第07讲 对数与对数函数（解析版）练习题

第7讲　对数与对数函数

 [A级　基础练]

1．已知loga＝m，loga3＝n，则am＋2n＝(　　)

A．3　　　　　　　　　　　 B．

C．9   D．

解析：选D.因为loga＝m，loga3＝n，所以am＝，an＝3.

所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝.

2．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1，2]   B．[1，2)

C．   D．

解析：选C.由即

解得x≥.故选C.

3．(2021·河北九校第二次联考)设a＝4－，b＝log，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c   B．a<c<b

C．c<a<b   D．c<b<a

解析：选B.a＝4－＝＝，b＝log＝log23>log22＝1，c＝log32>log3＝，且c＝log32<log33＝1，即<c<1，所以a<c<b，故选B.

4.(多选)在同一平面直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)

A．k＜0，0＜b＜1

B．k＞0，b＞1

C．fg(1)＞0(x＞0)

D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0

解析：选ABC.由直线方程可知，k＞0，0＜b＜1，故A，B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；而当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0.所以D正确．

5．(多选)已知函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝f(1－|x|)，则关于函数h(x)有下列说法，其中正确的为(　　)

A．h(x)的图象关于原点对称

B．h(x)的图象关于y轴对称

C．h(x)的最大值为0

D．h(x)在区间(－1，1)上单调递增

解析：选BC.函数f(x)的图象与g(x)＝2x的图象关于直线y＝x对称，

所以f(x)＝log2x，h(x)＝log2(1－|x|)，为偶函数，不是奇函数，

所以A错误，B正确；

根据偶函数性质可知D错误；

因为1－|x|≤1，所以h(x)≤log21＝0，故C正确．

6．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．

解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，

所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，

所以m＝.

答案：

7．已知函数y＝loga(x＋3)－(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为________；若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．

解析：令x＋3＝1可得x＝－2，此时y＝loga1－＝－，可知定点A的坐标为.点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，故－＝3－2＋b，解得b＝－1.所以f(x)＝3x－1，则f(log32)＝3log32－1＝2－1＝1.

答案：　1

8．已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝________，函数f(x)的值域为________．

解析：由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1时，y＝ln x＋2>2；当x≤1时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．

答案：2　(－2，e－2]∪(2，＋∞)

9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，

所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．

(2)f(x)是奇函数，理由如下：

因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．

所以f(x)是奇函数．

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.

由得－1<x<3，

所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在区间上的最大值是f(1)＝log24＝2.

[B级　综合练]

11．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．0<a<1   B．0<a<2，a≠1

C．1<a<2   D．a≥2

解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.

当0<a<1时，y有最小值，

则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.

12．(多选)已知函数f(x)＝则(　　)

A．若f(a)＝1，则a＝0

B．f＝2 019

C．若f(f(a))＝2－f(a)，则0≤a≤3

D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k≥1

解析：选BC.由f(a)＝1，得或解得a＝3或a＝0，故选项A不正确；f＝f＝＝2log22 019＝2 019，选项B正确；f(f(a))＝2－f(a)＝，所以f(a)≤1，得或解得0≤a≤3，选项C正确；作出函数f(x)的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f(x)＝k有两个不同的实数根时，k≥，选项D不正确．

13．已知函数f(x)＝－log2x，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)

①函数f(|x|)为偶函数；

②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；

③函数f(－x2＋2x)在(1，3)上单调递增．

解析：对于①，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故①正确；对于②，若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，即－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故②正确；对于③，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．

答案：①②

14．已知函数f(x)＝log2.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．

解：(1)因为函数f(x)是R上的奇函数，

所以f(0)＝0，求得a＝0.

当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．

所以a＝0为所求．

(2)因为函数f(x)的定义域是一切实数，

所以＋a>0恒成立．即a>－恒成立，

由于－∈(－∞，0)，

故只要a≥0即可．

(3)由已知得函数f(x)是减函数．故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.

由题设得log2(1＋a)－log2≥2⇒

故－<a≤－.

[C级　创新练]

15．形如y＝的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f(x)＝loga(x2＋x＋1)(a>0，a≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y＝loga|x|的图象的交点个数为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．6

解析：选C.令u＝x2＋x＋1，则函数f(x)＝logau(a>0，a≠1)有最小值．因为u＝＋≥，所以当函数f(x)是增函数时，f(x)在上有最小值；当函数f(x)是减函数时，f(x)在上无最小值．所以a>1，此时“囧函数”y＝与函数y＝loga|x|在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.

16．我们知道，互为反函数的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称；而所有偶函数的图象都关于y轴对称．现在我们定义：如果函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，即已知函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，若y＝f(x)，x＝f(y)也成立，则称函数f(x)为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f(x)＝－x＋b都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．

解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f(x)＝(k≠0)是“自反函数”．

“自反函数”f(x)＝(k≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k>0时，f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k<0时，f(x)＝在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f(x)＝(k≠0)是奇函数，但不是周期函数．