3]曲线运动中受力方向判断
[例5]如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时，突然使它所受的力反向，但大小不变，即由F变为-F，在此力的作用下，关于物体以后的运动情况，下列说法正确的是（ ）
c
b
a
B
A
A、物体不可能沿曲线Ba运动
B、物体不可能沿曲线Bb运动
C、物体不可能沿曲线Bc运动
D、物体不可能沿原曲线由B返回到A
[思路分析]
由原来的运动轨迹A B可以确定恒力F的方向是斜向下的，当外力反向时物体的运动方向应斜向上，运动的轨迹是Bc。特别注意B选项，原F的方向不可能沿Bb方向，因为在A点时速度在垂直Bb的方向上有速度分量，而在B点的速度方向是Bb方向，在垂直Bb的向下方向有外力的分力，因此外力F的方向是右偏下。
〔答案〕A B D
〔方法总结〕1、曲线运动轨迹必定向合外力的指向方向弯曲，利用这一规律可判定恒力F的方向。
2、合外力方向与速度方向分层在轨迹两侧，可判定由F变为－F后物体运动轨迹是B C
〔变式训练5〕一质点在恒力F作用下，在xoy平面内从o点运动到M点的轨迹如图所示，则恒力F可能（ ）
y
x
o
A、沿＋x方向
B、沿－x方向
C、沿＋y方向
D、沿－y方向
〔答案〕D
[难点精析4]空间探测器运动状态的改变
[例6]如图所示为一空间探测器的示意图，P1，P2，P3，P4是四个喷气发动机，P1，P3的连线与空间一固定的坐标系的x轴平行，P2，P4的连线与y轴平行。每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，担不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的v0速度向x正方向运动
P1
P4
P2
P3
(1)、单独开动P1，探测器将做什么运动？
(2)、单独开动P2，探测器将做什么运动？
(3)、同时开动P3，P4，探测器将做什么运动？
[思路分析]
（1）单独开动P1，探测器受到与初速度相反方向的力的作用，探测器做匀减速直线运动。
（2）单独开动P2，探测器受到与初速度方向垂直的力的作用，探测器做匀变速曲线运动（类平抛运动），探测器向上偏转。
（3）同时开动P3，P4，探测器受到沿x轴正方向与y轴反方向的力的作用，使探测器一边加速一边同时向y轴负方向偏转。
〔答案〕（1）匀减速直线运动；（2）向上偏转（类平抛运动）；（3）沿x轴方向加速同时向y轴负方向偏转。
〔方法总结〕物体的运动状态是由物体的受力和初速度两个因素共同决定的，所以判定物体的运动情况，一方面要分析物体的受力；另一方面要分析物体的速度方向与力的方向之间的关系。
〔综合拓展〕本节学习了1、质点运动轨迹是曲线的运动叫曲线运动。
2、物体做曲线运动时，在某点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向，曲线运动的速度方向时刻在变化，其速率可变可不变。曲线运动是变速运动。
3、做曲线运动的条件是合外力方向与速度方向不共线，加速度方向与速度方向也不共线。曲线运动的轨迹向合外力方向弯曲。
〔例7〕一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（ ）
A、速度一定在不断地改变，加速度也一定不断地改变
B、速度方向一定不断地改变，加速度可以不变
C、速度大小可以不变，加速度一定不断地改变
D、速度可以不变，加速度也可以不变
〔思路分析〕曲线运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，其速度方向一定变化，速度大小可能变化，也可能不变，所以曲线运动速度一定变化，曲线运动一定有加速度，加速度方向与速度方向不在一条直线上，加速度可恒定也可变化，故A C D错，B对
〔答案〕B
〔误区警示〕（1）曲线运动速度方向时刻在变化，速度大小可以不变，也可以改变；其加速度不一定改变。
（2）物体的加速度恒定也可以做曲线运动。
[活学活练]
[基础达标]
1、2002年哥伦比亚号航天飞机在进入地球高空大气层时，发生意外事故，7名宇航员全部遇难，该航天飞机进入大气层时与地面成450角，发生事故后，动力关闭，该飞机的运动状态为：
A、 沿原方向做匀速直线运动。
B、 做自由落体运动。
C、 做曲线运动。
D、 由于空气阻力，飞机可能做直线运动，也可能做曲线运动。
2、对曲线运动中的速度的方向，下列说法正确的是：
A、 在曲线运动中，质点在任一位置的速度方向总是与这一点的切线方向相同。
B、 在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定是沿着轨迹的切线方向。
C、旋转雨伞时，伞面上的水滴由内向外做螺旋运动，故水滴速度方向不是沿其轨迹切线方向。
D、旋转雨伞时，伞面上的水滴由内向外做螺旋运动，水滴速度方向总是沿其轨迹切线方向。
3、下列说法正确的是：
A、 做曲线运动的物体受到的合力一定不为零。
B、 做曲线运动的物体的加速度一定是变化的。
C、 物体在恒力作用下，不可能做曲线运动。
D、 物体在变力作用下，可能做直线运动，也可能做曲线运动。
4、下列说法中正确的是：
A、 做曲线运动的物体的速度大小可能不变，其加速度可能为零。
B、 做曲线运动的物体在某点的运动方向与该点的曲线切线方向相同。
C、 曲线运动一定是变速运动。
D、 曲线运动的速度方向可以不变，但大小一定改变。
5、关于做曲线运动的物体的速度和加速度，下列说法中正确的是：
A、 速度方向不断改变，加速度方向不断改变。
B、 速度方向不断改变，加速度方向一定不为零。
C、 加速度越大，速度的大小改变得越快。
D、 加速度越大，速度改变得越快。
6、在曲线运动中，下列说法中正确的是：
A、 速度v大小可能不变。
B、 加速度a的大小可能不变。
C、 合力F大小可能不变。
D、 位移x始终变大。
7、如图所示，小钢球m以初速度v0在光滑水平面上运动，后受到磁极的侧向作用力而做图示的曲线运动到达D点，从图可知磁极的位置及极性可能是：
v0
·A
·B
·C
·D
m
A、 磁极在A位置，极性一定是N极。
B、 磁极在B位置，极性一定是S极。
C、 磁极在C位置，极性一定是N极。
D、 磁极在B位置，极性无法确定。
8、下列说法正确的是：
A、 抛出的石块在空中的运动一定是曲线运动。
B、 砂轮磨刀具时，砂轮上擦落的微粒做曲线运动而飞离砂轮。
C、 水平飞行的飞机中自由落下一跳伞运动员，在空中的运动是曲线运动。
D、 火箭发射时，竖直上升阶段做的是曲线运动。
9、在曲线运动中，下列现象可能出现的有：
A、 平均速度不等于零，平均速率不等于零。
B、平均速度不等于零，平均速率等于零。
C、平均速度等于零，平均速率不等于零。
D、平均速度等于零，平均速率等于零。
10、运动物体所受的合外力为零时，物体做 运动。如果合外力不为零，它的方向与物体速度方向在同一直线上，物体就做 运动；如果不在同一直线上，物体就做 运动。
11、做曲线运动的物体，在某一点的瞬时速度的方向就是通过这一点沿曲线的
方向，因而做曲线运动的物体速度方向 ，所以曲线运动是一种 。
12、如图所示，质量为m的物体在4个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与F1、F3方向恰在一直线上，则：
（1）若只撤去F1，物体将做 运动，加速度大小为 ，方向为 。
（2）若只撤去F2，它将做 运动，加速度大小为 ，方向为 。
（3）若只撤去F3，它将做 运动，加速度大小为 ，方向为 。
F3
v
F1
F2
F4
（4）若将四个力同时撤去，它将做 运动，加速度大小为 。
13、如图所示，从A经B到C为投出的篮球在竖直平面飞行的轨迹图，试在图上画出A、B、C三点的速度方向及加速度方向。
·C
·B
·A
[活学活练答案]
1、C 2、AD 3、AD 4、BC 5、BD 6、ABC 7、D 8、C 9、AC
10、匀速直线；直线；曲线。11、切线，时刻改变；变速运动。
12、（1）匀加速直线；F1/m；F1的反方向。（2）曲线；F2/m；F2的反方向。
（3）匀减速直线；F3/m；F3的反方向。（4）匀速直线；0。
13、略。
[能力提升]
1、做曲线运动的物体，在运动过程中一定变化的物理量是：
A、速度 B、加速度 C、合外力 D、速率
2、下列关于曲线运动的说法正确的是：
A、 可以是匀速率运动。
B、 一定是变速运动。
C、 加速度可能恒为0。
D、 可以是匀变速运动。
3、关于曲线运动，下列说法正确的是：
A、 曲线运动一定是变速运动。
B、 变速运动一定是曲线运动。
C、 曲线运动一定是变加速运动。
D、 加速度大小和速度大小都不变的运动一定不是曲线运动。
4、下列说法正确的是：
A、 做曲线运动的物体受到的合外力一定不为零。
B、 做曲线运动的物体的加速度一定变化。
C、 物体在恒力作用下，不可能性做曲线运动。
D、物体在变力作用下，一定做曲线运动。
5、物体做曲线运动的轨迹如图所示，它在曲线上的A点所受的合外力方向哪些是可能性的：
·A
F1
F2
F3
F4
6、某物体在一足够大的光滑水平面上向东匀速运动，当它受到一人向南的恒定外力的作用，物体的运动将是：
A、 匀变速曲线运动。
B、 匀变速直线运动。
C、 非匀变速曲线运动。
D、 无法确定。
7、一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2的作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增加到F1+△F，则质点：
A、 一定做匀变速曲线运动。
B、 在相等的时间内速度的变化一定相等。
C、 可能做匀速直线运动。
D、可能做变加速曲线运动。
8、如图所示，一个劈形物体M，各面均光滑，放在固定的斜面上，M的上表面水平，在M上放一光滑的小球m，劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是：
θ
M
m
A、 沿斜面向下的直线。
B、 竖直向下的直线。
C、 无规则曲线。
D、 抛物线。
·C
·D
·B
·A
9、图是一做匀变速曲线运动的轨迹示意图，已知B点的速度方向与加速度方向垂直，则下列说法中，正确的是：
A、 D点的速率比C点速率大。
B、 A点的加速度与速度的夹角小于900。
C、 A点的加速度比D点加速度大。
D、从A到D加速度与速度的夹角是先增大后减小。
11、当物体做做下列运动时，其所受的合力与初速度分别满足的条件是什么？
（1）匀变速直线运动。 （ ）
（2）匀速运动。 （ ）
（3）曲线运动。 （ ）
（4）匀加速直线运动。 （ ）
（5）匀减速直线运动。 （ ）
（6）匀变速曲线运动。 （ ）
A、 合外力为零，初速度不为零。
B、 合外力大小不变，方向与初速度方向相同。
C、 合外力大小不变，方向与初速度方向相反。
D、合外力大小、方向不变，方向与初速度方向不在一条直线上。
[能力提升答案]
1、A 2、ABD 3、A 4、A 5、CD 6、A 7、AB 8、B 9、A
10、（1）BC （2）A （3）D （4）B （5）C （6） D
[真题再现]
1、下面说法中正确的是：
A、 做曲线运动的物体的速度方向必定变化。
B、 速度变化的运动必定是曲线运动。
C、 加速度恒定的运动不可能是曲线运动。
D、 加速度变化的运动必定是曲线运动。
思路分析：在曲线运动中，运动质点在任一点的速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向，所以曲线运动的速度方向一定变化，所以A正确；速度是矢量既有大小又有方向，速度大小或方向其中一个变化或两个都变化，速度就变化。若速度大小变化，方向不变，且速度方向与加速度方向在一条直线上，物体就做变速直线运动，故B不正确；物体做曲线运动的条件是加速度方向与速度方向不在一条直线上，而不是要求加速度是否为恒量，C不正确；加速度是矢量，既有大小又有方向，若加速度方向不变，仅是大小变化且加速度方向与速度方向在一条直线上时，物体做变加速直线运动，所以D不正确。
[答案]A
2、下列说法中正确是：
A、 物体在恒力作用下，不可能做曲线运动。
B、 物体在变力作用下一定做曲线运动。
C、 物体在恒力或变力作用下都可能做曲线运动。
D、做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向一定不在同一直线上。
思路分析:物体是否做曲线运动,与力的大小没有关系,关键在于合力的方向与速度方向是否共线,只要合力的方向与速度方向不在同一直线上,物体就做曲线运动,所以A、B错，C正确。由于加速度方向与合力方向一致，所以选项D正确。
[答案]CD
第2节 运动的合成与分解
[知识精讲]
知识点1 运动的合成与分解
(1) 合运动与分运动
合运动就是物体的实际运动.一个运动又可以看作物体同时参与了几个运动,这几个运动就是物体实际运动的分运动,物体的实际运动(合运动0的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度,而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
(2) 运动的合成与分解
包括位移、速度、加速度的合成与分解,他们与力的合成与分解一样都遵守平行四边形定则:由已知的分运动求跟他们等效的合运动的过程叫做运动的合成,而由已知的合运动求跟他们等效的分运动的过程叫做运动的分解
研究运动的合成与分解,目的是在于把一些复杂的运动简化为比较简单的直线运动,这样就可应用已经掌握的的有关直线运动的规律,来确定一些复杂的曲线运动.
(3) 合运动和分运动的关系
① 等时性:合运动与分运动经历的时间相等.
例如,小船过河时,一方面小船随水流向下游运动;另一方面,小船相对水向对岸划行.当小船在下游某处到达对岸时,这两个分运动也同时结束.
② 独立性:一个物体同时参与几个分运动,各分运动独立进行,不受其他分运动的影响.
例如, 船过河时,如果水流速度变大,只影响小船向下游的分运动,不影响小船的过河时间,即不影响向对岸划行的速度.
③ 等效性:各分运动的规律叠加起来与合运动规律有完全相同的效果.
(4) 运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的几个物理量,即位移、速度、加速度的合成与分解,由于他们都是矢量,所以都遵循平行四边形定则.
①两分运动在同一直线上时,同向相加,反向相减.例如,竖直抛体运动看成是水平方向的匀速运动(v0t)和自由落体运动(gt2)的合成,下抛时vt=v0+gt,x=vot+gt2,上抛时, vt=v0-gt,x=vot-gt2
②不在同一直线上时,按照平行四边形定则进行合成,如图所示:
v2
O
v1
v
x2
x1
O
x
O
a1
a2
a
③两分运动垂直或正交分解后的合成
a合= v合= x合=
(5)互成角度的两个分运动的和运动的几种可能情况
① 两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动
② 一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
③ 两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动.合运动的方向,即两个加速度合成的方向
④ 两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动可能是匀变速直线运动,也可能是匀变速直线运动.当两个分运动初速度的合速度方向与两分运动的合速度的方向在同一直线上时,合运动为匀变速直线运动,否则,是匀变速曲线运动.
(6)运动的分解是运动合成的逆过程
分解原则:根据运动的实际效果分解或正交分解
[例1]小船在200米宽的河中横渡,水流速度为2m/s,船在静水中的航速是4m/s,求:
(1) 当小船的船头始终正对对岸是,他将在何时、何处到达对岸?
(2) 要使小船到达正对岸,应如何行驶,历时多长?
θ
v水
v合
v船
[思路分析]小船参与了两个运动,随水漂和船在静水中的运动,因为分运动间是互不干扰的,具有等时的性质,故
(1) 小船渡河时间等于垂直河岸的分运动时间:
t=t1==200/4=50s,
沿河流方向的位移
s水=v水t=2×50m=100m
即在正对岸下游100米处靠岸.
(2) 要小船垂直过河,即合速度要垂直河岸,如 图6-2-1所示,则
cosθ==
所以θ=600,即航向与岸成600角,渡河时间
t=t1= = ==57.7s
[答案](1)经50s到达正对岸下游100m处;
(2)船头与岸成(向上游方向),历时57.7s.
[总结]解决这类问题的步骤(1)明确哪个是合运动,哪个是分运动;
根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解;
在解题时应注意画好示意图.
[内容延伸]渡河问题分析
小船过河的问题,可以 小船渡河运动分解为他同时参与的两个运动,一是小船相对水的运动(设水不流时船的运动,即在静水中的运动),一是随水流的运动(水冲船的运动,等于水流的运动),船的实际运动为合运动.
设河宽为d,船在静水中的速度为v1,河水流速为v2
①船头正对河岸行驶,渡河时间最短,t短=
②当 v1> v2时,且合速度垂直于河岸,航程最短x1=d
当 v1< v2时,合速度不可能垂直河岸,确定方法如下:
如图所示,以 v2矢量末端为圆心;以 v1矢量的大小为半径画弧,从v2矢量的始端向圆弧作切线,则
v1
θ
d
v2
x2
合速度沿此切线航程最短,
由图知: sinθ=
最短航程x2= =
注意:船的划行方向与船头指向一致,而船的航行方向是实际运动方向.
[变式训练1]小船过河,船对水的速率保持不变.若船头垂直于河岸向前划行,则经10min可到达下游120m处的对岸;若船头指向与上游河岸成θ角向前划行,则经12.5min可到达正对岸,试问河宽有多少米?
[答案]河宽200m
知识点2 在直角坐标系中研究蜡块的运动
(1) 建立直角坐标系
运动开始时蜡块的位置为原点,水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向.
(2) 蜡块的位置
如图所示,蜡块沿玻璃管匀速上升的速度 vy,玻璃管向右移动的速度设为vx,从蜡块开始运动的时刻t计时,于是,在时刻t,蜡块P的位置可以用它的x、y两个坐标表示x= vx t, y= vy t
O
θ
x
y
P
v
vx
vy
(3) 蜡块的运动轨迹:
由以上两式可得:y=
因为vy、 vx都是常量,故代表的是一条过原点的直线.
(4) 蜡块的位移:s== tanθ=
(5) 蜡块的速度:v=
注意：1、两个方向的分运动为匀速直线运动时，其合运动必然为匀速直线运动，
2、这种方法对变速运动也适应
[例2]在一根玻璃管内装上一红蜡块,使红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升,若红蜡块在A 点匀速上升的同时,使玻璃管水平向右做匀速直线运动,,则红蜡块实际运动的轨迹是图6-2-3所示的：
A
Q
P
R
A.直线 P B.曲线Q
C.曲线 D. 无法确定
[思路分析]红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动两个分运动,而合加速度就是水平方向的加速度,方向是水平向右的,它们之间有一定的夹角,故轨迹是曲线.又因为物体做曲线运动时曲线总向加速度方向偏折(或加速度方向总是指向曲线的凹向)故选项B正确
[答案] B
[总结]分析物体做直线或曲线运动时,首先确定合外力的方向和初速度的方向.
若合外力方向与初速度方向共线,则做直线运动;若合外力方向与初速度方向有一定夹角,则物体在曲线运动,曲线运动轨迹向合外力方向弯曲,也就是曲线总向加速度方向偏折.
[误区警示]物体做曲线运动时,物体在外力作用下总向合力方向偏折,故曲线运动的加速度方向总是指向曲线的凹向,而不是指向曲线的凸向.
[内容延伸]两个匀变速直线运动合运动
匀变速直线运动的动力学特征就是受力恒定,运动学特征就是加速度恒定.
对两匀变速直线运动合运动,起加速度是俩各个分运动加速度的矢量和,两个分运动加速度恒定,则加速度必定恒定,所以其合运动必定是匀变速运动.
直线运动的动力学特征是躯体的受力与物体的运动速度在同一直线上,运动学的特征就是加速度方向与速度方向在同一直线上,要保证合运动是直线应保证合速度与合加速度是在同一直线上,因此只有当速度矢量与加速度矢量在同一直线上才能满足做直线运动的条件.
[变式训练2] 下列说法正确的是 ( )
A两个匀速直线运动,其合运动必为匀速直线运动
B两个匀变速直线运动, 其合运动必为匀变速直线运动
C平面上的曲线运动可分解成两个直线运动
D两个运动的合运动必定大于分运动
[答案] AC
[难点精析1]运动的独立性
[例3]如图所示,高为h的车厢在平直轨道上匀减速向右行使,加速度大小为a,车厢顶部A点处有油滴滴落到车厢地板上,车厢地板上的O点位于A点正下方,则油滴落在地板上的点必在O点 (填”左”或”右”)方, 离O点距离为 . .
A
O
h
[思路分析]本题考查物体运动的合成问题.当油滴离开车厢顶部时 ,油滴水平方向不受力,做匀速直线运动;油滴竖直方向受重力,做自由落体运动.两方向上的运动各自独立,互不影响.设油滴离开车厢顶部时,车速为v0, 油滴落到车厢上的时间为t,这段时间油滴水平位移为x1=v0t,车的水平位移为x2 = v0t -at2;因为x1>x2,所以油滴落O在点右方,距O点距离Δx=x1-x2= v0t –(v0t -at2),而h=gt2,得t=,
所以得Δx=at2=a· =.
[答案] 右 ;
[方法总结]1任何一个分运动都不受其他分运动的干扰而保持其运动性质不变.
2各分运动与合运动经历时间相等
[变式训练3]没有风时,跳伞员随降落伞从某一高度落到地面所用的时间为t,现有沿水平方向的强风,则跳伞员随降落伞从同一高度落到地面上所用的时间为( )
A等于t/2 B小于t C 等于t D大于t
[答案]C
[难点精析2]轻绳两端拴两物体沿不同方向运动问题
v1
m
例4.如图所示,在水平地面上做匀速直线运动的汽车,通过定滑轮用轻绳吊起一个物体m,若汽车和物体m在同一时刻的速度分别为v1和v2,则下面说法正确的是( )
v2
A.物体m 做匀速运动且v1=v2
B.物体m 做减速运动且v1
D.物体m 做加速运动且v1
[思路分析]汽车向左运动,这是汽车的实际运动,故为汽车的合运动,汽车的运动导致两个效果：一是滑轮到汽车的绳变长了,二是滑轮到汽车的绳与竖直方向的夹角变大了,显然汽车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳方向两个分运动.如图所示,建立平面直角坐标系.汽车沿绳方向的分速度v3=v1sinθ轻绳的各点在沿绳方向的速度大小必然相等.因为轻绳没有断开.因此,汽车沿绳方向分速度v3与物体m2应相等,即v2=v1sinθ,汽车以v1向左运动, θ角将变大,v1将变大,但不是均匀变大,物体m 将做加速运动,v2
v3
v4
[答案] D
[方法总结]轻绳两端拴物体沿不同方向运动, 轻绳两端所拴物的实际运动即两物的合运动, 两物的合运动在沿绳方向的分速度大小应相等,是解此类问题的关键.这是此类问题的创新解法.
[变式训练4]如图所示,重物M沿绳下滑,并通过绳带动小车m沿斜面升高,则当滑轮右侧绳与竖直发放系的夹角为θ,且重物下滑的速度为v时,小车的速度v’是多少?
M
θ
v’
m
[答案]v’=vcosθ
[综合拓展]运动的合成与分解一节主要学习将复杂运动分解成两个简单的直线运动的方法，合成与分解遵守平行四边形法则。合成与分解的物理量是位移、速度、加速度等矢量。各个分运动各自独立，互不影响，合运动与分运动具有等时性、等效性。本节的难点是运动的合成与分解中的极值问题。
渡河中的极值问题：
渡河问题是运动合成与分解的典型模型，在渡河中，有四个重要的极值规律，设河岸平直，船相对水的速度为v船（即船在静水中的速度），水的流速为v水（即水对地的速度），船的合速度为v（即船对地的速度，其方向就是船的航向）河的宽度为L。
规律1、当船头垂直河岸，渡河时间最短，且渡河时间与水的流速无关。
证明：如图所示，设船头与河岸的夹角角为α，则渡河时间可以表示为：
，当sinα=1时，即α=900时，渡河时间最短为
这里应注意：渡河时间与水的流速无关，水的流速只影响船下漂的距离，即：
x=（v水+v船cosα）t=（v水+v船cosα），当α=900时，下漂距离为
α
vx
v船
vy
v
v水
v船
x
L
规律2 在v船>v水的条件下，当船的合速度垂直于河岸时，渡河位移最小并等于河宽，即smin=L。
α
L
v水
v船
v
证明：如图所示，当合速度v的方向即船的
航向垂直于河岸时，船将到达正对岸，不会
下漂，即x=0，位移最小位smin=L，这时，
船头与河岸的夹角应为：cosα=v水/v船。
v水
α
L
v船
v
x
规律3 在v船
，合速度v的矢尖总是在以v船为半径的
圆周上；当v与圆相切，即v船⊥v时,
α最小，渡河位移最小。cosα= v船/ v水。
这时最小位移为smin=L/ cosα=L v船/ v水。
最小漂移距离：xmin=Ltanα
[例5]两河岸平行，河宽d=100m，水流速度v1=3m/s，求：（1）船在静水中的速度是4m/s时，欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？，船的位移是多大？
（2）船在静水中的速度是6m/s时，欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
（3）船在静水中的速度为1。5m/s时，欲使船渡河距离最短，船应怎样渡河？船的最小航程是多少？
[思路分析]（1）当船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=d/v2=100/4=25s
v1
d
v
v2
合速度v=
船的位移大小s=v tmin=125m
v1
θ
v
v2
（2）欲使船航行距离最短，需船头向上游转过一定角度使合速度方向垂直于河岸，设船的开行速度v2与岸成θ角，则cosθ=，所以θ=600
合速度v=v2sin600=3
t=
β
v2
v
v1
（3）船在静水中速度小于水流的速度，
船头垂直于合速度v时，渡河位移最小，
设船头与河岸夹角为β，如图所示：
cosβ= 所以β=600
最小位移smin=
[答案](1) 船头垂直于河岸时，渡河时间最短：tmin=25s ; s =125m
(2) 船头向上游转过一定角度, 与岸成600角航程最短，t=
(3) 船头垂直于合速度,船头与河岸夹角600时航程最短，smin=
[方法总结]船渡河中极值问题,是运动合成与分解中典型问题,是本章的难点,准确理解并熟练掌握上述几条规律是解决此类问题的突破口.
[活学活练]
[基础达标]
1关于运动的合成，下列说法中正确的是：
A、合运动的速度一定比每一个分运动的速度大。
B、两个匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动。
C、两个分运动是直线运动的合运动，一定是匀速直线运动。
D、两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等。
2、如果两个分运动的速度大小相等，且为定值，则以下说法中正确的是：
A、两个分运动夹角为零，合速度最大。
B、两个分运动夹角为900，合速度大小与分速度大小相等。
C、合速度大小随分运动的夹角的增大而减小。
D、两个分运动夹角大于1200，合速度大小小于分速度。
3、从电视新闻看到美国军队围攻伊拉克费卢杰城的激烈战斗场面，一辆向东高速运行的坦克对道路侧面的静止目标进行了轰炸，正好击中目标，坦克上发射炮弹时：
A、直接瞄准目标。 B、瞄准目标应适当偏东。
C、瞄准目标应适当偏西。 D、由于坦克在运动，无法确定方向。
4、雨点匀速竖直向下降落，一列火车各南匀速行驶，坐在车厢内的人观察雨点的运动情况，下列说法中正确的是：
A、雨点水平向北匀速运动。 B、雨点竖直向下匀速运动。
C、雨点向下偏北匀速运动。 D、雨点向下偏南匀速运动。
5、小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一条河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至中心时，水流速度突然增大，则渡河时间将：
A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定
6、互成角度α（不包括00，1800）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动：A、可能是直线运动。 B、可能是匀速运动
C、一定是曲线运动。 D、一定是匀变速运动。
7、火车站里的自动扶梯用1min就可以把一个静立在扶梯上的人送上去；当自动扶梯不动，人沿扶梯走上去需用3min，若此人沿向上运动的扶梯走上去，所需的时间是（人对扶梯的速度及扶梯本身的速度均不变）
A、4min B、1。5min C、0。75min D、0。5min
8、已知船速v1和水的流速v2之间的关系为v1>v2，现船欲横渡宽为L的河，下列说法中，正确的是：
A、船头垂直河岸，正对彼岸航行时，横渡时间最短。
B、船头垂直河岸，正对彼岸航行时，实际航程最短。
C、船头朝上游转过一定角度，使实际航线垂直河岸，此时航程最短。
D、船头朝下游转过一定角度，使实际航速增大，此时横渡时间最短。
9、船在静水中的速度为4m/s，若河水流速为3。5m/s不变，则河岸上的人能看到船的实际船速大小可能是：
A、0．1m/s B、1。75m/s C、5。6m/s D、8。3m/s
10、河宽420m，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是3m/s，则过河的最短时间为 ；
最小位移是 。
11、如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角为θ，此时物体M的速度大小为 （用v、θ表示）
θ
v
P
M
12、一架飞机沿仰角300斜向上做初速度为100m/s，加速度为10m/s2的匀加速直线运动。则飞机的运动可看成竖直方向的v0y= 、ay= 的匀加速直线运动，与水平方向上的v0x= ；ax= 的匀加速直线运动的合运动。在4s内飞机的水平位移为 ；竖直位移为 。
13、小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10min到达对岸下游120m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，在出发后12。5min到达正对岸。求：
（1）水流的速度？（2）船在静水中的速度（3）河的宽度？（4）船头与河岸的夹角α？
14、直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5m/s，若空投时飞机停留在离地面100m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资以1m/s的速度匀速水平向北运动，求：（1）物资在空中运动的时间？（2）物资落地时的速度大小？（3）物资在下落过程中水平方向移动的距离？
[基础达标答案]
1、BD 2、A 3、C 4、C 5、C 6、CD 7、C 8、AC 9、BC 10、105；420
11、vcosθ 12、50m；5m/s2；50；5；200m；200m
13、解析：设水流速为v1，河宽为d，船在静水中速度为v2
（1）L= v1t1，=0。2m/s
d
v1
v2
L
（2）当船头与岸成α角航行到达正对岸，合速度与河岸垂直，航程最短为河宽d。
d=v2t2sinα又因d=v2t1 ,可得:
sinα===0.8,则α=530
而，可得：
v1
α
v
v2
故d= v2t1 =×10×60=200m
15、（1）20s （2）5。1m/s （3）20m
[能力提升]
1、如图所示，纤绳以恒定的速率v，沿水平方向通过定滑轮牵引小船向岸边运动，则船向岸边运动的瞬时速度v0与v的大小关系是：
v0
θ
v
A、v0>v B、v0
2、如图所示，若中间的物体M的瞬时速度为v，定滑轮两侧绳子上质量也是M的两物体的瞬时速度v1和v2是：
M
M
M
θ
θ
v
v2
v1
A、v1=v2= v/cosθ
B、v1=v2= vcosθ
C、v1=v2= v
D、若θ=600则v1=v2= v
3、如图所示耳玻璃生产线上宽为d的成型玻璃以v1的速度在平直轨道上前进，在切割工序处，金刚石切割刀以速度v2切割玻璃，且每次割下玻璃板都成规定的尺寸的矩形，以下说法正确的是：
c
b
a
o
v1
θ
A、切割一次的时间为。
B、割刀切割一次所走的距离为
C、速度v2方向应由O指向C，且cosθ=。
D、速度v2方向应由O指向a，且v1与v2的合速度方向沿ob。
4、民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标，假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，跑道离固定目标距离为d，要想在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应为：
A、 B、 C、 D、
5、一条河宽为d，水速为v1，船在静水中划行速度v2，要使船从一岸到达对岸路程s最短，则有：
A、当v1>v2时，有。
B、当v1>v2时，有。
C、当v1
6、如图所示，在高为h的光滑平台上有一物体，用绳子跨过定滑轮C，由地面上的人以均匀的速度v0向右拉动，不计人的高度，若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少？
v0
s
A
h
d
B
C
7、北风速度4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？
30m
雷区
40m
8、有一船正在渡河，如图所示，在离对岸30m时，其下游40m处有一水雷区，若水流速度5m/s，为了使船在到达雷区之前靠岸，那么，小船从现在起相对于静水的最小速度应是多大？
9、在抗洪抢险中，战士驾驶冲锋舟救人，假设江面是平直的，洪水沿江而下，水流速度为5m/s，舟在静水中的速度为10m/s，战士救人地点A离岸边最近点O的距离为50m，问：
（1）战士要想通过最短的时间将人送上岸，求最短时间？
（2）战士要想通过最短航程将人送上岸，战士应将船头与岸成多少度角开？
（3）战士要想将人送达下游离O点距离为50m的B点处且航线沿AB直线，战士控制船头与岸成多少度角才能使船在静水中航速变为最小？在此情况下，船在静水中航速最小为多少？
（4）如果水流速度是10m/s，而舟静水中的航速是5m/s，战士想通过最短的距离将人送上岸，求这个最短距离？
[能力提升答案]
1、A 2、BD 3、C 4、C 5、AC
6、思路分析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向两个分运动。设人运动到B点时，绳与地面的夹角为θ，人的运动在绳的方向上的分运动的速度为v0cosθ。物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相等，所以物体的运动速度为v=v0cosθ=，物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度。
d=
v船
θ
v水
v风
答案：v=；d=
7、思路分析：本题研究对象有北风、水流、乘客、烟；
“烟柱是竖直的“说明人感觉不到风，那么轮船应该
与风同速航行。轮船的轮船的实际航向正南，
大小为4m/s，由于河水流动，轮船应该有一
个分速度：大小与v水相等，方向与v水相反，
这样轮船才会朝正南方向行驶，如图所示，
tanθ=则θ=370，
即船头应该与上游河岸成530角航行。
且v船=
答案：5m/s，船头方向与上游河岸成530角航行。
8、思路分析：设船到达雷区前，恰好到达对岸，则其合速度方向如图所示，设合速度方向与河岸的夹角为α，则tanα=，α=370，船的合速度方向与合位移方向相同，根据平行四边形定则知：当船对于静水的速度v1垂直于合速度方向时，v1最小，v1的最小值为
vmin=v2sinα=3m/s，这时v1方向与河岸的夹角β=900-370=530，即从现在开始，船头指向与上游成530角，以相对于静水3m/s的速度航行，在到达雷区前恰好靠岸。
θ
β
v1
v
v2
答案：3m/s
9、思路分析：（1）舟头垂直于河岸时，靠岸时间最短tmin=
v水
θ
v
v舟
（2）舟头向上游转过一定角度，使速度方向垂直于岸，航程最短，如图示，设舟头与岸夹角为θ，则cosθ=，θ=600
B
A
θ
β
v舟
v
v水
（3）航线沿AB直线，即合位移方向由A指向B，合速度方向也由A指向B，当v舟方向与合速度方向垂直时，v舟最小，v舟的最小值为v舟=v水sinα，又知tanα=，α=450
故v舟= v水sinα=m/s，
此时v舟方向与岸夹角θ=450。
（4）在v水> v舟的条件下,舟只能斜向下游到达岸,舟头垂直于合速度v时,航程最小,设舟头与河岸夹角为φ，如图所示：
φ
v舟
v
v水
cosφ=所以φ=600。
最短航程s=
[真题再现]
1、在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如果战士想在最短的时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为：
A、 B、0 C、 D、
2、如图所示的塔吊臂上有一要沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d=、H-2t2（式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做：
A
B
A、速度大小不变的曲线运动。
B、速度大小增加的曲线运动。
C、加速度大小方向均不变的曲线运动。
D、加速度大小和方向均变化的曲线运动。
3、关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下列说法中正确的有：
A、一定是直线运动。
B、一定是曲线运动。
C、可能是直线运动，也可能是曲线运动。
D、以上说法均不正确。
4、右图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动。开始时，探测器以恒定的速率v0向正x方向平动，要使探测器改为向正x偏负y600的方向以原来的速度v0平动，则可：
A、先开动P1适当时间，再开动P4适当时间。
O
P3
x
y
P1
P2
P4
B、先开动P3适当时间，再开动P2适当时间。
C、开动P4适当时间。
D、先开动P3适当时间，再开动P4适当时间。
A
5、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是：
A、绳子的拉力大于A的重力。
B、绳子的拉力等于A的重力。
C、绳子的拉力小于A的重力。
D、拉力先大于重力，后变为小于重力。
L
x
y
o
h
6、质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）。今测得当飞机在水平方向的位移为L时，它的上升高度为h。如图所示，求：（1）飞机受到的升力的大小？（2）从起飞到上升至h高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能？
[真题再现答案]
1、C 2、BC 3、C 4、A 5、A
6、思路分析：运用运动合成与分解知识解决实际问题。
（1）飞机水平方向速度不变，则：L=v0t ①
竖直方向上飞机加速度恒定，则：h= ②
由①②得a=，根据牛顿第二定律得：
F-mg=ma即F=mg+ma=mg（1+）
（2）从起飞到升至h处过程中升力所做的功：
W=Fh=mgh（1+）
在h处竖直分速度vy=，水平速度v0不变，则v= ，所以动能
Ek=mv2=mv02+mvy2=mv02（1+）
答案：（1）mg（1+） （2）mgh（1+） （3）mv02（1+）
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