第04讲 导数的综合应用（第1课时 利用导数证明不等式）（解析版）练习题

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第1课时  利用导数证明不等式  [A级　基础练]1．若0<x1<x2<a都有x2ln x1－x1ln x2<x1－x2成立，则a的最大值为(　　)A．   B．1C．e   D．2e解析：选B.原不等式可转化为<，构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，故函数在(0，1)上导数大于零，单调递增，在(1，＋∞)上导数小于零，单调递减．由于x1<x2且f(x1)<f(x2)，故x1，x2在区间(0，1)上，故a的最大值为1.2．若0<x1<x2<1，则(　　)A．ex2－ex1>ln x2－ln x1   B．ex2－ex1<ln x2－ln x1C．x2ex1>x1ex2   D．x2ex1<x1ex2解析：选C.令g(x)＝ex－ln x，则当x∈(0，1)时，g′(x)＝ex－的符号不确定，所以在区间(0，1)上的单调性不确定，因此选项A，B中的大小关系无法确定．令f(x)＝，则f′(x)＝＝.当0<x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0<x1<x2<1，所以f(x2)<f(x1)，即<，所以x2ex1>x1ex2，故选C.3．已知函数f(x)＝aex－ln x－1(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)设x＝2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥时，f(x)≥0.4．已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln x.(1)证明：g(x)≥1；(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－.证明：(1)由题意得g′(x)＝(x>0)．当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)≥g(1)＝1.(2)由f(x)＝1－，得f′(x)＝，所以当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)≥f(2)＝1－，当且仅当x＝2时，等号成立．又由(1)知x－ln x≥1，当且仅当x＝1时，等号成立，且①②等号不能同时取到，所以(x－ln x)f(x)>1－.[B级　综合练]5．已知函数f(x)＝ax＋xln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值．(1)求实数a的值；(2)当x>1时，求证：f(x)>3(x－1)．解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1，因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0，所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2.当f′(x)>0时，x>e－2；当f′(x)<0时，0<x<e－2，所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1.(2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋xln x.令g(x)＝f(x)－3(x－1)，即g(x)＝xln x－2x＋3(x>0)．g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e.由g′(x)>0，得x>e；由g′(x)<0，得0<x<e.所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(1，＋∞)上的最小值为g(e)＝3－e>0.于是在(1，＋∞)上，都有g(x)≥g(e)>0，所以f(x)>3(x－1)．6．已知函数f(x)＝xln x－ax.(1)当a＝－1时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的最小值；(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＋1>－成立．解：(1)函数f(x)＝xln x－ax的定义域为(0，＋∞)．当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2.由f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)<0；当x>时，f′(x)>0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x)min＝f＝－.(2)证明：当x>0时，ln x＋1>－等价于x(ln x＋1)>－.由(1)知a＝－1时，f(x)＝xln x＋x的最小值是－，当且仅当x＝时取等号．设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)．则G′(x)＝′＝，易知G(x)max＝G(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即ln x＋1>－.[C级　创新练]7．已知函数f(x)＝ln x－，g(x)＝.(1)求函数f(x)在[1，＋∞)上的最小值；(2)设b>a>0，证明：<.解：(1)f′(x)＝－＝≥0，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，所以f(x)min＝f(1)＝0.(2)证明：由(1)知，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝ln x－≥0，即ln x≥，由b>a>0，得>1，所以ln >，化简得ln b－ln a>，所以<.