第01讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（解析版）练习题

第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数

 [A级　基础练]

1．下列选项中正确的是(　　)

A．sin 300°＞0  B．cos(－305°)＜0

C．  D．sin 10＜0

解析：，则是第四象限角；

，则是第一象限角；

因为－＝－8π＋，所以－是第二象限角；

因为3π＜10＜，所以10是第三象限角．故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，

 ，sin 10＜0，故D正确．

答案：D　

2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：选D.因为直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为{α|α＝kπ－，k∈Z}．

3．(多选)关于角度，下列说法正确的是(　　)

A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60°

B．钝角大于锐角

C．三角形的内角必是第一或第二象限角

D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角

解析：选BD.对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；

对于B，钝角一定大于锐角，显然正确；

对于C，若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故错误；

对于D，因为角α的终边在第二象限，

所以2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，

所以kπ＋<<kπ＋，k∈Z.

当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；

当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋<<(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三角限角，故正确．

4．(多选)如果角α的终边经过点P(sin 120°，cos30°)，则有(　　)

A． sin α＝   B．sin α＝

C． α是第四象限角   D．tanα＝1

【答案】BD

【解析】因为sin 120°＝sin 60°＝，ocos 30°＝，所以P(，)，sin α＝.

α是第一象限角，tanα＝1．故选BD．

5．已知点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D.由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是.

6．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．

解析：设扇形半径为r，弧长为l，

则解得

答案：

7．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上一点，且，则      ；       ．

【答案】；

【解析】，，且，，所以，所以，，所以．

8．已知点P(sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．

解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cos α＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为.

答案：

9．（1）若角是第二象限角，试确定的终边所在位置；

（2）试写出终边在直线上的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来．

解：（1）∵角是第二象限角，

∴ ，

，

∴ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．

（2）终边在上的角的集合是

，

其中适合不等式的元素为，．

10．已知扇形的周长为.

（1）若这个扇形的面积为，求圆心角的大小；

（2）求这个扇形的面积的最大值，并求此时圆心角的大小．

解：设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，

（1）由题意可得

解得或

(弧度)或(弧度) .

（2），，

当且仅当，即(弧度)时，扇形面积取得最大值，

即扇形的面积的最大值为，此时圆心角为(弧度)．

[B级　综合练]

11．(多选)已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是(　　)

A．1   B．

C．－   D．－1

解析：选BC.因为角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，所以r＝＝5|m|，所以sin α＝＝，cos α＝＝.

①当m>0时，sin α＝＝，cos α＝＝－，

2sin α＋cos α＝2×－＝；

②当m<0时，sin α＝＝－，cos α＝＝，2sin α＋cos α＝2×＋＝－.

综上知，2sin α＋cos α的值可能是或－.故答案为BC.

12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．

解析：由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin ＝4×＝2，可得弦AB＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.

答案：4＋2

13．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

(1)试判断角α所在的象限；

(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．

解：(1)由＝－，得sin α<0，

由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，

所以α是第四象限角．

(2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±.

又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，

sin α＝＝＝＝－.

14．已知角的终边在直线上，求，，的值．

解：角的终边在直线上，

在角的终边上任取一点，

则，，

，

当时，，

，，；

当时，，

，，.

综上可知，，，

或，，.

[C级　创新练]

15．(2020·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝(　　)

A．－1   B．－

C．   D．

解析：选B.因为角α与角β均以Ox为始边，且它们的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ，k∈Z，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2kπ)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝，所以cos(α－β)＝－，故选B.

16．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，

则＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，

所以S1＝tm·r－S扇形AOB，S2＝tm·r－S扇形AOB，

所以S1＝S2恒成立．

答案：S1＝S2