2017年西安市蓝田县中考二模数学试卷

这是一份2017年西安市蓝田县中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各数中是无理数的是
A. −1B. 3.1415926C. 3D. 16

2. 如图，是一个正方体被切掉一条棱后所得的几何体，则它的左视图是
A. B.
C. D.

3. 据西安晚报相关报道，西安市入围全国十大热门旅游城市，清明小长假期间旅游总收入 9.93 亿元，其中 9.93 亿用科学记数法表示为
A. 9.93×108B. 9.93×109C. 99.3×109D. 9.93×107

4. 如图，已知 AB∥CD，AD 与 BC 相交于点 E，EF 平分 ∠BED，若 ∠A=30∘，∠C=40∘，则 ∠DEF 的度数为
A. 70∘B. 50∘C. 35∘D. 30∘

5. 若一个正比例函数的图象经过点 −2,1，则这个图象也一定经过点
A. −12,1B. 2,−1C. −1,2D. 1,12

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD，CE 分别是斜边上的高和中线，若 AC=CE=6，则 CD 的长为
A. 3B. 33C. 6D. 63

7. 已知函数 y=2m+1x+m−3，若这个函数的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是
A. m>−12B. m<3C. −12
8. 如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 13，点 A，B，E 在 x 轴上．若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为
A. 3,2B. 3,1C. 2,2D. 4,2

9. 如图，⊙A 经过点 E，B，C，O，且 C0,8，E−6,0，O0,0，则 cs∠OBC 的值为
A. 35B. 45C. 34D. 316

10. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴正半轴相交于 A，B 两点，与 y 轴相交于点 C，对称轴为直线 x=2，且 OA=OC，则下列结论：
① abc>0；② 9a+3b+c<0；③ c>−1；④关于 x 的方程 ax2+bx+c=0a≠0 有一个根为 −1a
其中正确的结论个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 计算：−2x2y32= ．

12. 请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
A、正八边形的一个中心角的度数为 ∘．
B、用科学计算器比较大小：13cs20∘ π ．

13. 如图，在平面直角坐标系中，A2,m 是第一象限内一点，连接 OA，将 OA 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 得到线段 AB，若反比例函数 y=kxx>0 的图象恰好同时经过点 A，B，则 k 的值为 ．

14. 如图，在四边形 ABCD 中，AB⊥BC，且 AD⊥DC，∠A=135∘，BC=6，AD=23，则四边形 ABCD 的面积为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
15. 计算：−3−π−3.140+8−2cs45∘．

16. 化简：x−1x2−9÷xx−3−5x−1x2−9．

17. 如图，点 A 为 ⊙O 上的一点，请用尺规作 ⊙O 的内接正六边形 ABCDEF（不写作法，但须保留作图痕迹）．

18. 为增强学生的爱国意识，某中学举办“爱我中华”朗诵比赛，全校学生都参加，并对表现优异的学生进行表彰，设置一、二、三等奖和进步奖共四个奖项，赛后，校统计小组随机抽取了九年级两个班级，并将这两个班的获奖情况绘制成以下两幅不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查抽取的学生人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示“三等奖”的扇形所对应的圆心角度数是 ∘；
（3）若该校共有 2600 名学生，试估计得奖的学生人数．

19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于点 E，∠CDB 的平分线 DF 交 BC 于点 F，连接 BD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若 AB＝DB，求证：四边形 DFBE 是矩形．

20. 如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端 D 处竖直立一根木棒 CD，并测得此时木棒的影长 DE=2.4 米；然后，小希在 BD 的延长线上找出一点 F，使得 A，C，F 三点在同一直线上，并测得 DF=2.5 米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高 CD=1.72 米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度 AB．

21. 某服装店销售A，B两种品牌服装，且平均每月销售 80 件，已知这两种品牌服装的成本和售价如表所示：
AB成本元/件10080售价元/件170120
设该服装店每月销售的A品牌服装 x 件，平均每月获得的总利润为 y 元．
（1）写出 y 与 x 的函数关系式；
（2）如果该服装店平均每月投入的总成本不超过 7500 元，不考虑其他因素，那么当A，B两种品牌服装各销售多少件时，该服装店平均每月的总利润最大?并求出这个最大利润．

22. 现有一枚质地均匀的正四面体骰子，它的四个面上分别标有数字 0，1，2，3，正方形 ABCD 的四个顶点处均有一个圈．课间，李丽和王萍利用它们玩跳圈游戏，玩法如下：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形 ABCD 的边顺时针连续跳几个边长．
例如：若从圈 A 起跳，第一掷得的数字为 2，便沿正方形的边顺时针连续跳 2 个边长，落到圈 C，第二次掷得的数字为 3，便从圈 C 开始，沿正方形的边顺时针连续跳 3 个边长，落到圈 B，⋯．
设她们从圈 A 起跳．
（1）若李丽随机掷这枚骰子一次，求她跳回圈 A 的概率；
（2）若王萍随机掷这枚骰子两次，请用列表法或画树状图求她最后跳回圈 A 的概率．

23. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的 ⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且 ∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线 BF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=5，sin∠CBF=55，求 BC 和 BF 的长．

24. 如图，已知抛物线 y=−x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，连接 BC．
（1）求 A，B，C 三点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若已知 x 轴上一点 N32,0，则在抛物线的对称轴上是否存在一点 Q，使得 △CNQ 是直角三角形?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

25. （1）问题探究：
（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，AB=2，点 E 是边 AD 的中点，请在对角线 AC 上找一点 P，使得 PE+PD 的值最小，并求出这个最小值；（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E 是边 BC 的中点，若点 P 是边 AB 上一动点，当 △PED 的周长最小时，求 BP 的长度；
（2）问题解决：
某市规划在市中心广场内修建一个矩形的活动中心，如图 3，矩形 OABC 是它的规划图纸，其中 A 为入口，已知 OA=30，OC=20，点 E 是边 AB 的中点，以顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，点 D 是边 OA 上一点，若将 △ABD 沿 BD 翻折，点 A 恰好落在边 BC 上的点 F 处，在点 F 处设一出口，点 M，N 分别是边 OA，OC 上的点，现规划在点 M，N，F，E 四处各安置一个健身器材，并依次修建 MN，NF，FE 及 EM 四条小路，则是否存在点 M，N，使得这四条小路的总长度最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】−1，3.1415926，16 是有理数，3 是无理数．
2. B【解析】从左边看是上下两个矩形，两矩形的公共边是虚线．
3. A【解析】9.93 亿=9.93×108．
4. C【解析】∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∴∠BED=∠2+∠D=30∘+40∘=70∘，
∵EF 是 ∠BED 的平分线，
∴∠DEF=12∠BED=35∘．
5. B
【解析】∵ 正比例函数 y=kx 经过点 −2,1，
∴1=−2k，
解得 k=−12；
∴ 正比例函数的解析式是 y=−12x；
A、 ∵ 当 x=−12 时，y≠1，
∴ 点 −12,1 不在该函数图象上；故本选项错误；
B、 ∵ 当 x=2 时，y=−1，
∴ 点 2,−1 在该函数图象上；故本选项正确；
C、 ∵ 当 x=−1 时，y≠2，
∴ 点 −1,2 不在该函数图象上；故本选项错误；
D、 ∵ 当 x=1 时，y≠12，
∴ 点 1,12 不在该函数图象上；故本选项错误．
6. B【解析】∵∠ACB=90∘，CE 为斜边上的中线，
∴AE=BE=CE=AC=6，
∴△ACE 为等边三角形，
∴∠AEC=60∘，
∴∠DCE=30∘，
∵CD⊥AE，
∴DE=12AE=3，
∴CD=3DE=33．
7. D【解析】∵ 一次函数 y=2m+1x+m−3 的图象不经过第二象限，
∴2m+1>0,m−3≤0, 解得：−128. A
9. A【解析】连接 EC，
∵∠COE=90∘，
∴EC 是 ⊙A 的直径，
∵C0,8，E−6,0，O0,0，
∴OC=8，OE=6，
由勾股定理得：EC=10，
∵∠OBC=∠OEC，
∴cs∠OBC=cs∠OEC=OEEC=610=35．
10. C
【解析】由图象中的函数图象可知：a<0，b>0，c<0 .
∴abc>0 ，①正确；
由对称轴为 x=2，
结合图象可知，当 x=3 时，y=9a+3b+c>0 ，
∴ ②错误；
∵A 点的横坐标在 0∼1 之间，OA=OC ，
∴c>−1 ，③正确；
设 Am,0 ，则 B4−m,0，C0,−m .
则 ax−mx−4+m=0 ，
又 C 点在抛物线上，
∴a0−m0−4+m=−m .
∴4−m=−1a .
∴ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=0a≠0 有一个根为 −1a .④正确．
第二部分
11. 4x4y6
【解析】−2x2y32=4x4y6．
12. 45，>
【解析】A、正八边形的中心角 =360∘÷8=45∘；
B、 ∵ 13cs20∘≈3.606×0.94≈3.39，π≈3.14，
∴ 13cs20∘>π．
13. 2+25
【解析】过点 A 作 AE⊥x 轴，过点 B 作 BD⊥AE，
∵∠OAB=90∘，
∴∠OAE+∠BAD=90∘，
∵∠AOE+∠OAE=90∘，
∴∠BAD=∠AOE，
在 △AOE 和 △BAD 中，
∠AOE=∠BAD,∠AEO=∠BDA=90∘,AO=BA,
∴△AOE≌△BAD，
∴AE=BD=m，OE=AD=2，
∴DE=m−2，OE+BD=m+2，则 Bm+2,m−2；
∵A 与 B 都在反比例图象上，得到 2m=m+2m−2，解得：m=1+5（负值舍去），
∴A2,1+5，
∴k=2+25．
14. 12
【解析】如图，延长 BA，CD 交于点 E．
∵∠DAB=135∘，
∴∠EAD=45∘．
∵AD⊥DC，
∴∠E=∠EAD=45∘．
∴AD=ED=23，
又 ∵AB⊥BC，
∴∠C=∠E=45∘，
∴BC=BE=6，
∴S四边形ABCD=S△BCE−S△AED=12BC⋅BE−12AD⋅ED=12×6×6−12×23×23=12.
第三部分
15. −3−π−3.140+8−2cs45∘=3−1+22−2×22=2+22−2=2+2.
16. 原式=x−1x+3x−3÷xx+3−5x+1x+3x−3=x−1x+3x−3⋅x+3x−3x−12=1x−1.
17. 如图，正六边形 ABCDEF 为所作．
18. （1） 本次调查的学生人数为 10÷10%=100（名），
“进步奖”的人数为 100×30%=30（名），
“一等奖”人数为 100−10+20+30+35=5（名），
补全图象如下：
（2） 72
【解析】表示“三等奖”的扇形所对应的圆心角度数是 360∘×20100=72∘．
（3） 2600×1−35%=1690（名），
答：估计得奖的学生人数约有 1690 名．
19. （1） 在平行四边形 ABCD 中，AB=CD，∠A=∠C，
∵ AB∥CD，
∴ ∠ABD=∠CDB．
∵ BE 平分 ∠ABD，DF 平分 ∠CDB，
∴ ∠ABE=12∠ABD，∠CDF=12∠CDB，
∴ ∠ABE=∠CDF．
在 △ABE 和 △CDF 中，
∠A=∠C,AB=DC,∠ABE=∠CDF,
∴ △ABE≌△CDF．
（2） ∵ △ABE≌△CDF，
∴ AE=CF．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD=BC，
∴ DE∥BF，DE=BF，
∴ 四边形 DFBE 是平行四边形．
∵ AB=DB，BE 平分 ∠ABD，
∴ BE⊥AD，即 ∠DEB=90∘，
∴ 四边形 DFBE 是矩形．
20. 由题意得，∠ABD=∠CDE=90∘，∠ADB=∠CED，
∴△CDE∽△ABD，
∴CDAB=DEBD，
∵∠F=∠F，
∴△CDF∽△ABF，
∴CDAB=DFBF，
∴DEBD=DFBF，即 2.4BD=2.5BD+2.5，
∴BD=60，
∴1.72AB=2.460，
∴AB=43，
答：小雁塔的高度 AB 是 43 米．
21. （1） 由题意 y=170−100x+120−8080−x=30x+3200．
（2） 由题意 100x+8080−x≤7500，
解得 x≤55，
∵y=30x+3200，30>0，
∴x=55 时，y 有最大值 =30×55+3200=4850，
答：当A，B两种品牌服装分别销售 55 件和 25 件时，该服装店平均每月的总利润最大，最大利润为 4850 元．
22. （1） ∵ 共有 4 种等可能的结果，落回到圈 A 的只有 1 种情况，
∴ 落回到圈 A 的概率 P=14．
（2） 列表得：
123011,12,13,10,121,22,23,20,231,32,33,30,301,02,03,00,0∵
共有 16 种等可能的结果，最后落回到圈 A 的有 4 种情况，
∴ 最后落回到圈 A 的概率 P=416=14．
23. （1） 连接 AE，如图 1，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90∘，
∴∠1+∠2=90∘．
∵AB=AC，
∴∠1=12∠CAB．
∵∠CBF=12∠CAB，
∴∠1=∠CBF，
∴∠CBF+∠2=90∘，即 ∠ABF=90∘．
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴ 直线 BF 是 ⊙O 的切线．
（2） 过点 C 作 CG⊥AB 于点 G．如图 2，
∵sin∠CBF=55，∠1=∠CBF，
∴sin∠1=55．
∵ 在 Rt△AEB 中，∠AEB=90∘，AB=5，
∴BE=AB⋅sin∠1=5．
∵AB=AC，∠AEB=90∘，
∴BC=2BE=25．
在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=AB2−BE2=25，
∴ sin∠2=AEAB=255=CGBC，cs∠2=BEAB=55=BGBC，
∴ CG=2BG．
∵ CG2+BG2=BC2=20，
∴ 5BG2=20，
BG=2或−2舍去．
∴ CG=4，
∴ AG=3．
∵ GC∥BF，
∴ △AGC∽△ABF，
∴ GCBF=AGAB，
∴ BF=GC⋅ABAG=203．
24. （1） 由 y=−x2+2x+3 得到：y=−x+1x−3 或 y=−x−12+4，
则 A−1,0，B3,0，对称轴是直线 x=1．
令 x=0，则 y=3，
∴C0,3，
综上所述，A−1,0，B3,0，C0,3，对称轴是直线 x=1．
（2） 假设存在满足条件的点 Q．
设 Q1,m．
又 C0,3，
∴CN2=32+322=454，CQ2=12+3−m2=m2−6m+10．NQ2=32−12+m2=14+m2．
①当点 C 是直角顶点时，则 CN2+CQ2=NQ2，即 454+m2−6m+10=14+m2．
解得 m=72，
此时点 Q 的坐标是 1,72；
②当点 N 为直角顶点时，CN2+NQ2=CQ2，即 454+14+m2=m2−6m+10，
解得 m=−14，
此时点 Q 的坐标是 1,−14；
③当点 Q 为直角顶点时，CQ2+NQ2=CN2，即 454=14+m2+m2−6m+10，
解得 m=3+112 或 m=3−112，
此时点 Q 的坐标是 1,3+112 或 1,3−112．
综上所述，满足条件的点 Q 的坐标为：1,72 或 1,−14 或 1,3+112 或 1,3−112．
25. （1） （1）连接 BE 交 AC 于点 P，如图 1 所示：
则点 P 即为所求，
∴ 此时 BE 的长就是 PE+PD 的最小值，
∵ 在正方形 ABCD 中，AB=2，点 E 是边 AD 的中点，
∴AD=AB=2，AE=DE=12AD=1，PE+PD=BE=22+12=5；
即 PE+PD 的最小值为 5．
（2）作点 E 关于直线 AB 的对称点 Eʹ，连接 DEʹ，交 AB 于点 P，连接 PE，DE，如图 2 所示：
则此时 △PED 的周长最小，
∵ 在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E 是边 BC 的中点，
∴∠PBEʹ=∠C=90∘，CD=AB=6，BEʹ=BE=12BC=4，
又 ∵∠Eʹ=∠Eʹ，
∴△PBEʹ∽△DCEʹ，
∴BPCD=BEʹCEʹ，即 BP6=44+8，
解得：BP=2，
即当 △PED 的周长最小时，BP 的长度为 2．
（2） 存在点 M，N，使得这四条小路的总长度最小．
作点 E 关于 x 轴的对称点 Eʹ，作点 F 关于 y 轴的对称点 Fʹ，连接 EʹFʹ，与 x 轴、 y 轴分别交于点 M，N，连接 MN，NF，FE，EM，如图 3 所示：
则此时这四条小路的总长最小，且最小值为 EʹFʹ+EF 的长，
由题意得：BC=OA=30，AB=OC=20，点 E 为 AB 中点，
∴AEʹ=AE=BE=12AB=10，
∴E30,10，Eʹ30,−10，
由折叠的性质得：BF=AB=20，
∴CFʹ=CF=30−20=10，
∴F10,20，Fʹ−10,20，
∴EF=202+102=105，
在 Rt△BEʹFʹ 中，BFʹ=BC+CFʹ=40，BEʹ=AB+AEʹ=30，
∴EʹFʹ=402+302=50，
由对称的性质得：MN+NF+FE+EM=EʹFʹ+EF=50+105，
即存在点 M，N，使得这四条小路的总长度最小，这个最小值为 50+105．