2017武汉市第七中学中考模拟数学试卷

这是一份2017武汉市第七中学中考模拟数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 点 A，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和 b，对于以下结论：甲：b−a<0；乙：a+b>0；丙：∣a∣<∣b∣；丁：ab>0，其中正确的是
A. 甲、乙B. 丙、丁C. 甲、丙D. 乙、丁

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 据统计部门预测，到 2020 年武汉市常住人口将达到约 14500000 人，数字 14500000 用科学记数法表示为
A. 0.145×108B. 1.45×107C. 14.5×106D. 145×105

4. 一个等腰三角形的两边长分别为 4，8，则它的周长为
A. 12B. 16C. 20D. 16 或 20

5. 下列计算正确的是
A. 4x3⋅2x2=8x6B. a4+a3=a7
C. −x25=−x10D. a−b2=a2−b2

6. 如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是
A. 15B. 25C. 35D. 45

7. 过正方体中有公共顶点的三条棱的中点，切去一个角后，形成如图所示的几何体，其表面展开图正确的是
A. B.
C. D.

8. 如图所示，在半径为 5 cm 的 ⊙ O 中，弦 AB=6 cm，OC⊥AB 于点 C，则 OC 等于
A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm

9. 一次函数 y=2x−3 的图象不经过的象限是
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

10. 以 x 为自变量的二次函数 y=x2−2b−2x+b2−1 的图象不经过第三象限，则实数 b 的取值范围是
A. b≥54B. b≥1 或 b≤−1
C. b≥2D. 1≤b≤2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 分解因式：x3y−2x2y+xy= ．

12. 已知 α，β 是一元二次方程 x2−2x−2=0 的两实数根，则代数式 α−2β−2= ．

13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为 2 和 4，则该等腰三角形的周长是 ．

14. 现有两个不透明的袋子，其中一个装有标号分别为 1 、 2 的两个小球，另一个装有标号分别为 2 、 3 、 4 的三个小球，小球除标号外其它均相同，从两个袋子中各随机摸出 1 个小球，两球标号恰好相同的概率是 ．

15. 若正 n 边形的一个外角是一个内角的 23，此时该正 n 边形有 条对称轴．

16. 如图，抛物线 y1=x2−2 向右平移一个单位得到抛物线 y2，则图中阴影部分的面积 S= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 计算 2sin30∘+4cs30∘⋅tan60∘−cs245∘．

18. 先化简，再求值：a2+aa2−2a+1÷2a−1−1a，其中 a 是方程 2x2+x−3=0 的解．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90∘，点 O 在边 AB 上，以点 O 为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，过点 C 作直线 MN，使 ∠BCM=2∠A．
（1）判断直线 MN 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 OA=4，∠BCM=60∘，求图中阴影部分的面积．

20. 学校奖励给王伟和李丽上海世博园门票共两张，其中一张为指定日门票，另一张为普通日门票．班长提出由王伟和李丽分别转动下图的甲、乙两个转盘（转盘甲被二等分、转盘乙被三等分）确定指定日门票的归属，在两个转盘都停止转动后，若指针所指的两个数字之和为偶数，则王伟获得指定日门票；若指针所指的两个数字之和为奇数，则李丽获得指定日门票；若指针指向分隔线，则重新转动．你认为这个方法公平吗?请画树状图或列表，并说明理由．

21. 如图，某小区的两幢 10 层住宅楼间的距离为 AC=30 m，由地面向上依次为第 1 层、第 2 层、 ⋯ 、 第 10 层，每层高度为 3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长 EC=h，太阳光线与水平线的夹角为 α．
（1）用含 α 的式子表示 h（不必指出 α 的取值范围）；
（2）当 α=30∘ 时，甲楼楼顶 B 点的影子落在乙楼的第几层?若 α 每小时增加 15∘，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光?

22. 如图，东湖隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长 OA 为 12 cm，宽 OB 为 4 cm，隧道顶端 D 到路面的距离为 10 cm，建立如图所示的直角坐标系：
（1）求该抛物线的解析式．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为 6 m，宽为 4 m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过?
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8.5 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米?

23. 如图，△AEF 中，∠EAF=45∘，AG⊥EF 于点 G，现将 △AEG 沿 AE 折叠得到 △AEB，将 △AFG 沿 AF 折叠得到 △AFD，延长 BE 和 DF 相交于点 C．
（1）求证：四边形 ABCD 是正方形；
（2）连接 BD 分别交 AE，AF 于点 M，N，将 △ABM 绕点 A 逆时针旋转，使 AB 与 AD 重合，得到 △ADH，试判断线段 MN，ND，DH 之间的数量关系，并说明理由．
（3）若 EG=4，GF=6，BM=32，求 AG，MN 的长．

24. 如图，在矩形 OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线 CD 折叠矩形 OABC 一边 BC，使点 B 落在 OA 边上的点 E 处．分别以 OC，OA 所在的直线为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O，D，C 三点．
（1）求 AD 的长及抛物线的解析式；
（2）一动点 P 从点 E 出发，沿 EC 以每秒 2 个单位长度的速度向点 C 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿 CO 以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 运动，当点 P 运动到点 C 时，两点同时停止运动．设运动时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 P，Q，C 为顶点的三角形与 △ADE 相似?
答案
第一部分
1. C
2. B【解析】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故 B 正确；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故 C 错误；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 D 错误．
3. B
4. C
5. C
6. C【解析】答案：C
解析：∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5=35．
7. B
8. B
9. B【解析】∵ 一次函数 y=2x−3 的 a=2>0，b=−3<0，∴ 一次函数 y=2x−3 经过第一、三、四象限，即一次函数 y=2x−3 不经过第二象限．
10. A
【解析】因为二次函数 y=x2−2b−2x+b2−1 的图象不经过第三象限，
所以抛物线在 x 轴的上方或在 x 轴的下方经过一、二、四象限，
当抛物线在 x 轴的上方时，
因为二次项系数 a=1，
所以抛物线开口方向向上，
所以 b2−1≥0，Δ=2b−22−4b2−1≤0，
解得 b≥54；
当抛物线在 x 轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x1，x2，
所以 x1+x2=2b−2≥0,b2−1≥0，
所以 Δ=2b−22−4b2−1>0 ，①
b−2>0 ，②
b2−1>0 ，③
由① 得 b<54，由②得 b>2，
所以此种情况不存在，
所以 b≥54．
第二部分
11. xyx−12
12. −2
13. 10
14. 16
15. 5
【解析】∵n 边形的内角和为 n−2×180∘，
∴ 正 n 边形的内角为 n−2×180∘÷n；
∴n 边形的外角和为 360∘，
∴ 正 n 边形的外角为 360∘÷n．
解得：n=5，
即该多边形为正五边形，
∴ 共有 5 条对称轴．
16. 2
【解析】如图，
因为抛物线 y1=x2−2 向右平移 1 个单位得到抛物线 y2，
所以两个顶点的连线平行 x 轴，
所以图中阴影部分和图中红色部分是等底等高的，
所以图中阴影部分等于红色部分的面积，而红色部分的是一个矩形，长，宽分别为 2，1，
所以图中阴影部分的面积 S=2．
第三部分
17. 原式=2×12+4×32×3−222=1+6−12=132.
18. 原式=aa+1a−12÷2a−a−1aa−1=aa+1a−12⋅aa−1a+1=a2a−1.
由 2x2+x−3=0，得 x1=1，x2=−32 .
又 a−1≠0，
∴ a=−32 .
∴ −322−32−1=−910 .
19. （1）
如图：MN 是 ⊙O 切线．
理由：连接 OC．
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA，
∵ ∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴ ∠BCM=∠BOC，
∵ ∠B=90∘，
∴ ∠BOC+∠BCO=90∘，
∴ ∠BCM+∠BCO=90∘，
∴ OC⊥MN，
∴ MN 是 ⊙O 切线．
（2） 由（1）可知 ∠BOC=∠BCM=60∘，
∴ ∠AOC=120∘，
在 Rt△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30∘，
∴ BO=12OC=2，BC=23
∴ S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π⋅42360−12×4×23=16π3−43．
20. 根据题意画树状图如下：
由树状图可知：P和为偶数=36=12，P和为奇数=36=12．
所以这个方法是公平的．
21. （1） 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，如图，
由题意四边形 ACEH 是矩形，
∴EH=AC=30，AH=CE=h，∠BEH=α，
∴BH=30−h，
在 Rt△BEH 中，tan∠BEH=BHEH，
∴30−h=30tanα，
∴h=30−30tanα．
（2） 当 α=30∘ 时，h=30−30×33≈12.7，
∵12.7÷3=4.2，
∴B 点的影子落在乙楼的第五层，
当 B 点的影子落在乙楼 C 处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光，
此时 AB=AC=30，△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45∘，
∴45−3015=1（小时），
∴ 从此时起 1 小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．
22. （1） 根据题意，该抛物线的顶点坐标为 6,10，
设抛物线解析式为：y=ax−62+10a≠0．
将点 B0,4 代入，得：36a+10=4．
解得：a=−16．
故该抛物线解析式为 y=−16x−62+10．
（2） 根据题意，当 x=6+4=10 时，y=−16×16+10=223>6．
所以这辆货车能安全通过．
（3） 当 y=8.5 时，有：−16x−62+10=8.5．
解得：x1=3，x2=9．
所以 x2−x1=6．
答：两排灯的水平距离最小是 6 米．
23. （1） 由 ∠BAD=∠ABC=∠ADC=90∘，
得矩形 ABCD，
由 AB=AD，
得四边形 ABCD 是正方形．
（2） MN2=ND2+DH2．
理由：连接 NH，
由 △ABM≌△ADH，
得 AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45∘，
∴ ∠NDH=90∘，
再证 △AMN≌△AHN，
得 MN=NH，
∴ MN2=ND2+DH2．
（3） 设 AG=x，则 EC=x−4，CF=x−6，
由 Rt△ECF，
得 x−42+x−62=100，x1=12，x2=−2（舍去），
∴ AG=12，
由 AG=AB=AD=12，得 BD=122，
∴ MD=92，
设 NH=y，
由 Rt△NHD，
得 y2=92−y2+322，y=52，
即 MN=52
24. （1） ∵ 四边形 ABCO 为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90∘，AB=CO=8，AO=BC=10，
由折叠的性质得，△BDC≌△EDC，
∴∠B=∠DEC=90∘，EC=BC=10，ED=BD，
由勾股定理易得 EO=6，
∴AE=10−6=4，
设 AD=x，则 BD=CD=8−x，
由勾股定理，得 x2+42=8−x2，解得，x=3，
∴AD=3，
∴ D−3,10，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过 O0,0，
∴c=0，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过 D−3,10，C−8,0，
∴9a−3b=10,64a−8b=0, 解得 a=−23,b=−163,
∴ 抛物线的解析式为：y=−23x2−163x．
（2） ∵ ∠DEA+∠OEC=90∘，∠OCE+∠OEC=90∘，
∴ ∠DEA=∠OCE，
由（1）可得 AD=3，AE=4，DE=5，而 CQ=t，EP=2t，
∴ PC=10−2t，
当 ∠PQC=∠DAE=90∘，△ADE∽△QPC，
∴ CQEA=CPED，即 t4=10−2t5，解得 t=4013，
当 ∠QPC=∠DAE=90∘，△ADE∽△PQC，
∴ PCAE=CQED，即 10−2t4=t5，解得 t=257，
∴ 当 t=4013 或 t=257 时，以 P，Q，C 为顶点的三角形与 △ADE 相似．