考点02 二次函数与幂函数-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点02  二次函数与幂函数

、单选题

1．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围

【详解】

解：函数的图像的对称轴为，

因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以的取值范围为，

故选：D

2．下列函数中，在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用二次函数的性质判定A；利用分段函数的图象可以判定B；根据幂函数和对数函数的性质判定C,D．

【详解】

A中，的图象关于轴对称，开口向下的抛物线，在上单调递减，故Ａ不对；

B中，的图像关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，故排除B；

C中，由幂函数的性质可知在上单调递增，故C正确；   

D中，根据指数函数的性质可得在上单调递减，故排除D；

故选：C．

【点睛】

本题考查函数单调性的判断，涉及幂函数和指数函数，属基础题，熟练掌握基本函数的图象和性质是关键．

3．函数在区间(2，4)上（    ）

A．单调递增 B．单调递减

C．先减后增 D．先增后减

【答案】C

【分析】

根据二次函数的单调性可得结果.

【详解】

函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.

故选：C

4．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据二次函数的性质计算可得；

【详解】

解：因为函数，对称轴为，开口向上，要使函数在区间上是减函数，所以，解得

故选：A

5．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A．或3 B．3 C． D．0

【答案】B

【分析】

由题意可得，从而可求出实数的值

【详解】

解：因为幂函数在上是减函数，

所以，

由，得或，

当时，，所以舍去，

当时，，

所以，

故选：B

6．下列命题中，不正确的是（    ）

A．幂函数y=x-1是奇函数

B．幂函数y=x2是偶函数

C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数

D．y=既不是奇函数，又不是偶函数

【答案】C

【分析】

根据奇偶函数的定义依次判断即可.

【详解】

因为，，所以A正确；

因为，所以B正确；

因为不恒成立，所以C不正确；

因为定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查奇偶函数的定义，属于简单题.

7．幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（    ）

A．[-1，+∞) B．[0，+∞)

C．(-∞，+∞) D．(-∞，0)

【答案】B

【分析】

根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.

【详解】

设幂函数为f(x)=xα，

因为幂函数的图象过点(3， )，所以f(3)=3α==，

解得α=，所以f(x)=，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).

故选：B

【点睛】

本题主要考查幂函数的定义及单调区间，属于简单题.

8．设，则使函数的定义域为，且该函数为奇函数的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．、或

【答案】A

【分析】

由幂函数的相关性质依次验证得解.

【详解】

因为定义域为，所以，，

又函数为奇函数，所以，则满足条件的或.

故选:A

9．设函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A．(-∞，1] B．[1，+∞)

C．(-∞，5] D．[5，+∞)

【答案】B

【分析】

分段函数中，根据对数函数分支y = log2x的值域在(1，+∞)，而函数的值域为R，可知二次函数y = -x2 + a的最大值大于等于1，即可求得a的范围

【详解】

x > 2时，y = log2x > 1

∴要使函数的值域为R，则y = -x2 + a在x ≤ 2上的最大值a大于等于1

即，a ≥ 1

故选：B

【点睛】

本题考查了对数函数的值域，由函数的值域及所得对数函数的值域，判断二次函数的的值域范围进而求参数范围

10．已知函数在区间上的最大值是,最小值是,则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据二次函数的性质分析．

【详解】

由题意可知抛物线得对称轴为,开口向上,

在对称轴的左侧,对称轴的左侧图象为单调递减,在对称轴左侧时有最大值,

上有最大值,最小值,当时,,

的取值范围必须大于或等于,抛物线得图象关于对称,,所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查二次函数的最值问题，二次函数的最值与对称轴有关．属于基础题．

11．已知函数在闭区间上有最大值5，最小值1，则得取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

由函数的解析式可得函数的对称轴为，此时，函数取得最小值为1，当或时，函数值等于5，结合题意求得的范围．

【详解】

函数的对称轴为，此时，函数取得最小值为1，

当或时，函数值等于5．

又在区间，上的最大值为5，最小值为1，

实数的取值范围是，，故选D．

【点睛】

本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查数形结合思想，深刻理解二次函数在特定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的对称性是解决该类问题的关键．

12．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.

【详解】

幂函数的图像过点，，解得，

， 的值域是.故选：D.

13．函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】

根据函数的定义域和幂函数的性质可判断出结果．

【详解】

由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，

故选：A．

二、填空题

14．已知幂函数的图像关于轴对称，与轴及轴均无交点，则由的值构成的集合是__________．

【答案】

【分析】

根据幂函数的性质列不等式，直接求解即可.

【详解】

由幂函数与轴及轴均无交点，得，解得，

又，即，的图像关于轴对称，

即函数为偶函数，故为偶数，所以，

故答案为：.

15．若幂函数的图象与轴无交点，则实数的值为__________.

【答案】

【分析】

根据函数是幂函数，由求得m，再根据函数图象与轴无交点确定即可.

【详解】

因为函数是幂函数，

所以，即，

解得 或 ，

当 时，，图象与轴有交点，

当 时，，图象与轴无交点，

所以实数的值为-1，

故答案为：-1

16．若成立，则的取值范围是___________．

【答案】

【详解】

如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），

由图象可知不等式的解集为.

17．当时，，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【分析】

要使在时恒成立，等价于函数的图像在图像的下方，由此能求出 的取值范围.

【详解】

解：若在上成立，则，且的图像在图像的下方，如图所示，由图像知，，解得，

即实数a的取值范围是．

【点睛】

本题考查函数恒成立问题，解题时要注意等价转化思想的合理运用.

1．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．

【详解】

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．

2．设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】

,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

【点睛】

本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

3．若a>b，则

A．ln(a−b)>0      B．3a<3b       C．a3−b3>0      D．│a│>│b│

【答案】C

【分析】

本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．

【详解】

取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．

【点睛】

本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．

4．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．

【详解】

设，由，因为，，所以

，

因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；

当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．

故选：C．

【点睛】

本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．

5．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.

【答案】

【分析】

先求，再根据奇函数求

【详解】

，因为为奇函数，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.