2017年西安市蓝田县中考三模数学试卷

这是一份2017年西安市蓝田县中考三模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各数中最小的是
A. −2B. −1C. 0D. 1

2. 下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列运算正确的是
A. −2x2y3=8x6y3B. a6+a3=a9
C. a+b2=a2+b2D. x7÷x2=x5

4. 如图，已知 AB∥CD，∠CDE=118∘，直线 GF 与 AB 交于点 G，与 ∠BED 的平分线交于点 F，若 ∠AGF=132∘，则 ∠F 的度数为
A. 24∘B. 12∘C. 11∘D. 10∘

5. 若 A−3,m 在正比例函数 y=−43x 的图象上，则点 A 到坐标原点的距离为
A. 7B. 5C. 4D. 3

6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E，F 分别是 AO，AD 的中点，若 AB=6，BC=8，则 △AEF 的周长为
A. 6B. 8C. 9D. 10

7. 将直线 y=12x+1 向右平移 4 个单位后得到直线 y=kx+b，则 k+b 的值为
A. −12B. −1C. 12D. 1

8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A3,3，B0,5，若在坐标轴上找一点 C，使得 △ABC 是等腰三角形，则这样的点 C 有
A. 4 个B. 5 个C. 6 个D. 7 个

9. 如图，AB 是 ⊙O 直径，若 ∠D=30∘，则 ∠AOE 的度数是
A. 30∘B. 60∘C. 100∘D. 120∘

10. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 Rt△ABC 的顶点 A−1,0，B4,0，直角顶点 C 在 y 轴的正半轴上，若抛物线的顶点在 Rt△ABC 的内部，则 a 的取值范围是
A. a>−15B. −15
二、填空题（共5小题；共25分）
11. 计算：x2x−1+11−x= ．

12. 半径为 10 cm 半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的底面半径为 cm．

13. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 P 是第二象限内一点，连接 OP．若 OP 与 x 轴的负半轴之间的夹角 α=50∘，OP=13.5，则点 P 到 x 轴的距离约为 （用科学计算器计算，结果精确到 0.01）．

14. 如图，点 A 为函数 y=9xx>0 图象上一点，连接 OA，交函数 y=1xx>0 的图象于点 B，点 C 是 x 轴上一点，且 AO=AC，则 △ABC 的面积为 ．

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，AB=4，BC>AB，点 D 在 BC 上，以 AC 为对角线的平行四边形 ADCE 中，DE 的最小值是 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
16. 计算：4−−5+∣1−2sin260∘∣+3−18．

17. 解不等式组 2−x≤2x+4,x
18. 如图，已知直线 l 及点 A，B，求作 ⊙O，使得 ⊙O 经过点 A，B，且圆心 O 在直线 l 上（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

19. 随着电子技术的飞速发展，在“提笔忘字”现象越发严重的今天，由央视推出的《中国汉字听写大会》唤醒了国民对汉字文化的学习，某中学举办“汉字听写大赛”，为了解九年级学生的汉字听写情况，现从参赛的学生中随机抽取了部分九年级学生的比赛成绩，并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．A、 0∼10 个（仅含最大值，下同）；B、 10∼30 个；C、 30∼40 个；D、 40∼50 个，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）求本次抽取的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若该中学共有 3000 名学生，试估计该校学生中汉字听写的成绩超过 30 个的学生人数；
（3）根据统计图所提供的信息，写出你的感想．（不超过 30 个字）

20. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上一点，点 F 是边 BC 的延长线上一点，连接 BE，DF，且 BE=DF，求证：∠BEC=∠DFC．

21. 如图是某市中心一家大型购物商城墙面上的电子屏幕，好学的小希想利用所学的知识测量电子屏幕上下端之间的高度，于是他站在屏幕正前方的点 A 处，测得电子屏幕上端 C 处的仰角为 24∘，接着他正对电子屏幕方向前进 7 m 到达点 B 处，又测得电子屏幕上端 C 处的仰角为 58∘，已知图中所有点均在同一平面内，小希的眼睛始终距离地面 1.60 m，CE⊥AE，DE=3 m，请你根据以上测量数据，求该电子屏幕上下端之间的高度 CD．（参考数据：sin24∘≈0.41，cs24∘≈0.91，tan24∘≈0.45，sin58∘≈0.85，cs58∘≈0.53，tan58∘≈1.60，结果精确到 0.1 m）

22. “滴滴出行”是一款涵盖出租车、专车、快车、顺风车等多项业务在内的一站式出行平台，如今已成为人们出行常用的“打车神器”，如图，分别是“滴滴出行”旗下甲、乙两辆轿车某天油箱中的剩余油量 y（升）与行驶时间 x（小时）的函数图象．
（1）求 AB 所在直线的函数表达式；
（2）甲、乙两辆轿车分别以 90 千米/小时，80 千米/小时的行驶速度同时从某地出发，同向而行．那么当两车油箱中的剩余油量相同时，两车相距多少千米?

23. 某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳 AA1，BB1，CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．
（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳 AA1 的概率；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．

24. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，点 O 是斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的 ⊙O 分别与边 AC，BC 相切于点 D，E，连接 OD，OE．
（1）求证：四边形 CDOE 是正方形；
（2）若 AC=3，BC=4，求 ⊙O 的半径．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx−3 与 x 轴交于 A−1,0，B3,0 两点，与 y 轴交于点 C，点 M 为该抛物线的顶点，连接 BC，CM，BM．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）△BCM 是直角三角形吗?请说明理由；
（3）探究坐标轴上是否存在点 P，使得以点 P，A，C 为顶点的三角形与 △BCM 相似?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

26. （1）问题探究：
（1）如图 1，点 A，B，C 是 ⊙O 上三点，∠ACB=35∘，那么 ∠AOB= ．
（2）如图 2，BD 是边长为 4 的正方形 ABCD 的对角线，在正方形内部（不含边界）找一点 O，使得 ∠AOB=2∠ADB，在图中画出满足条件的点 O 所形成的图形，并求出 △AOB 面积的最大值；
（2）问题解决：
（3）如图 3，将百姓家园小区平面图绘制在平面直角坐标系中，点 A，B，C 分别是百姓家园小区门房及两个停车场，其中 OA=100 m，AB=200 m，OC=300 m，为安全起见，在一点 P 安装监控使 △APB 面积最大，且 ∠APB=2∠ACB，是否存在满足条件的点 P?若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】根据实数比较大小的方法，可得 −2<−1<0<1，
∴ 各数中最小的是 −2．
2. D【解析】A、 ∵ 此图形旋转 180∘ 后不能与原图形重合，
∴ 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；
B、 ∵ 此图形旋转 180∘ 后不能与原图形重合，
∴ 此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误；
C、 ∵ 此图形旋转 180∘ 后不能与原图形重合，
∴ 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；
D、 ∵ 此图形旋转 180∘ 后能与原图形重合，
∴ 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故D选项正确．
3. D【解析】A、 原式=−8x6y3，不符合题意；
B、原式不能合并，不符合题意；
C、 原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、 原式=x5，符合题意．
4. C【解析】∵AB∥CD，∠CDE=118∘，
∴∠AED=180∘−118∘=62∘，∠DEB=118∘．
∵GF 交 ∠DEB 的平分线 EF 于点 F，
∴∠DEF=12×118∘=59∘，
∴∠GEF=62∘+59∘=121∘．
∵∠AGF=132∘，
∴∠F=∠AGF−∠GEF=132∘−121∘=11∘．
5. B
【解析】∵A−3,m 在正比例函数 y=−43x 的图象上，
∴m=−43×−3=4，
∴A−3,4，
∴OA=32+42=5．
6. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC=8，∠BAD=90∘，OB=OD=OA=OC，
在 Rt△BAD 中，
∵BD=AB2+AD2=62+82=10，
∴OD=OA=OB=5，
∵E，F 分别是 AO，AD 中点，
∴EF=12OD=52，AE=52，AF=4，
∴△AEF 的周长为 9．
7. A【解析】由题意，得
新函数解析式为 y=12x−4+1，
化简，得
y=12x−1，
k=12，b=−1，
k+b=−12．
8. D【解析】由题意可知：以 AC，AB 为腰的三角形有 3 个；
以 AC，BC 为腰的三角形有 2 个；
以 BC，AB 为腰的三角形有 2 个．
9. D
10. B
【解析】如图，
∵A−1,0，B4,0，
∴OA=1，OB=4，
易得 △ACO∽△CBO，
∴OAOC=OCOB，即 1OC=OC4，解得 OC=2，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A−1,0，B4,0，
∴ 对称轴为直线 x=−1+42=32，
设对称轴与直线 BC 相交于点 P，与 x 轴交于点 Q，
则 BQ=4−32=2.5，tan∠ABC=OCOB=PQBQ，即 24=PQ2.5，解得 PQ=54，
设抛物线的解析式为 y=ax+1x−4，
则 y=ax2−3x−4=ax−322−254a，
∵ 点 C 在 y 轴正半轴上，
∴0<−254a<54，解得 −15第二部分
11. x+1
【解析】原式=x2x−1−1x−1=x+1x−1x−1=x+1.
12. 5
【解析】圆锥的侧面展开图的弧长为 2π×10÷2=10πcm，
∴ 圆锥的底面半径为 10π÷2π=5cm．
13. 10.34
【解析】过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，如图所示：
∵sinα=PAOP，
∴PA=OP⋅sin50∘≈13.5×0.766≈10.34．
14. 6
【解析】设点 A 的坐标为 a,9a，点 B 的坐标为 b,1b .
∵ 点 C 是 x 轴上一点，且 AO=AC，
∴ 点 C 的坐标是 2a,0 .
设过点 O0,0，Aa,9a 的直线的解析式为：y=kx .
∴9a=k⋅a .
解得，k=9a2 .
又点 Bb,1b 在 y=9a2x 上，
∴1b=9a2⋅b，
解得，ab=3 或 ab=−3（舍去）.
∴S△ABC=S△AOC−S△OBC=2a⋅9a22−2a⋅1b2=182−62=9−3=6 .
15. 4
【解析】∵ 四边形 ADCE 是平行四边形，
∴BC∥AE，
∴ 当 DE⊥BC 时，DE 最短，
此时 ∵∠B=90∘，
∴AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形，
∵∠B=90∘，
∴ 四边形 ABDE 是矩形，
∴DE=AB=4，
∴DE 的最小值为 4．
第三部分
16. 4−−5+∣1−2sin260∘∣+3−18=2+5+1−32−12=7+12−12=7.
17.
2−x≤2x+4, ⋯⋯①x解不等式 ① 得，
x≥−2.
解不等式 ② 得，
x<1.
∴不等式组的解集为 −2≤x<1．
∴ 不等式组的最大整数解为 x=0．
18. 如图，⊙O 为所作．
19. （1） 24÷16%=150（名），即本次抽取的学生人数为 150 名；
A：20%×150=30（名），
B：150−30−36−24=60（名），
补全的条形统计图如下：
（2） 3000×36150+16%=1200（名），
答：该校学生中汉字听写的成绩超过 30 个的学生人数有 1200 名．
（3） 根据统计图提供的信息发现：九年级学生的听写能力普遍较低，书写水平令人担忧，给现在的语文教学敲响了警钟，从现在开始重视汉字书写，并注意笔画字形的正确性．（答案不唯一）
20. ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90∘，
∴∠DCF=90∘，
在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中，
BE=DF,BC=DC,
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠BEC=∠DFC．
21. 如图，记小希的眼睛依次为 M，N，连接 MN 并延长交 CE 于点 F，
由题可得，∠CMF=24∘，∠CNF=58∘，MN=7 m，DE=3 m，AM=BN=EF=1.60 m，
∴DF=DE−EF=1.4m，
在 Rt△CNF 中，NF=CFtan∠CNF，
在 Rt△CMF 中，MF=CFtan∠CMF=7+NF ，
∴CFtan∠CMF=7+CFtan∠CNF，
∴CF0.45=7+CF1.60，
解得 CF≈4.38，
∴CD=CF−DF=2.98≈3.0m，
答：该电子屏幕上下端之间的高度 CD 为 3.0 m．
22. （1） 设 AB 所在直线的函数表达式为 y=kx+b，
将 0,60，4,0 代入 y=kx+b 中，
得：b=60,4k+b=0, 解得：k=−15,b=60,
∴AB 所在直线的函数表达式为 y=−15x+60．
（2） 设 CD 所在直线的函数表达式为 y=mx+n，
将 0,90，3,0 代入 y=mx+n 中，
得：n=90,3m+n=0, 解得：m=−30,n=90,
∴CD 所在直线的函数表达式为 y=−30x+90．
令 −15x+60=−30x+90，解得：x=2，
∴90x−80x=90×2−80×2=20．
答：当两车油箱中的剩余油量相同时，两车相距 20 千米．
23. （1） ∵ 共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，
∴ 甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳 AA1 的概率是 =13．
（2） 画树状图：
共有 9 种等可能的结果，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果有 3 种情况，
则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是 39=13．
24. （1） ∵AC，BC 分别为半圆 O 的切线，
∴∠ODC=∠OEC=90∘，
∵∠C=90∘，
∴ 四边形 ODCE 为矩形，
∵OD=OE，
∴ 四边形 CDOE 为正方形．
（2） 连接 OC，
设 ⊙O 的半径为 r．
∵S△ACB=S△ACO+S△BCO，
∴12×3×4=12⋅3⋅r+12⋅4⋅r，
∴r=127．
25. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+bx−3 的图象与 x 轴交于 A−1,0，B3,0 两点，
∴a−b−3=0,9a+3b−3=0,
解得：a=1,b=−2,
则抛物线解析式为 y=x2−2x−3．
（2） △BCM 为直角三角形，理由为：
对于抛物线解析式 y=x2−2x−3=x−12−4，即顶点 M 坐标为 1,−4，
令 x=0，得到 y=−3，即 C0,−3，
根据勾股定理得：BC=32，BM=25，CM=2，
∵BM2=BC2+CM2，
∴△BCM 为直角三角形．
（3） 若 ∠APC=90∘，即 P 点和 O 点重合，如图 1，连接 AC，
∵∠AOC=∠MCB=90∘，且 AOCO=CMCB，
∴Rt△AOC∽Rt△MCB，
∴ 此时 P 点坐标为 0,0．
若 P 点在 y 轴上，则 ∠PAC=90∘，如图 2，过点 A 作 AP1⊥AC 交 y 轴正半轴于点 P1，
∵Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴OAOC=OP1OA，
即 13=OP11，
∴P10,13．
若 P 点在 x 轴上，则 ∠PCA=90∘，如图 3，过点 C 作 CP2⊥AC 交 x 轴正半轴于点 P2，
∵Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCM，
∴OAOC=ACAP2，
即 110=10AP2，AP2=10，
∴P29,0．
∴ 符合条件的点有三个：O0,0，P10,13，P29,0．
26. （1） （1）70∘
（2）如图 1，满足 ∠AOB=2∠ADB 的点 O 在以 AB 为直径的半圆（不含 A，B 端点）图形上；
∵ BD 是正方形 ABCD 的对角线，
∴ ∠ADB=45∘，则 ∠AOB=2∠ADB=90∘，
∵ 90∘ 圆周角所对弦为直径，
∴ 点 O 在以 AB 为直径的半圆（不含 A，B 端点）图形上；
过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，则 OH≤12AB，
∴ S△AOB=12AB⋅OH≤14AB2，
∵ 边长为 4 的正方形 ABCD，
∴ AB=4，
∴ S△AOB≤4，即 S△AOB 最大值为 4．
【解析】∵ 点 A，B，C 是 ⊙O 上三点，
∴ ∠AOB=2∠ACB=70∘．
（2） 存在满足条件的点 P；
如图 2，作 △ABC 的外接圆 ⊙K，连接 AC，BC，AK，BK，
当 △APB 的面积最大，且 ∠APB=2∠ACB 时，点 P 与点 K 重合，
此时，点 P 为符合条件的点，连接 PC，
∵ OB=OC=300，
∴ ∠OBC=45∘，
∴ ∠CPA=2∠OBC=90∘，
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2，
在 Rt△PAC 中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2=2AP2，
∴ 2AP2=OC2+OA2=3002+1002=100000，
∴ AP=1005，
∴ 点 P 在直线 x=200 上，
设直线 x=200 交 x 轴于点 H，则 AH=BH，
∵ OB=OC=300，OA=100，
∴ AB=200，
∴ AH=100，
在 Rt△PAH 中，由勾股定理得：PH=PA2−AH2=200，
∴ P200,200，
∴ 点 P 关于 x 轴的对称点 Pʹ200,−200 也符合题意；
∴ 存在符合条件的点 P，坐标为 200,200 或 200,−200．