考点01 不等式-高考数学（理）一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

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考点01不等式1．（2019·广东揭阳市·高三期中（理））已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合B，再由集合的交运算求即可.【详解】由，∴.故选：C2．（2021·江苏高一专题练习）已知，，若，则的最小值为（    ）A．4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】因为，，，所以，当且仅当时取等号，则，即最小值为4.故选：A.3．（2019·福建高三期中（理））不等式的解集为（    ）A． B．或C． D．【答案】A【分析】根据分式不等式的求解方法计算即可得出答案.【详解】原不等式等价于，选项A正确，选项BCD错误故选：A.4．（2021·浙江高二学业考试）已知正实数、满足，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得结果.【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值是.故选：B.5．（2021·全国高一课时练习）设实数、满足，，则的取值范围是（   ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.【详解】由已知得，，，故，故选：B.6．（2021·全国）设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为（    ）A．－ B． C． D．－4【答案】A【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】解析因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝×(a＋b)＝＋≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－．故选：A7．（2021·全国高一课时练习）若关于的不等式的解集为或，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将分式不等式化简后根据解集即可得出答案.【详解】根据原不等式可以推出，因为不等式的解集为或，所以，是方程的两根，且，所以.故选:A8．（2020·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知三个实数2，，成等比数列（其中，），则的最小值为（    ）A． B．11 C．10 D．【答案】A【分析】巧用“1”，把目标式子转化为齐次式，进而利用均值不等式求最值即可.【详解】∵三个实数2，，成等比数列（其中，），∴，即，∴，当且仅当时，等号成立，∴的最小值为.故选：A9．（2021·江西丰城九中高一月考）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】关于的不等式在内有解，等价于在内，然后求出即可【详解】解：关于的不等式在内有解，等价于在内，令，因为抛物线的对称轴为，所以当时，取最大值，所以，故选：B10．（2020·江苏省灌南高级中学高二月考）已知函数在时取得最小值，则等于（    ）A．6 B．8 C．16 D．36【答案】D【分析】利用基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可【详解】因为，故，当且仅当，即时取等号，故故选：D【点睛】均值不等式：一正：，二定：为定值，三相等：当且仅当时等号成立11．（2020·上海市松江一中高一期中）三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成，该图可用来解释下列哪个不等式（    ）A．如果，那么；B．如果，那么；C．对任意实数和，有，当且仅当时等号成立；D．如果，，那么．【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为，进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积，由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为，则斜边长为.图中四个直角三角形的面积和为，外围正方形的面积为.由图可知，四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积，所以，当且仅当时，等号成立.故选：C.12．（2021·江苏高考真题）已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（    ）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由奇函数是定义在上的单调函数，，可得，即，所以，化简后利用基本不等式可求得结果【详解】解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B13．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为，求出过可行域点，且斜率为的直线在轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：目标函数化为，由，解得，设，当直线过点时，取得最小值为.故选：B.14．（2021·浙江高考真题）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.法2：不妨设，则，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，则，故三式中大于的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.15．（2020·天津高考真题）已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.16．（2020·全国高考真题（理））若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.【答案】1【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.17．（2020·江苏高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.