苏科版数学九年级上册月考模拟试卷02（含答案）

这是一份苏科版数学九年级上册月考模拟试卷02（含答案），共27页。试卷主要包含了精心选一选，仔细填一填，精心做一做等内容，欢迎下载使用。
苏科版数学九年级上册月考模拟试卷
一、精心选一选
1．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣2xy﹣5y2=0 B．x（x﹣3）=x2+5
C．x﹣=8 D．x（x﹣2）=3
2．一元二次方程x2+x﹣1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
3．如果x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣2=0的两个实数根，那么x1+x2的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．6 D．2
4．如果圆的最大弦长是m，直线与圆心的距离为d，且直线与圆相离，那么（　　）
A．d＞m B．d＞m C．d≥m D．d≤m
5．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（　　）

A．65° B．25° C．15° D．35°
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（　　）

A．12π B．15π C．30π D．60π
7．有下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．某班同学毕业时将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）=2450 B．x（x﹣1）=2450×2
C．x（x﹣1）=2450 D．2x（x+1）=2450
二、仔细填一填
9．一元二次方程x2=x的解为　　．
10．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为　　．
11．用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　　cm．
12．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是　　．

13．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=　　．
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=　　．

15．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　　．

16．如图，A、B、C是⊙上的三个点，∠ABC=130°，则∠AOC的度数是　　．

17．市影剧院上影新年大片，该剧院能容纳800人．经调研，若票价定为35元，则门票可以全部售完，而门票的价格每增加1元，售出的门票就减少50张．当票价定为（35+a）元时，可以获得　　元的门票收入（a≥0）．
18．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD=6，BC=8，则⊙O的半径为　　．

　
三、精心做一做
19．解方程：
（1）x（x+4）=﹣5（x+4）； （2）x2﹣5x﹣24=0．








20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．





21．为调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：60，55，75，55，55，43，65，40．
（1）求这组数据的众数、中位数；
（2）求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？



22．已知方程x2+2x+1+m=0没有实数根．求证方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣3=0一定有两个不相等的实数根．






23．如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．




24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．



25．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？



26．市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2017年投资额能否达到1360万？





27．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

　
参考答案
1．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．3x2﹣2xy﹣5y2=0 B．x（x﹣3）=x2+5
C．x﹣=8 D．x（x﹣2）=3
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．逐一判断即可．
【解答】解：A、3x2﹣2xy﹣5y2=0是二元二次方程；
B、x（x﹣3）=x2+5是一元一次方程；
C、x﹣=8是分式方程；
D、x（x﹣2）=3是一元二次方程，
故选：D．
　
2．一元二次方程x2+x﹣1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【考点】根的判别式．
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣1，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A
　
3．如果x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣2=0的两个实数根，那么x1+x2的值是（　　）
A．﹣6 B．﹣2 C．6 D．2
【考点】根与系数的关系．
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=6．
【解答】解：∵x1+x2=﹣，
∴x1+x2=6．
故答案为：6．
　
4．如果圆的最大弦长是m，直线与圆心的距离为d，且直线与圆相离，那么（　　）
A．d＞m B．d＞m C．d≥m D．d≤m
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】已知圆的半径是R，圆心到直线l的距离是d，那么①当d＜R时，直线l和圆的位置关系是相交；②当d=R时，直线l和圆的位置关系是相切；③当d＞R时，直线l和圆的位置关系是相离，根据以上内容求出即可．
【解答】解：∵如果圆的最大弦长是m，
圆的半径为m，直线和圆相离，
∴圆心到直线的距离d的取值范围是d＞m，
故选B．
　
5．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（　　）

A．65° B．25° C．15° D．35°
【考点】圆周角定理．
【分析】先根据邻补角的定义求出∠BOC，再利用圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，
∴∠D=×50°=25°．
故选B．
　
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕AC所在的直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（　　）

A．12π B．15π C．30π D．60π
【考点】圆锥的计算；点、线、面、体．
【分析】易利用勾股定理求得母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【解答】解：由勾股定理得AB=5，BC=3，则圆锥的底面周长=6π，旋转体的侧面积=×6π×5=15π，
故选B．
　
7．有下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】三角形的外接圆与外心；圆的认识；确定圆的条件．
【分析】根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．
【解答】解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确；
②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；
③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；
④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．
故选：B．
　
8．某班同学毕业时将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2450张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）=2450 B．x（x﹣1）=2450×2 C．x（x﹣1）=2450 D．2x（x+1）=2450
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）=2450．
故选C．
　
二、仔细填一填（本大题共10小题，每题3分，共30分）：
9．一元二次方程x2=x的解为　x1=0，x2=1　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
【解答】解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
　
10．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为　2　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程来求a的值．注意：a+2≠0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，
∴a2﹣4=0且a+2≠0．
解得 a=2．
故答案是：2．
　
11．用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为　8　cm．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答．
【解答】解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，
列出关系式解答： =2πx，
又∵n=216，r=10，
∴÷180=2πx，
解得x=6，
h==8．
故答案为：8cm．

　
12．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O到弦BC的距离是　2　．

【考点】圆周角定理；勾股定理；三角形中位线定理；垂径定理．
【分析】过O点作OD⊥BC，D点为垂足，则DB=DC，所以OD为△BAC的中位线，即有OD=AC；由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理可求得AC，即可得到OD的长．
【解答】解：过O点作OD⊥BC，D点为垂足，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB2=BC2+AC2，即AC==4，
又∵OD⊥BC，
∴DB=DC，而OA=OB，
∴OD为△BAC的中位线，即有OD=AC，
所以OD=×4=2，即圆心O到弦BC的距离为2．
故答案为2．

　
13．一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=　22　．
【考点】中位数．
【分析】要确定x与各个数的大小关系，可以先将除x外的五个数从小到大重新排列后为12，18，20，23，27，然后分：x在23前；27以后；在其中两个数之间；分别等于数组中的数．这几种情况分别讨论．就可以确定x的具体位置．从而确定大小．
【解答】解：这组数据23，27，20，18，x，12，共6个；最中间两个数的平均数是这组数据的中位数．将除x外的五个数从小到大重新排列后为12 18 20 23 27；20这个数总是中间的一个数，由于中位数是21，所以中间还一个是22，即x=22．
故填22．
　
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=　2　．

【考点】三角形的内切圆与内心．
【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=（AC+BC﹣AB），由此可求出r的长．
【解答】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；
根据勾股定理AB==10；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=（AC+BC﹣AB）；
即：r=（6+8﹣10）=2．

　
15．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为　61°　．

【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OD，
∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，
∴点A，B，C，D共圆，
∵点D对应的刻度是58°，
∴∠BOD=58°，
∴∠BCD=∠BOD=29°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．
故答案为：61°．

　
16．如图，A、B、C是⊙上的三个点，∠ABC=130°，则∠AOC的度数是　100°　．

【考点】圆周角定理．
【分析】首先在优弧AC上取点D，连接AD，CD，由圆的内接四边形的性质，可求得∠ADC的度数，然后由圆周角定理，求得∠AOC的度数．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，
∵∠ABC=130°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=50°，
∴∠AOC=2∠ADC=100°．
故答案为：100°．

　
17．市影剧院上影新年大片，该剧院能容纳800人．经调研，若票价定为35元，则门票可以全部售完，而门票的价格每增加1元，售出的门票就减少50张．当票价定为（35+a）元时，可以获得　（35+a）　元的门票收入（a≥0）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】找出当票价定为（35+a）元时，售出门票张数，根据总收入=单张票价×销售数量代入数据即可得出结论．
【解答】解：当票价定为（35+a）元时，售出门票张，
出售门票的收入为（35+a）．
故答案为：（35+a）．
　
18．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD=6，BC=8，则⊙O的半径为　5　．

【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，根据圆周角登录得到∠DAE=∠DFB，∠AED=∠FBD=90°，根据三角形的内和得到∠ADC=∠FDB，由角的和差得到∠ADF=∠CDB，得到，求得AF=BC=8，然后由勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，
∵∠DAE=∠DFB，∠AED=∠FBD=90°，
∴∠ADC=∠FDB，
∴∠ADF=∠CDB，
∴，
∴AF=BC=8，
∵∠DAF=90°，
∴DF===10，
∴⊙O的半径为5．
故答案为：5．

　
三、精心做一做．（本大题共96分）
19．解方程：
（1）x（x+4）=﹣5（x+4）；
（2）x2﹣5x﹣24=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）提取公因式（x+4）即可得到（x+4）（x+5）=0，再解两个一元一次方程即可；
（2）利用十字相乘法分解因式得到（x﹣8）（x+3）=0，再解两个一元一次方程即可．
【解答】解：（1）∵x（x+4）=﹣5（x+4），
∴（x+4）（x+5）=0，
∴x+4=0或x+5=0，
∴x1=﹣4，x2=﹣5；
（2）∵x2﹣5x﹣24=0，
∴（x﹣8）（x+3）=0，
∴x+3=0或x﹣8=0，
∴x1=﹣3，x2=8．
　
20．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】如图所示，根据垂径定理得到BD=AB=×16=8cm，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．
【解答】解：（1）先作弦AB的垂直平分线；在弧AB上任取一点C连接AC，作弦AC的垂直平分线，两线交点作为圆心O，OA作为半径，画圆即为所求图形．


（2）过O作OE⊥AB于D，交弧AB于E，连接OB．

∵OE⊥AB
∴BD=AB=×16=8cm
由题意可知，ED=4cm
设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
OD2+BD2=OB2
∴（x﹣4）2+82=x2
解得x=10．
即这个圆形截面的半径为10cm．
　
21．为调查七年级某班学生每天完成家庭作业所需的时间，在该班随机抽查了8名学生，他们每天完成作业所需时间（单位：分）分别为：60，55，75，55，55，43，65，40．
（1）求这组数据的众数、中位数；
（2）求这8名学生每天完成家庭作业的平均时间；如果按照学校要求，学生每天完成家庭作业时间不能超过60分钟，问该班学生每天完成家庭作业的平均时间是否符合学校的要求？
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【分析】（1）用众数、中位数、平均数的定义去解．
（2）求出这8名学生每天完成家庭作业的平均时间．把这个样本的平均数与60分钟进行比较就可以．
【解答】解：（1）在这8个数据中，55出现了3次，出现的次数最多，即这组数据的众数是55；将这8个数据按从小到大的顺序排列，其中最中间的两个数据都是55，即这组数据的中位数是55．
（2）这8个数据的平均数是=（60+55×3+75+43+65+40）=56（分）．
∴这8名学生完成家庭作业的平均时间为56分钟，
因为56＜60，
因此估计该班学生每天完成家庭作业的平均时间符合学校的要求．
　
22．已知方程x2+2x+1+m=0没有实数根．求证方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣3=0一定有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【分析】由方程x2+2x+1+m=0没有实数根可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据根的判别式找出方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣3=0的△=（m+4）2，结合m的取值范围即可得出（m+4）2＞0，进而即可得知方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣3=0一定有两个不相等的实数根．
【解答】证明：∵方程x2+2x+1+m=0没有实数根，
∴△=22﹣4×1×（1+m）=﹣4m＜0，
解得：m＞0．
在方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣3=0中，
△=（m+2）2﹣4×1×（﹣m﹣3）=m2+8m+16=（m+4）2，
∵m＞0，
∴△=（m+4）2＞0，
∴方程x2+（m﹣2）x﹣m﹣3=0一定有两个不相等的实数根．
　
23．如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．
（1）求AP的长．
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；
（2）根据S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，
∴△O′PB是等腰直角三角形，
∴PB=BO，
∴AP=AB﹣BP=20﹣10；

（2）阴影部分面积为：
S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB=×π×100+10×10×=25π+50．
　
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．

【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】连接AC，先根据直径所对的角是直角，圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等得到∠E=∠D，∠EBC=∠E，从而根据等角对等边可证BC=EC．
【解答】证明：连接AC．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°=∠ACE．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠EBC=∠D．
∵C是弧BD的中点，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，
∴∠E=∠D，
∴∠EBC=∠E，
∴BC=EC．

　
25．如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

【考点】圆锥的计算；平面展开﹣最短路径问题．
【分析】（1）利用圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角；圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长；
（2）最短路线应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．
【解答】解：（1）=2π×10，
解得n=90．
圆锥侧面展开图的表面积=π×102+π×10×40=500πcm2．

（2）如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．
在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，
∴AB=20（cm）．
∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．

　
26．东台市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2017年投资额能否达到1360万？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）利用2014年投资1000万元，预计2016年投资1210万元，进而得出等式求出即可；
（2）利用（1）中所求，得出2017年投资额即可．
【解答】解：（1）设平均每年投资增长的百分率是x．
由题意得1000（1+x）2=1210，
解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：平均每年投资增长的百分率为10%；
（2）∵1210×（1+10）=1331＜1360，
∴不能达到．
　
27．如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；
（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

【考点】圆的综合题．
【分析】（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C两点的坐标．
（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．
（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．
【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．
∵PO⊥AD，
∴AO=DO．
∵AD=2，
∴OA=．
∵点P坐标为（﹣1，0），
∴OP=1．
∴PA==2．
∴BP=CP=2．
∴B（﹣3，0），C（1，0）．

（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．
如图2所示，线段MB、MC即为所求作．
四边形ACMB是矩形．
理由如下：
∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，
∴四边形ACMB是平行四边形．
∵BC是⊙P的直径，
∴∠CAB=90°．
∴平行四边形ACMB是矩形．
过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．
在△MHP和△AOP中，
∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，
∴△MHP≌△AOP．
∴MH=OA=，PH=PO=1．
∴OH=2．
∴点M的坐标为（﹣2，）．

（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．
∵四边形ACMB是矩形，
∴∠BMC=90°．
∵EG⊥BO，
∴∠BGE=90°．
∴∠BMC=∠BGE=90°．
∵点Q是BE的中点，
∴QM=QE=QB=QG．
∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．
∴∠MQG=2∠MBG．
∵∠COA=90°，OC=1，OA=，
∴tan∠OCA==．
∴∠OCA=60°．
∴∠MBC=∠BCA=60°．
∴∠MQG=120°．
∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．



　

2017年3月4日