第03讲 基本不等式（解析版）练习题

第3讲　基本不等式

 [A级　基础练]

1．（2020春•南关区校级期中）若，则的最小值为　　

A． B． C．1 D．

【分析】由，然后利用基本不等式即可求解．

【解答】解：因为，则，

当且仅当即时取等号，

故选：．

2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)

A．x＝y   B．x＝2y

C．x＝2且y＝1   D．x＝y或y＝1

解析：选C.因为x>0，y>0，

所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．

故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．故选C.

3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)

A.   B．2

C．2   D．4

解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，

由＝＋≥2＝2，

所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，

所以ab的最小值为2.

4．(多选)(2021·山东临沂蒙阴实验中学期末)给出下面四个推断，其中正确的为(　　)

A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2

B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2

C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4

D．若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2

解析：选AD.对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故A项正确；对于B项，当x，y∈(0，1)时，lg x，lg y∈(－∞，0)，此时lg x＋lg y≥2显然不成立，故B项错误；对于C项，当a<0时，＋a≥4显然不成立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，所以＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.

5．(多选)(2020·新高考卷Ⅰ)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)

A．a2＋b2≥  B．2a－b>

C．log2a＋log2b≥－2  D.＋≤

解析：选ABD.对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知0<a<1，0<b<1，所以－1<a－b<1，所以2a－b>2－1＝，正确；对于选项C，令a＝，b＝，则log2＋log2＝－2＋log2<－2，错误；对于选项D，因为＝，所以[]2－(＋)2＝a＋b－2＝(－)2≥0，所以＋≤，正确．故选ABD.

6．(2021·郑州市第一次质量预测)已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．

解析：因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所以的最小值为.

答案：

7．函数y＝(x>1)的最小值为________．

解析：因为x>1，所以x－1>0，

所以y＝＝

＝

＝(x－1)＋＋2≥2＋2.

当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．

答案：2＋2

8．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为__________，＋的最小值为________．

解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝(5＋＋)≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.

答案：2　

9．（2020春•克东县期中）已知．

（1）求的最大值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）由，可知，即可求解；

（2），结合二次函数的性质可求．

【解答】解：（1），

所以，当且仅当即，时取等号，

则的最大值为；

（2），

结合二次函数的性质可知，当时，函数取得最小值．

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解：(1)由2x＋8y－xy＝0，

得＋＝1，

又x>0，y>0，

则1＝＋≥2 ＝.

得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)

＝10＋＋≥10＋2 ＝18.

当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

[B级　综合练]

11．（2021•山东校级期末）已知正数，满足，且，则的最大值为　　

A． B． C．2 D．4

【分析】根据题意，分析可得，由基本不等式的性质求出的最小值，即可得的最小值，据此分析可得答案．

【解答】解：根据题意，正数，满足，

则，

又由，

当且仅当时等号成立，

则，即的最小值为，

若，则的最大值为；

故选：．

12．已知点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式＋≤m2＋8m成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1]∪[9，＋∞)  B．(－∞，－9]∪[1，＋∞)

C．[－1，9]  D．[－9，1]

解析：选B.点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，可得a＋2b＝1，＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，

当且仅当a＝b＝时取得等号，即＋的最小值为9，则9≤m2＋8m，解得m≥1或m≤－9.

13．设a，b为正实数，且＋＝2.

(1)求a2＋b2的最小值；

(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．

解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2的最小值是1.

(2)由(a－b)2≥4(ab)3得≥4ab，得－≥4ab，从而ab＋≤2，又ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1.

14．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润是多少？

解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，

所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，

每件产品的销售价格为1.5×(元)，

所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，

所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．

[C级　创新练]

15．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(　　)

A.   B.

C.   D．3

解析：选D.因为x＋y＋z＝1，0<x<1，0<y<1，0<z<1，所以＋＝＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以＋的最小值为3.故选D.

16.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E.设|AC|＝a，|BC|＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)

A.≤(a>0，b>0)

B.<(a>0，b>0，a≠b)

C.≤(a>0，b>0)

D.<<(a>0，b>0，a≠b)

解析：选D.由|AC|＝a，|BC|＝b，且a≠b，可得半圆O的半径|DO|＝，易得|DC|＝＝，|DE|＝＝.因为|DE|<|DC|<|DO|，所以<<(a>0，b>0，a≠b)．故选D.