第01讲 相等关系与不等关系（解析版）练习题

第1讲   相等关系与不等关系

1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)

A．f(x)＝g(x)　　　　　　 B．f(x)>g(x)

C．f(x)<g(x)   D．随x的值变化而变化

解析：选B.f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0⇒f(x)>g(x)．

2．已知a，b∈R，若a>b，<同时成立，则(　　)

A．ab>0   B．ab<0

C．a＋b>0   D．a＋b<0

解析：选A.因为<，所以－＝<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.

3．若a，b∈R，且a>|b|，则(　　)

A．a<－b   B．a>b

C．a2<b2   D.>

解析：选B.由a>|b|可知，当b≥0时，a>b；当b<0时，a>－b，则a>0>b.综上可知，当a>|b|时，a>b恒成立，故选B.

4．已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是(　　)

A．ab>ac   B．c(b－a)<0

C．cb2<ab2   D．ac(a－c)>0

解析：选A.由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.

由b>c，得ab>ac一定成立．

5．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为c>d，所以c－d>0.

又a>b，所以两边同时乘(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.

若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，

也可能a<b且c<d，

所以“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件．

6．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有(　　)

A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d

B．若a>b，c>d，则b－c>a－d

C．若a>b，c>d，则ac>bd

D．若a>b，c>0，则ac>bc

解析：选AD.因为a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；因为a>b，c>0，所以ac>bc.故D正确．综上可知，只有AD正确．故选AD.

7．(多选)下列命题中，不正确的是(　　)

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若ac>bc，则a>b

C．若<<0，则|a|＋b<0

D．若a>b，c>d，则a－c>b－d

解析：选ABD.取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，所以B错误；由<<0，可知b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．

8．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)

A．a<b      B.－c>－c

C.>         D．ac2<bc2

解析：选ABC.因为y＝x在(0，＋∞)上是增函数，所以a<b.因为y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，所以－c>－c.因为－＝>0，所以>.当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选ABC.

9．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．

解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，

因为a1<a2，b1<b2，

所以(a1－a2)(b1－b2)>0，

即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.

答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1

10．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．

解析：因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，所以－4<－|β|≤0.所以－3<α－|β|<3.

答案：(－3，3)

11．设a>b，有下列不等式：①>；②<；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填序号)

解析：对于①，>0，故①成立；

对于②，a>0，b<0时不成立；

对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；

对于④，|c|≥0，故④成立．

答案：①④

12．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．

解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0，

当a>0时，b2>1>b，

即解得b<－1；

当a<0时，b2<1<b，即无解．

综上可得b<－1.

答案：(－∞，－1)

[B级　综合练]

13．已知2<a＋b<5，0<a－b<1，某同学得出了如下结论：

①1<a<3；②1<b<2；③<b<；④－4<a－2b<0.其中正确的结论是(　　)

A．①③④   B．②④

C．①②   D．①③

解析：选D.因为a＝(a＋b)＋(a－b)，且2<a＋b<5，0<a－b<1，则1<(a＋b)<，0<(a－b)<，所以1<a<3，①正确；因为b＝(a＋b)－(a－b)，且－<－(a－b)<0，所以<b<，②错误，③正确；因为a－2b＝－(a＋b)＋(a－b)，且－<－(a＋b)<－1，0<(a－b)<，所以－<a－2b<，④错误．

14．(多选)(2021·浙江温州七校期中测试)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)

A．若ab≠0且a<b，则>

B．若0<a<1，则a3<a

C．若a>b>0，则>

D．若c<b<a且ac<0，则cb2<ab2

解析：选BC.对于A项，取a＝－2，b＝1，则>不成立，故A项错误．对于B项，若0<a<1，则a3－a＝a(a2－1)<0，所以a3<a，故B项正确．对于C项，若a>b>0，则a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b>0，所以a(b＋1)>b(a＋1)，所以>，故C项正确．对于D项，若c<b<a且ac<0，则a>0，c<0.而b可能为0，因此cb2<ab2不一定成立，故D项错误．故选BC.

[C级　创新练]

15．设a，b∈R，定义运算“”和“”如下：ab＝ab＝若mn≥2，pq≤2，则(　　)

A．mn≥4且p＋q≤4 

B．m＋n≥4且pq≤4

C．mn≤4且p＋q≥4 

D．m＋n≤4且pq≤4

解析：选A.结合定义及mn≥2可得或即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；结合定义及pq≤2，可得或即q<p≤2或p≤q≤2，所以p＋q≤4.故选A项．

16．(开放题)给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)

解析：使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，

因为a>b>0，所以2(－)>0，

所以()2－(－)2>0，即>－.

答案：a>b>0(答案不唯一)