苏科版数学九年级上册月考模拟试卷七（含答案）

这是一份苏科版数学九年级上册月考模拟试卷七（含答案），共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
苏科版数学九年级上册月考模拟试卷
一、选择题
1．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 （　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
3．下列函数中不是二次函数的有（　　）
A．y=x（x﹣1） B．y=﹣1 C．y=﹣x2 D．y=（x+4）2﹣x2
4．已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（2，1） C．（2，5） D．（5，2）
5．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π
7．如图，平面直角坐标系中，已知点B（2，1），过点B作BA⊥x轴，垂足为A，若抛物线y=x2+k与△OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

A．﹣2＜k＜0 B．﹣2＜k＜ C．﹣2＜k＜﹣1 D．﹣2＜k＜
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　）

A． B． C．2.4 D．3
9．如图，二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，连接BC、BD，设∠OCB=α，∠DBC=β，则cos（α﹣β）的值是（　　）

A． B． C． D．
10．已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为　　．
12．如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+）cm，圆O沿地面BC方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为　　．

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是　　．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为　　．

15．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为　　．
16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x=x1+2时，y　　0（填“＞”“=”或“＜”号）．

17．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为　　．

18．将二次函数y=x2﹣1的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，这样就形成了新的图象，当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是　　．
三、解答题
19．计算：
（1）+tan60°； （2）sin260°+cos245°﹣tan45°．










20．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班（2）班进行了检测．如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况：
（1）利用图中提供的信息，补全下表：
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
　　
24
　　
（2）班
24
　　
21
（2）若把24分以上（含24分）记为”优秀”，两班各50名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；
（3）观察图中数据分布情况，请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定．


21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．



22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．





23．某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．
（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．




24．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？





25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？






26．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．



27．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m=　　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　　个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有　　个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　　．

28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=　　，PH=　　，由此发现，PO　　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

　
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．）
1．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0．”分别求出∠A、∠B的值．然后用三角形内角和定理即可求出∠C的值．
【解答】解：∵|sinA﹣|=0，（﹣cosB）2=0，
∴sinA﹣=0，﹣cosB=0，
∴sinA=， =cosB，
∴∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选C．
　
2．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 （　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：连接OA，OB，

∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
即∠PAO=∠PBO=90°，
∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，
∴∠C=∠AOB=55°．
故选：C．
　
3．下列函数中不是二次函数的有（　　）
A．y=x（x﹣1） B．y=﹣1 C．y=﹣x2 D．y=（x+4）2﹣x2
【考点】二次函数的定义．
【分析】依据二次函数的定义回答即可．
【解答】解：A、整理得y=x2﹣x，是二次函数，与要求不符；
B、y=﹣1是二次函数，与要求不符；
C、y=﹣x2是二次函数，与要求不符；
D、整理得：y=8x+16是一次函数，与要求相符．
故选：D．
　
4．已知关于x的方程ax2+bx+c=5的一个根是2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则这条抛物线的顶点坐标为（　　）
A．（2，﹣3） B．（2，1） C．（2，5） D．（5，2）
【考点】二次函数的性质；一元二次方程的解．
【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标ax2+bx+c=5，由此求得顶点坐标即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，方程ax2+bx+c=5的一个根是2，
∴当x=2时，y=ax2+bx+c=5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
　
5．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；
②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
　
6．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（　　）

A．π B． C．3+π D．8﹣π
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，
∴AB==，
由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，
∴DH=OB=2，
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积
=×5×2+×2×3+﹣
=8﹣π，
故选：D．

　
7．如图，平面直角坐标系中，已知点B（2，1），过点B作BA⊥x轴，垂足为A，若抛物线y=x2+k与△OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

A．﹣2＜k＜0 B．﹣2＜k＜ C．﹣2＜k＜﹣1 D．﹣2＜k＜
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先根据抛物线解析式y=x2+k，求出抛物线与△AOB有一个公共点时的k值，然后根据抛物线的位置与开口方向判断k的取值范围即可．
【解答】解：①由B（2，1）可得，OB的解析式为y=x，
∵抛物线为y=x2+k，
∴当抛物线与OB有两个交点时，
一元二次方程x=x2+k中，判别式△＞0，
即1﹣8k＞0，
解得k＜，
∴抛物线与△OAB有两个公共点时，k＜；
②∵B（2，1），BA⊥x轴，
∴A（2，0），
当抛物线y=x2+k经过点A时，0=2+k，即k=﹣2，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与△OAB有两个公共点时，k＞﹣2，
综上，若抛物线y=x2+k与△OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是﹣2＜k＜．
故选（B）

　
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（﹣3，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　）

A． B． C．2.4 D．3
【考点】切线的性质；坐标与图形性质．
【分析】连接OP，OQ，过点O作OP′⊥AB，垂足为P′．由切线的性质可证明△OQP为直角三角形，故此当OP有最小值时，PQ由最小值，接下来由垂线段的性质可知当OP⊥AB时，OP有最小值，接下来，在△AOB中依据面积法求得OP′的长，从而可求得PQ的最小值．
【解答】解：如图所示：连接OP，OQ，过点O作OP′⊥AB，垂足为P′．

∵A（﹣3，0）、B（0，4），
∴OA=3，OB=4．
由勾股定理可知AB=5．
∵OP′•AB=OA•OB，
∴OP′=．
∵PQ是圆O的切线，
∴OQ⊥QO．
∴PQ=．
∴当OP有最小值时，PQ有最小值．
∵由垂线段最短可知PO的最小值=OP′=，
∴PQ的最小值==．
故选：B．
　
9．如图，二次函数y=﹣x2+x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，连接BC、BD，设∠OCB=α，∠DBC=β，则cos（α﹣β）的值是（　　）

A． B． C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】延长BD交y轴于P，根据三角形的外角的性质得到∠OPB=α﹣β，解方程﹣x2+x+3=0，求出点A的坐标和点B的坐标，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线BD的解析式，求出OP的长，根据勾股定理求出PB的长，根据余弦的概念解答即可．
【解答】解：延长BD交y轴于P，
∵∠OCB=α，∠DBC=β，
∴∠OPB=α﹣β，
﹣x2+x+3=0，
解得，x1=﹣1.2，x2=4，
∴点A的坐标为（﹣1.2，0），点B的坐标为（4，0），
x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵点D在该抛物线上，且点D的横坐标为2，
∴点D的纵坐标为4，
∴点D的坐标为（2，4），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
则，
解得，，
∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+8，
∴OP=8，
PB==4，
∴cos（α﹣β）=cos∠OPB==，
故选：D．

　
10．已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的判定．
【分析】以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=﹣x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．
【解答】解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3）；
令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3=0，
解得：x=，
∴点B的坐标为（，0）．
∴AB=2．
∵抛物线的对称轴为x=，
∴点C的坐标为（2，3），
∴AC=2=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，
解得：x=﹣，或x=3．
∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．
△ABP为等腰三角形分三种情况：
①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；
②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；
③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；
∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．
故选A．
　
二、填空题（本大题共8小题，每题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上．）
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为　24　．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵tanA==，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为×6×8=24．
故答案为：24．
　
12．如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+）cm，圆O沿地面BC方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为　cm　．

【考点】特殊角的三角函数值；弧长的计算．
【分析】作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，根据正弦的定义求出∠AOE的度数，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，
则AE=2+﹣2=，又OA=2，
∴sin∠AOE==，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOB=150°，
则的长为=，
则圆O在地面上滚动的距离为cm，
故答案为： cm．

　
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作⊙C．若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是　＜r≤3　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出r的取值范围．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示：
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AB•CD=AC•BC，
∴CD==，
即圆心C到AB的距离d=，
∵AC＜BC，
∴以C为圆心，r=4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，
∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是＜r≤3．
故答案为：＜r≤3．

　
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为　2　．

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD，又∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．
【解答】解：连接CD，如图所示：
∵∠B=∠DAC，
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AD=4，
∴AC=CD=AD=×4=2，
故答案为：2．

　
15．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为　30°或150°　．
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】根据边长等于半径时，边长所对的圆心角为60°，根据圆周角与圆心角的关系和圆内接四边形的性质求出等径角的度数．
【解答】解：如图边AB与半径相等时，
则∠AOB=60°，
当等径角顶点为C时，∠C=∠AOB=30°，
当等径角顶点为D时，∠C+∠D=180°，∠D=150°，
故答案为：30°或150°．
　
16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k（k＜0）与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其中x1＜0＜x2，当x=x1+2时，y　＜　0（填“＞”“=”或“＜”号）．

【考点】二次函数的性质．
【分析】根据抛物线方程求出对称轴方程x=1，然后根据二次函数的图象的对称性知x1与对称轴x=1距离大于1，所以当x=x1+2时，抛物线图象在x轴下方，即y＜0．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+k（k＜0）的对称轴方程是x=1，
又∵x1＜0，
∴x1与对称轴x=1距离大于1，
∴x1+2＜x2，
∴当x=x1+2时，抛物线图象在x轴下方，
即y＜0．
故答案是：＜．
　
17．如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为　2﹣2　．

【考点】二次函数的性质．
【分析】根据题意得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用2OF=FG，进而求出即可．
【解答】解：∵正方形ABCD边长为4，
∴顶点坐标为：（0，4），B（2，0），
设抛物线解析式为：y=ax2+4，
将B点代入得，0=4a+4，
解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+4
设G点坐标为：（m，﹣m2+4），
则2m=﹣m2+4，
整理的：m2+2m﹣4=0，
解得：m1=﹣1+，a2=﹣1﹣（不合题意舍去），
∴正方形EFGH的边长FG=2m=2﹣2．
故答案为：2﹣2．
　
18．将二次函数y=x2﹣1的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，这样就形成了新的图象，当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是　1＜m＜　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确定抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）和抛物线y=x2﹣1与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），画出抛物线，然后把抛物线y=x2﹣1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1），有图象可得当直线y=x+m过点A时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，易得对应的m的值为1；当直线y=x+m与抛物线y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1）相切时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，即﹣x2+1=x+m有相等的实数解，利用根的判别式的意义可求出此时m的值，进而得到直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围．
【解答】解：∵y=x2﹣1，
∴抛物线y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
当y=0时，x2﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1，则抛物线y=x2﹣1与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），
把抛物线y=x2﹣1图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1），
如图，

把直线y=x向上平移，当平移后的直线y=x+m过点A时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，所以﹣1+m=0，解得m=1；
当直线y=x+m与抛物线y=﹣x2+1（﹣1≤x≤1）相切时，直线y=x+m与该新图象恰好有三个公共点，即﹣x2+1=x+m有相等的实数解，整理得x2+x+m﹣1=0，△=12﹣4（m﹣1）=0，解得m=，
所以当直线y=x+m与新图象有4个公共点时，m的取值范围是1＜m＜．
故答案为1＜m＜．
　
三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）
19．计算：
（1）+tan60°；
（2）sin260°+cos245°﹣tan45°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：（1）原式=+=；
（2）原式=（）2+（）2﹣
=﹣．
　
20．某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集整理了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对他所教的初三（1）班（2）班进行了检测．如图表示从两班各随机抽取的10名学生的得分情况：
（1）利用图中提供的信息，补全下表：
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
　24　
24
　24　
（2）班
24
　24　
21
（2）若把24分以上（含24分）记为”优秀”，两班各50名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；
（3）观察图中数据分布情况，请通过计算说明哪个班的学生纠错的得分情况更稳定．

【考点】众数；用样本估计总体；中位数．
【分析】（1）将图（1）中数据相加再除以10，即可到样本平均数；找到图（2）中出现次数最多的数和处于中间位置的数，即为众数和中位数；
（2）找到样本中24分和24分人数所占的百分数，用样本平均数估计总体平均数；
（3）计算出两个班的方差，方差越小越稳定．
【解答】解：24×10﹣（24+21+30+21+27+27+21+24+30）
=240﹣225
=15
（1）（1）班平均分：（24+21+27+24+21+27+21+24+27+24）=24；
有4名学生24分，最多，故众数为24分；
处于中间位置的数为24和24，故中位数为24，出现次数最多的数为24，故众数为24．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
（1）班
24

24
（2）班

24

（2）（1）班优秀率为，
三（1）班成绩优秀的学生有50×=35名；
（2）班优秀率为，
三（2）班成绩优秀的学生有50×=30名；

（3）S12= [（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×4+（27﹣24）2×3]
=×（27+27）
=5.4；
S22= [（21﹣24）2×3+（24﹣24）2×2+（27﹣24）2×2+（30﹣24）2×2+（15﹣24）2]
=×198
=19.8；
S12＜S22，初三（1）班成绩比较整齐．
　
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．
（1）求证：∠1=∠BAD；
（2）求证：BE是⊙O的切线．

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；切线的判定．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理得出即可；
（2）连接BO，求出OB∥DE，推出EB⊥OB，根据切线的判定得出即可；
【解答】证明：（1）∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠1=∠BDA，
∴∠1=∠BAD；

（2）连接BO，
∵∠ABC=90°，
又∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCO+∠BCD=180°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠CBO+∠BCD=180°，
∴OB∥DE，
∵BE⊥DE，
∴EB⊥OB，
∵OB是⊙O的半径，
∴BE是⊙O的切线．

　
22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）依据抛物线的解析式与平移的规划规律，写出平移后抛物线的解析式，然后求得抛物线与x轴的交点坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围．
【解答】解：（1）∵把C（0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A（﹣2，0）代入y=x2+bx﹣6得：b=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣6．
∴y=（x﹣）2﹣．
∴抛物线的顶点坐标D（，﹣）．
（2）二次函数的图形沿x轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣．
令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x1=，x2=﹣．
∵a＞0，
∴当y＜0时，x的取值范围是﹣＜x＜．
　
23．某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．
（1）请用列表或树状图（树状图也称树形图）的方法（选其中一种即可），把抽奖一次可能出现的结果表示出来；
（2）假如你参加了该超市开业当天的一次抽奖活动，求能中奖的概率P．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；
（2）根据概率公式进行解答即可．
【解答】解：（1）列表得：

1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
（2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P==．
答：抽奖一次能中奖的概率为．
　
24．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【分析】（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；
（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，然后利用，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
【解答】解：（1）∵直径AB=26m，
∴OD=，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；

（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．

　
25．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．
（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？
（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
【考点】二次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）根据每天游客居住的房间数量等于50﹣减少的房间数即可解决问题．
（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
（3）根据条件列出不等式组即可解决问题．
【解答】解：（1）根据题意，得：y=50﹣x，（0≤x≤50，且x为整数）；
（2）W=（50﹣x）
=﹣10x2+400x+5000
=﹣10（x﹣20）2+9000，
∵a=﹣10＜0
∴当x=20时，W取得最大值，W最大值=9000元，
答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元；
（3）由解得20≤x≤40
∵房间数y=50﹣x，
又∵﹣1＜0，
∴当x=40时，y的值最小，这天宾馆入住的游客人数最少，
最少人数为2y=2（﹣x+50）=20（人）．
　
26．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．

【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由=得∠DAE=∠BAE，由AB为直径得∠AEB=90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8，接着由AB为直径得到∠ADB=90°，则可利用面积法计算出BD=，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=，再根据正弦的定义求解．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连结AE，如图，
∵=，
∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=BC=×12=6，
在Rt△ABE中，∵AB=10，BE=6，
∴AE==8，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AE•BC=BD•AC，
∴BD==，
在Rt△ABD中，∵AB=10，BD=，
∴AD==，
∴sin∠ABD===．

　
27．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…
其中，m=　0　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　3　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　3　个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有　2　个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．

【考点】二次函数的图象；根的判别式．
【分析】（1）把x=﹣2代入函数解释式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．
【解答】解：（1）把x=﹣2代入y=x2﹣2|x|得y=0，
即m=0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；
②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．

　
28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=　5　，PH=　5　，由此发现，PO　=　PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，﹣2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①求出PO、PH即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标（m，﹣m2+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．
（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，﹣m2+1），由=列出方程即可解决问题．
【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+1经过点A（4，﹣3），
∴﹣3=16a+1，
∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+1，顶点B（0，1）．
（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，﹣m2+1），
∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1
PO==m2+1，
∴PO=PH．
（3）∵BC==，AC==，AB==4
∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴=，设点P（m，﹣m2+1），
∴=，
解得m=±1，
∴点P坐标（1，）或（﹣1，）．

　

2017年2月25日