人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点的判定

这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点的判定，共30页。试卷主要包含了定义域为R的偶函数f，若f，函数f，已知函数f，已知函数，下列区间中含有f，函数的零点所在区间是等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点的判定
一．选择题（共14小题）
1．定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x﹣1，若函数y＝f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（，1） C．（0，） D．（，1）
2．若f（x）＝x+2x+a的零点所在的区间为（﹣2，1），则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．函数f（x）＝（）x﹣3的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
4．已知函数f（x）＝3x+x，g（x）＝log3x+x，h（x）＝sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1
5．函数f（x）＝lnx+x﹣6的零点所在区间为（　　）
A．（2，3） B．（3，4） C．（4，5） D．（5，6）
6．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（　　）
A． B． C． D．
7．函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（3，4） C．（﹣1，0） D．（1，2）
8．函数f（x）＝x﹣3+lgx零点所在区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
9．已知函数，下列区间中含有f（x）的零点的是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
10．函数的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（3，4） D．（4，+∞）
11．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣a的两个零点分别在区间（﹣1，0）和内，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．（0，1） C．（ln2，1） D．
12．函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点所在的大致区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
13．函数f（x）＝lgx+x﹣3的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
14．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
二．填空题（共17小题）
15．已知函数f（x）＝lnx+ax在上有两个零点，则a的取值范围是 　 　．
16．直线y＝m与函数y＝x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为　 　．
17．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝a|f（x）|+1有6个零点，则实数a的取值范围是　 　．
18．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，则函数的所有零点之和为　 　．
19．偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则f（）＝　 　，则若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是　 　．
20．已知函数，x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是 　 　．
21．若函数在[﹣1，1]上有零点，则a2﹣3b的最小值为　 　．
22．函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣tx恰有两个零点，则实数t的取值范围是　 　．
23．若函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为　 　．
24．已知函数f（x）＝x|2x﹣a|﹣1．
①当a＝0时，不等式f（x）+1＞0的解集为　 　；
②若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　 　．
25．已知函数f（x）＝lnx﹣m的零点位于区间（1，e）内，则实数m的取值范围是　 　．
26．已知f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则
﹣的取值范围是　 　．
27．设f（x）＝x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　 　．
28．已知e为自然数，则函数f（x）＝ex+lnx﹣e的零点为 　 　．
29．若函数f（x）＝2x2﹣﹣2在区间（m﹣1，m）（m∈N）内存在零点，则m＝　 　．
30．若函数f（x）＝x2+x+1﹣aex有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为　 　
31．若函数f（x）＝ax2+2（a﹣1）x﹣2lnx﹣1只有一个零点，则实数a的取值范围是　 　．
三．解答题（共7小题）
32．已知a是实数，函数f（x）＝2ax2+2x﹣3，如果函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．
33．已知函数f（x）＝x﹣3lnx．
（Ⅰ）证明：f（x）有两个零点；
（Ⅱ）已知α＞β＞1，若∃x0∈R，使得＝f′（x0），试比较与x0的大小．
34．已知f（x）＝（a∈R）的图象关于坐标原点对称．
（1）求a的值，并求出函数F（x）＝f（x）+2x﹣﹣1的零点；
（2）若函数h（x）＝f（x）+2x﹣在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围；
（3）设g（x）＝log4，已知f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在x∈[，]上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．
35．已知函数f（x）＝3x，g（x）＝|x+a|﹣3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）＝f[g（x）]的图象关于直线x＝2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y＝g[f（x）]的零点个数，并说明理由．
36．已知函数f（x）＝2（m+1）x2+4mx+2m﹣1
（1）当m取何值时，函数的图象与x轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m的值．
37．已知函数f（x）＝ex﹣ax2．
（1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）有两个零点，求a的取值范围．
38．已知函数f（x）＝x2+2ax+2．
（1）若函数f（x）有两个不相等的正零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在x∈[﹣5，5]上的最小值为﹣3，求a的值．

人教版2021届一轮复习打地基练习 函数零点的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．定义域为R的偶函数f（x）满足：对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x﹣1，若函数y＝f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，） B．（，1） C．（0，） D．（，1）
【分析】由f（2﹣x）＝f（x）得出函数的周期，由y＝f（x）﹣loga（x+1）＝0得到f（x）＝loga（x+1），利用函数的周期性和偶函数的性质，分别作出函数y＝f（x）和y＝loga（x+1）的图象，利用图象确定a的取值范围．
【解答】解：对任意x∈R都有f（2﹣x）＝f（x）
∴f（x）的周期是2，
且当x∈[0，1]时，f（x）＝x﹣1，
∴x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x﹣1，
若函数y＝f（x）﹣loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
即f（x）和y＝loga（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
画出函数图象，如图示：
由图象得：＞﹣1，解得；0＜a＜，
故选：C．

2．若f（x）＝x+2x+a的零点所在的区间为（﹣2，1），则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由函数的解析式判断单调性，函数f（x）＝x+2x+a的零点所在的区间，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝x+2x+a是增函数，
所以f（﹣2）f（1）＜0，可得：（﹣2+2﹣2+a）（1+21+a）＜0，
∴a∈（﹣3，）．
故选：B．
3．函数f（x）＝（）x﹣3的零点所在的区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】f（x）＝（）x﹣3在定义域内属于单调递增函数，根据二分法只需判断区间端点的正负号即可求解；
【解答】解：∵f（x）＝（）x﹣3在定义域内属于单调递增函数，且f（0）＝﹣2，f（1）＝﹣，f（2）＝﹣，f（3）＝，f（4）＝，
∴f（x）的零点区间为（2，3），
故选：C．
4．已知函数f（x）＝3x+x，g（x）＝log3x+x，h（x）＝sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（　　）
A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x1＜x2 D．x2＜x3＜x1
【分析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可．
【解答】解：函数f（x）＝3x+x，g（x）＝log3x+x，h（x）＝sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，
在坐标系中画出y＝3x，y＝log3x，y＝sinx与y＝﹣x的图象如图：
可知x1＜0，x2＞0，x3＝0，
满足x1＜x3＜x2．
故选：B．

5．函数f（x）＝lnx+x﹣6的零点所在区间为（　　）
A．（2，3） B．（3，4） C．（4，5） D．（5，6）
【分析】据函数零点的判定定理，判断f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的符号，即可求得结论．
【解答】解：∵f（2）＝2+ln2﹣6＜0，
f（3）＝4+ln3﹣6＜0，
f（4）＝4+ln4﹣6＜0，
f（5）＝5+ln5﹣6＞0，
f（6）＝6+ln6﹣6＞0，
∴f（4）•f（5）＜0，
∴函数f（x）＝lnx+x﹣6的零点所在区间为（4，5）．
故选：C．
6．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用零点存在性定理求解即可．
【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且其图象在定义域上是一条不间断的曲线，
又，
由函数零点存在性定理可知，函数f（x）在上有零点．
故选：B．
7．函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（3，4） C．（﹣1，0） D．（1，2）
【分析】根据函数 f（x）＝2x﹣3x 是连续函数，利用零点存在定理判断．
【解答】解：函数 f（x）＝2x﹣3x 是连续函数，
∵f（3）＝8﹣9＝﹣1＜0，
f（4）＝16﹣12＝4＞0，
∴f（3）f（4）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点所在的一个区间是 （3，4）．
故选：B．
8．函数f（x）＝x﹣3+lgx零点所在区间为（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
【解答】解：∵函数f（x）＝x﹣3+lgx在定义域内是连续函数；
f（2）＝2﹣3+lg2＜0，f（3）＝3﹣3+lg3＝lg3＞0；
∴f（2）f（3）＜0，
根据零点存在性定理，
f（x）的零点在区间（2，3）上，
故选：C．
9．已知函数，下列区间中含有f（x）的零点的是（　　）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【分析】利用函数的解析式，求出f（1），f（2）的值，再利用函数零点的判定定理分析即可得到答案．
【解答】解：因为函数，
所以，
，
所以f（1）f（2）＜0，
根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）在区间（1，2）上有零点．
故选：C．
10．函数的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（3，4） D．（4，+∞）
【分析】根据连续函数，可得f（3），f（4）的函数值的符号，由此得到函数的零点所在的区间．
【解答】解：∵连续减函数，
∴f（3）＝2﹣log23＞0，f（4）＝﹣log24＜0，
∴函数的零点所在的区间是 （3，4），
故选：C．
11．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣a的两个零点分别在区间（﹣1，0）和内，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．（0，1） C．（ln2，1） D．
【分析】根据函数零点存在定理可得，解得即可．
【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣a的两个零点分别在区间（﹣1，0）和内，
∴，
即，
解得＜a＜ln2，
故选：A．
12．函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点所在的大致区间是（　　）
A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
【分析】由函数的解析式可得 f（2）＜0，f（3）＞0，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点所在的区间．
【解答】解：函数f（x）＝lnx+x﹣4是连续的增函数，
∵f（2）＝ln2﹣2＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，
∴函数的零点所在的区间为（2，3），
故选：B．
13．函数f（x）＝lgx+x﹣3的零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【分析】根据题意，分析函数的定义域，由函数零点的判定定理即可得到结论．
【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，
∵f（2）＝lg2+2﹣3＝lg2﹣1＜0，f（3）＝lg3＞0，
∴在（2，3）内函数f（x）存在零点，
故选：C．
14．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【分析】判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．
【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，
f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，
可得f（﹣1）f（0）＜0．
由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．
故选：B．
二．填空题（共17小题）
15．已知函数f（x）＝lnx+ax在上有两个零点，则a的取值范围是 　（﹣，﹣]　．
【分析】函数f（x）＝lnx+ax在[，e2]上有两个零点可转化为方程a＝﹣在[，e2]上有两个解，从而令g（x）＝﹣，，由导数判断函数的单调性，从而结合图象求解．
【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+ax在[，e2]上有两个零点，
∴方程lnx+ax＝0在[，e2]上有两个解，
即方程a＝﹣在[，e2]上有两个解，
令g（x）＝﹣，，g′（x）＝，
故当x∈[，e]时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，当x∈[e，e2]时，g′（x）≥0，g（x）单调递增，
且g（）＝e，g（e）＝﹣，g（e2）＝﹣，
故﹣＜a≤﹣，
故答案为：（﹣，﹣]．

16．直线y＝m与函数y＝x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，则m的值为　﹣5或﹣6　．
【分析】作出函数的图象，利用直线y＝m与函数y＝x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，即可求出m的值．
【解答】解：函数y＝x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1＝，
函数图象如图所示，
x＜2时，y＝（x﹣1）2﹣6，
x2﹣8x+7＝x2﹣2x﹣5，∴x＝2，y＝﹣5．
∵直线y＝m与函数y＝x2﹣3|x﹣2|﹣5x+1的图象有3个交点，
∴m＝﹣5或﹣6．
故答案为：﹣5或﹣6．

17．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝a|f（x）|+1有6个零点，则实数a的取值范围是　[﹣1，﹣）　．
【分析】由已知函数解析式作出函数图象，把函数g（x）＝a|f（x）|+1有6个零点，即方程a|f（x）|+1＝0有6个根，转化为y＝|f（x）|与y＝﹣有6个不同交点，即可得到1，求解得答案．
【解答】解：令t＝x2+2x，
∵﹣2＜x＜0，∴t∈[﹣1，0），
则
∈（﹣∞，﹣1]．
函数g（x）＝a|f（x）|+1有6个零点，
即方程a|f（x）|+1＝0有6个根，
也就是|f（x）|＝有6个根，
即y＝|f（x）|与y＝﹣有6个不同交点，
如图：
要使函数g（x）＝a|f（x）|+1
有6个零点，
则1，即﹣1≤a＜．
则实数a的取值范围是：[﹣1，﹣）．
故答案为：[﹣1，﹣）．

18．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，则函数的所有零点之和为　　．
【分析】求出x＜0时，函数f（x）的解析式，画出R上的图象，构造f（x）与y＝交点问题，利用对称性求解，注意确定交点坐标求解．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，
∴x＜0时，f（x）＝画出图象：
∵函数F（x）＝f（x）﹣，
∴f（x）与y＝交点的横坐标，
根据图象可设交点的横坐标从左到右为x1，x2，x3，x4，x5，

根据图象的对性可知；x1+x2＝﹣6，x4+x5＝6，
∴x1+x2＝x3＝x4＝x5＝x3，
∵＝，x＝，
故函数F（x）＝f（x）﹣的所有零点之和为：．
故答案为：．
19．偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则f（）＝　　，则若在区间[﹣1，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是　（0，]　．
【分析】根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），
∴f（x）＝f（x+2），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（）＝f（﹣2）＝f（﹣）＝f（）＝，
若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，
则f（﹣x）＝﹣x＝f（x），
即f（x）＝x，﹣1≤x≤0，
由g（x）＝f（x）﹣kx﹣k＝0得f（x）＝k（x+1），
要使函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣k有4个零点
等价为函数f（x）与g（x）＝k（x+1）有四个不同的交点，
作出两个函数的图象如图：
g（x）过定点A（﹣1，0），f（3）＝1，
则k满足0＜g（3）≤1，
即0＜4k≤1，得0＜k≤，
即实数k的取值范围是（0，]，
故答案为：，（0，]

20．已知函数，x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是 　（0，]∪[]　．
【分析】把已知函数解析式化简变形，由函数在区间（π，2π）内没有零点得到区间长度小于半个周期，然后由x的范围得到的范围，再转化为不等式组求解即可．
【解答】解：由f（x）＝2cos（sincos+cossin）
＝＝．
∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴2，可得0＜ω≤1．
当x∈（π，2π）时，∈（，2），
∴（k∈Z），或（k∈Z），
解得2k≤ω≤k+（k∈Z），或2k+≤ω≤k+（k∈Z），
又0＜ω＜1，∴0＜ω≤或．
∴ω的取值范围是（0，]∪[]．
故答案为：（0，]∪[]．
21．若函数在[﹣1，1]上有零点，则a2﹣3b的最小值为　﹣　．
【分析】由题意可得△≥0，f（﹣1）≤0或f（1）≤0，化a2﹣3b为a的式子，由二次函数的最值求法，可得最小值．
【解答】解：函数在[﹣1，1]上有零点，
可得△≥0，即（a+）2≥4b，
且f（﹣1）f（1）≤0，即（﹣a+b）（+a+b）≤0；
或f（﹣1）≥0，f（1）≥0，﹣1＜﹣＜1，
即a﹣b≤，a+b≥﹣，﹣7＜a＜5．
即有a2﹣3b≥a2﹣＝[（a﹣1）2﹣]≥×（﹣）＝﹣，
当且仅当a＝1时，取得最小值﹣，
故答案为：﹣．
22．函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣tx恰有两个零点，则实数t的取值范围是　t＝0或＜t＜1　．
【分析】由题意，方程f（x）＝tx恰有两个不同实数根，等价于y＝f（x）与y＝tx有2个交点，又t表示直线y＝tx的斜率，求出t的取值范围．
【解答】解：∵方程f（x）＝tx恰有两个不同实数根，
∴y＝f（x）与y＝tx有2个交点，
又∵t表示直线y＝tx的斜率，
当t＜0时，y＝tx与y＝f（x）只有一个交点；
当t＝0时，y＝tx与y＝f（x）有两个交点；
x＞1时，y′＝（lnx）′＝，
设切点为（x0，y0），t＝，且lnx0＝tx0，
而切线过原点，∴y0＝1，x0＝e，t＝，
可得0＜t＜时，y＝tx与y＝f（x）有三个交点；
可得t＝时，y＝tx与y＝f（x）有两个交点；
可得＜t＜1时，y＝tx与y＝f（x）有两个交点；
当t≥1时，y＝tx与y＝f（x）有一个交点．
综上可得t＝0或＜t＜1时，y＝tx与y＝f（x）有两个交点，
故答案为：t＝0或＜t＜1．

23．若函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在上（1，e）有零点，则实数a的取值范围为　（﹣e2，1）　．
【分析】判断函数的单调性，结合零点判断定理，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在（1，e）上是增函数，
所以函数f（x）＝2lnx+x2+a﹣2在（1，e）上有零点，
可得（1+a﹣2）（2+e2+a﹣2）＜0，
解得：﹣e2＜a＜1，
则实数a的取值范围为：（﹣e2，1）．
故答案为：（﹣e2，1）．
24．已知函数f（x）＝x|2x﹣a|﹣1．
①当a＝0时，不等式f（x）+1＞0的解集为　（0，+∞）　；
②若函数f（x）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　（2，+∞）　．
【分析】①把a＝0代入函数解析式，可得不等式，对x分类求解得答案；
②转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合，通过函数的导数求解即可．
【解答】解：①当a＝0时，不等式f（x）+1＞0⇔x|2x|﹣1+1＞0，
即2x|x|＞0，
若x＜0，得﹣2x2＞0，不合题意；
若x＝0，得0＞0，不合题意；
若x＞0，得2x2＞0，则x＞0．
综上，当a＝0时，不等式f（x）+1＞0的解集为（0，+∞）；
②若函数f（x）有三个不同的零点，即方程x|2x﹣a|﹣1＝0有3个不同根．
即|2x﹣a|＝有三个解，
令y＝|2x﹣a|，则y＝，画出两个函数的图象，如图：
x＜，y＝，由y′＝﹣＝﹣2，解得x＝，x＝﹣（舍去），
此时切点坐标（），代入y＝a﹣2x，可得a＝2×+＝2，
函数f（x）＝x|2x﹣a|﹣1有三个零点，
则实数a的取值范围为（2，+∞）．
故答案为：（0，+∞）；（2，+∞）．

25．已知函数f（x）＝lnx﹣m的零点位于区间（1，e）内，则实数m的取值范围是　（0，1）　．
【分析】根据函数单调性以及函数零点判定定理即可的m所满足不等式，解得即可．
【解答】解：由题意，函数f（x）＝lnx﹣m在定义域上单调递增，
又因为函数零点位于区间（1，e）内，
所以f（1）＝﹣m＜0，f（e）＝1﹣m＞0，解得0＜m＜1，
故m∈（0，1）．
故答案为：（0，1）．
26．已知f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则
﹣的取值范围是　　．
【分析】画出函数的图象，求出x≥0时f（x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果．
【解答】解：函数f（x）＝，图象如图，
函数g（x）＝f（x）﹣t有三个不同的零点x1，x2，x3，
且x1＜x2＜x3，即方程f（x）＝t有三个不同的实数根
x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
当x＞0时，f（x）＝，因为x+≥2（x＞0），
所以f（x），当且仅当x＝1时取得最大值．
当y＝时，x1＝﹣2；x2＝x3＝1，
此时﹣＝，
由＝t（0），可得＝0，∴x2+x3＝，x2x3＝1
∴+＝＞2，
∴﹣＝t+
∵0，∴﹣的取值范围是．
故答案为．

27．设f（x）＝x2﹣3x+a，若函数f（x）在区间（1，3）内有零点，则实数a的取值范围为　（0，]　．
【分析】函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a＝﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立即可，转化出求函数的值域问题即可获得问题的解答．
【解答】解：函数f（x）在区间（1，3）内有零点，即a＝﹣x2+3x在x∈（1，3）上成立，
∵a＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，x∈（1，3）
∴a∈（0，]．
故答案为：（0，]．
28．已知e为自然数，则函数f（x）＝ex+lnx﹣e的零点为 　1　．
【分析】根据题意，解f（x）＝ex+lnx﹣e＝0可得x的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+lnx﹣e，
若f（x）＝ex+lnx﹣e＝0，解可得x＝1，
即函数的零点为1，
故答案为：1．
29．若函数f（x）＝2x2﹣﹣2在区间（m﹣1，m）（m∈N）内存在零点，则m＝　2　．
【分析】判断函数在x＜0时，没有零点，在x＞0时是单调增函数，然后利用零点判断定理转化求解m即可．
【解答】解：当x＜0时，函数f（x）＝2x2﹣﹣2＝2x2+﹣2≥3﹣2＝＞0，
所以函数f（x）＝2x2﹣﹣2在x＜0时，没有零点，
当x＞0时，y＝2x2﹣2是增函数，y＝﹣是增函数，所以函数f（x）＝2x2﹣﹣2是单调增函数，
f（1）＝﹣3＜0，f（2）＝8﹣﹣2＞0，所以f（1）f（2）＜0，
函数的零点在（1，2）之间，
所以m＝2．
故答案为：2．
30．若函数f（x）＝x2+x+1﹣aex有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为　0＜a＜1或a＞．　
【分析】先令函数等于零，分离参数，利用导数研究函数的单调性，画出图形，进而得出结论．
【解答】解：令f（x）＝x2+x+1﹣aex＝0，
则a＝，
令g（x）＝，
则g′（x）＝，
令g′（x）＝0，
则x＝0，x＝1，
当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
且g（0）＝1，g（1）＝，g（x）＞0，
大致图象如图：
可知0＜a＜1或a＞．
故答案为：0＜a＜1或a＞．

31．若函数f（x）＝ax2+2（a﹣1）x﹣2lnx﹣1只有一个零点，则实数a的取值范围是　（﹣∞，0]∪{1}　．
【分析】法一：求导后，分a≤0，0＜a＜1，a＝1及a＞1讨论，判断函数在定义域上的单调性及极值情况，综合即可得解；法二：当a＞0时，直接根据函数f（x）的单调性令f（x）的最小值等于零，结合换元，求出a的值即可，避免了进一步的分类讨论．
【解答】解：，
法一：①当a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
又x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→﹣∞，故此时函数f（x）必存在一个零点，符合题意；
②当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，解得，此时函数f（x）在单调递减，在单调递增，
又，则此时函数f（x）有两个零点，不合题意；
当a＝1时，，函数f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
且f（1）＝0，故此时函数f（x）仅有一个零点1，符合题意；
③当a＞1时，令f′（x）＝0，解得，此时函数f（x）在单调递减，在单调递增，
又，故此时函数f（x）无零点，不合题意．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．
法二：①同法一；
②当a＞0时，令f′（x）＝0，解得，此时函数f（x）在单调递减，在单调递增，则，令，设g（t）＝1﹣t﹣2lnt，显然g（t）单调递减，g（1）＝0，故，即a＝1；
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪{1}．
故答案为：（﹣∞，0]∪{1}．
三．解答题（共7小题）
32．已知a是实数，函数f（x）＝2ax2+2x﹣3，如果函数y＝f（x）在区间（﹣1，1）有零点，求a的取值范围．
【分析】通过讨论a的范围，结合二次函数以及一次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝2x﹣3，
令f（x）＝0得x＝∉（﹣1，1），不符合题意，故a≠0．
②当a＞0时，由于f（0）＝﹣3＜0，
∴y＝f（x）在（﹣1，1）上可有两个不同零点或一个零点，依题意需满足或；
即或；
解之得．
③当a＜0时，f（x）在（﹣1，1）有零点需满足或；
无解，故a＜0时，不符合题意
由（1）（2）（3）可知f（x）在（﹣1，1）上有零点，
a的取值范围是（，+∞）．
33．已知函数f（x）＝x﹣3lnx．
（Ⅰ）证明：f（x）有两个零点；
（Ⅱ）已知α＞β＞1，若∃x0∈R，使得＝f′（x0），试比较与x0的大小．
【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域和导数，研究函数的单调性和极值，结合函数零点存在定理进行判断即可．
（Ⅱ）求出函数的导数，判断函数f′（x）的单调性，利用函数的单调性进行判断即可．
【解答】解：（1）据题知函数的应用为（0，+∞），求导得：f′（x）＝1﹣＝
令f′（x）＞0，有x＞3；令f′（x）＜0，得0＜x＜3，所以f（x）在（0，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（3）＝3﹣3ln3＜0
令x＝1，有f（1）＝1＞0；令x＝e2，有f（e2）＝e2﹣6＞0
故f（x）在（1，3）和（3，e2）各有1个零点．
∴f（x）有两个零点．
（2）由f′（x0）＝＝1+，而f′（）＝1﹣，
∴f′（x0）﹣f′（）＝+＝[ln+]，
令t＝，则h（t）＝lnt+，（t＞1），
则h′（t）＝+＝＞0，
∴函数h（t）在（1，+∞）上单调递增，故h（t）＞h（1）＝0．
∴f′（x0）﹣f′（）＝[ln+]＜0，
又∵f′（x）＝1﹣在（1，+∞）上是增函数，
∴x0＜．
34．已知f（x）＝（a∈R）的图象关于坐标原点对称．
（1）求a的值，并求出函数F（x）＝f（x）+2x﹣﹣1的零点；
（2）若函数h（x）＝f（x）+2x﹣在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围；
（3）设g（x）＝log4，已知f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在x∈[，]上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．
【分析】（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，由f（0）＝0，得a＝1，即可得出F（x），令F（x）＝0解得即可．
（2）由题设知h（x）＝0在[0，1]内有解，即方程（2x）2+2x+1﹣1﹣b＝0在[0，1]内有解．分离参数，利用指数函数和二次函数的单调性即可得出．
（3）由f﹣1（x）≤g（x），，通过化简、换元、利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）＝0，得a＝1，
∴，
由（2x）2+2x﹣6＝0，得2x＝2，
∴x＝1，
即F（x）的零点为x＝1．
（2），
由题设知h（x）＝0在[0，1]内有解，即方程（2x）2+2x+1﹣1﹣b＝0在[0，1]内有解．
∴b＝（2x）2+2x+1﹣1＝（2x+1）2﹣2在[0，1]内单调递增，
∴2≤b≤7，
故当2≤b≤7时，在[0，1]内存在零点．
（3）由f﹣1（x）≤g（x），，
显然．
，
∴，，
∴．
故满足条件的最小整数k的值是8．
35．已知函数f（x）＝3x，g（x）＝|x+a|﹣3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）＝f[g（x）]的图象关于直线x＝2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y＝g[f（x）]的零点个数，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）函数h（x）＝f[g（x）]＝3|x+a|﹣3 的图象关于直线x＝2对称，则h（4﹣x）＝h（x）⇒|x+a|＝|4﹣x+a|恒成立⇒a＝﹣2；
（Ⅱ）函数y＝g[f（x）]＝|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）＝|3x+a|与y＝3的交点，
分①当0≤a＜3时；②当a≥3时；③﹣3≤a＜0时；④当a＜﹣3时，画出图象判断个数．
【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）＝f[g（x）]＝3|x+a|﹣3 的图象关于直线x＝2对称，则h（4﹣x）＝h（x）⇒|x+a|＝|4﹣x+a|恒成立⇒a＝﹣2；
（Ⅱ）函数y＝g[f（x）]＝|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）＝|3x+a|与y＝3的交点，
①当0≤a＜3时，G（x）＝|3x+a|＝3x+a与y＝3的交点只有一个，即函数y＝g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；
②当a≥3时，G（x）＝|3x+a|＝3x+a与y＝3没有交点，即函数y＝g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；
③﹣3≤a＜0时，G（x）＝|3x+a|与y＝3的交点只有1个（如图2）；
④当a＜﹣3时，G（x）＝|3x+a|与y＝3的交点有2个（如图2）；


36．已知函数f（x）＝2（m+1）x2+4mx+2m﹣1
（1）当m取何值时，函数的图象与x轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m的值．
【分析】（1）将函数的零点转化为方程的根，二次型方程有两个根，令其判别式大于等于0且二次项系数不为0，列出不等式求出m的范围．
（2）先判断二次项系数为0时不合题意，再讨论原点的两侧各有一个，令判别式大于0，两根的积小于0，列出不等式解出m的范围，讨论都在原点的右侧，令判别式大于0，两根的和大于0积也大于0列出不等式求出m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）的图象与x轴有两个零点，即方程2（m+1）x2+4mx+2m﹣1＝0有两个不相等的实根，
∴得m＜1且m≠﹣1
∴当m＜1且m≠﹣1时，函数f（x）的图象与x轴有两个零点．
（2）m＝﹣1时，则f（x）＝﹣4x﹣3
从而由﹣4x﹣3＝0得
∴函数的零点不在原点的右侧，
故m≠﹣1
当m≠﹣1时，有3种情况：
①原点的两侧各有一个，则
解得
②都在原点的右侧，则解得m∈∅
③个零点在原点右侧，一个零点就是原点，此时必有2m﹣1＝0，即m＝，
此时方程的另一个零点为﹣，不合题意，
综①②③可得．
37．已知函数f（x）＝ex﹣ax2．
（1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；
（2）若f（x）在（0，+∞）有两个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）把a＝1代入函数解析式，求出f′（x）＝ex﹣2x．令g（x）＝ex﹣2x，利用导数可得g（x）＞0，得到f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得f（x）≥f（0）＝1；
（2）f（x）在（0，+∞）有两个零点⇔方程ex﹣ax2＝0在（0，+∞）有两个根，即在（0，+∞）有两个根，也就是函数y＝a与G（x）＝ 的图象在（0，+∞）有两个交点．利用导数求得G（x）最小值为G（2）＝，结合当x→0 时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→+∞，可得f（x）在（0，+∞）有两个零点时，a的取值范围是（）．
【解答】（1）证明：当a＝1时，函数f（x）＝ex﹣x2，则f′（x）＝ex﹣2x．
令g（x）＝ex﹣2x，则g′（x）＝ex﹣2，令g′（x）＝0，得x＝ln2．
当x∈（0，ln2）时，g′（x）＜0，当x∈（ln2，+∞）时，g′（x）＞0，
∴g（x）≥g（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2﹣2ln2＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）≥f（0）＝1；
（2）解：f（x）在（0，+∞）有两个零点⇔方程ex﹣ax2＝0在（0，+∞）有两个根，
⇔在（0，+∞）有两个根，
即函数y＝a与G（x）＝ 的图象在（0，+∞）有两个交点．
G′（x）＝，
当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，G（x）在（0，2）递减，
当x∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）在（2，+∞）递增，
∴G（x）最小值为G（2）＝，
当x→0 时，G（x）→+∞，当x→+∞时，G（x）→+∞，
∴f（x）在（0，+∞）有两个零点时，a的取值范围是（）．
38．已知函数f（x）＝x2+2ax+2．
（1）若函数f（x）有两个不相等的正零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）在x∈[﹣5，5]上的最小值为﹣3，求a的值．
【分析】（1）利用二次函数的性质，列出不等式组求解即可．
（2）利用二次函数的闭区间上的最值，列出不等式组，求解即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x2+2ax+2．恒过（0，2），函数f（x）有两个不相等的正零点，
可得，即，所以a＜﹣．
（2）函数f（x）＝x2+2ax+2，的对称轴为：x＝﹣a，﹣a＜﹣5时，f（﹣5）是函数的最小值：27﹣10a；
﹣a∈[﹣5，5]时，f（﹣a）是最小值：2﹣a2；当﹣a＞5时，f（5）是函数的最小值：27+10a，
因为在x∈[﹣5，5]上的最小值为﹣3，
，
当a＞5时，27﹣10a＝﹣3，解得a＝3舍去；
当a＜﹣5时，27+10a＝﹣3，解得a＝﹣3舍去．
当时有解，．
所求a为：．