2021届一轮复习 必修一 函数的周期性及其判断 打地基练习
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这是一份2021届一轮复习 必修一 函数的周期性及其判断 打地基练习,共24页。试卷主要包含了已知函数f,函数y=x2+2,已知函数,若f,函数f,下列函数中,是奇函数且在,设函数f,已知函数g等内容,欢迎下载使用。
2021届一轮复习 必修一 函数的周期性及其判断 打地基练习
一.选择题(共10小题)
1.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意两个不相等的实数a,b都有(a﹣b)[f(a)﹣f(b)]>0,则不等式f(3x﹣1)>f(x+5)的解集为( )
A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,2) C.(3,+∞) D.(2,+∞)
2.函数y=x2+2(m﹣1)x+3在区间(﹣∞,﹣2]上是减函数,则m的取值范围是( )
A.m≤3 B.m≥3 C.m≤﹣3 D.m≥﹣3
3.已知函数,若f(2a2﹣5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,)∪(2,+∞) B.[2,6)
C. D.(0,6)
4.函数f(x)=x+sinx,a=f(ln),b=f(lg3),c=f(),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c
5.下列函数中,是奇函数且在(0,1]上单调递减的函数是( )
A.y=﹣x2+2x B.y=x+ C.y=2x﹣2﹣x D.y=1﹣
6.设函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且∀x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2)有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则( )
A.f(﹣2)<f(﹣3)<f(1) B.f(﹣3)<f(﹣2)<f(1)
C.f(﹣1)<f(﹣2)<f(3) D.f(﹣1)<f(3)<f(﹣2)
7.已知函数g(x)=ex﹣e﹣x,f(x)=xg(x),若,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
8.已知函数f(x)=是R上的减函数,则a的范围是( )
A.(﹣∞,0) B.[﹣4,+∞) C.(﹣∞,﹣4) D.[﹣4,0)
9.设函数f(x)=,a=f(0.7﹣0.5),b=f(log0.77),c=f(log0.75),则a,b,c的大小关系是( )
A.b>c>a B.a>c>b C.c>a>b D.a>b>c
10.若函数y=﹣|x﹣a|与在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,0) B.(﹣1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
二.填空题(共16小题)
11.已知函数f(x)为R上偶函数,且f(x)在[0,+∞)上的单调递增,记m=f(﹣1),n=f(3),则m与n的大小关系是 .
12.若偶函数f(x)在(﹣∞,0]内单调递减,则不等式f(﹣1)<f(lgx)的解集是 .
13.已知定义在R上的增函数y=f(x)满足f(x)+f(4﹣x)=0,若实数a、b满足不等式f(a)+f(b)≥0,则a2+b2的最小值是 .
14.已知函数,若有f(a)+f(a﹣2)>4,则a的取值范围是 .
15.f(x)=|﹣x2+2|x|+3|的减区间为 .
16.已知函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣4|在区间(﹣∞,﹣2)和(2,+∞)上均单调递增,则实数a的取值范围是 .
17.如果函数f(x)=x2﹣2ax+2在区间(3,+∞)上是增函数,则a的取值范围为 .
18.已知函数f(x)=,若f(a)>f(2﹣a),则a的取值范围是 .
19.已知函数(a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .
20.已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x﹣2)≥0的x的取值范围是 .(用区间表示)
21.若f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为 .
22.函数f(x)=(2﹣a)x+b是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .
23.已知函数f(x)=e|x|+x2﹣e,则满足不等式f(m﹣2)≤1的m取值范围是 .
24.若函数f(x)=x2﹣ax在区间[1,2]上是增函数,在区间[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围是 .
25.若函数在区间(0,+∞)是严格增函数,则实数a的取值范围是 .
26.已知函数f(x)=e|x﹣t|+|x﹣t|在区间(3,+∞)上单调递增,则实数t的取值范围是 .
三.解答题(共8小题)
27.若函数f(x)的定义域为D,集合M⊆D,若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D,且f(x+t)>f(x),则称f(x)为M上的t﹣增长函数.
(1)已知函数g(x)=x,函数h(x)=x2,判断g(x)和h(x)是否为区间[﹣1,0]上的﹣增长函数,并说明理由;
(2)已知函数f(x)=|x|,且f(x)是区间[﹣4,﹣2]上的n﹣增长函数,求正整数n的最小值;
(3)请在以下两个问题中任选一个作答:(如果两问都做,按①得分计入总分)
①如果对任意正有理数q,f(x)都是R上的q﹣增长函数,判断f(x)是否一定为R上的单调递增函数,并说明理由;
②如果f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2,且f(x)为R上的4﹣增长函数,求实数a的取值范围.
28.已知函数.
(Ⅰ)用定义证明f(x)在(0,1)内单调递减;
(Ⅱ)证明f(x)存在两个不同的零点x1,x2,且x1+x2>2.
29.设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:
(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2
(Ⅱ)<f(x)≤.
30.设.
(1)求函数的定义域;
(2)判断f(x)的单调性,并根据函数单调性的定义证明;
(3)解关于x的不等式.
31.已知函数f(x)=.
(1)证明函数f(x)在(﹣2,+∞)上单调递减;
(2)当x∈(﹣2,2)时,有f(﹣2m+3)>f(m2),求m的范围.
32.已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数m的值
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明
(3)当x∈(n,a﹣2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.
33.已知函数f(x)=的定义域为(﹣1,1),
(1)证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(2)解不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.
34.若函数f(x)=loga|ax2+x|在[﹣3,﹣2]上是减函数,求a的取值范围.
2021届一轮复习 必修一 函数的周期性及其判断 打地基练习
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意两个不相等的实数a,b都有(a﹣b)[f(a)﹣f(b)]>0,则不等式f(3x﹣1)>f(x+5)的解集为( )
A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,2) C.(3,+∞) D.(2,+∞)
【分析】根据题意可得出f(x)在R上是增函数,从而由原不等式可得出3x﹣1>x+5,然后解出x的范围即可.
【解答】解:不妨设a>b,∵(a﹣b)[f(a)﹣f(b)]>0,∴f(a)>f(b),
∴f(x)是R上的增函数,
原不等式等价于3x﹣1>x+5,解得x>3,
∴原不等式的解集为(3,+∞).
故选:C.
2.函数y=x2+2(m﹣1)x+3在区间(﹣∞,﹣2]上是减函数,则m的取值范围是( )
A.m≤3 B.m≥3 C.m≤﹣3 D.m≥﹣3
【分析】先求出对称轴方程,利用开口向上的二次函数在对称轴左边递减,比较区间端点和对称轴的关系可得结论.
【解答】解:因为函数y=x2+2(m﹣1)x+3开口向上,对称轴为x=﹣=1﹣m;
又因为区间(﹣∞,﹣2]上是减函数
所以应有1﹣m≥﹣2⇒m≤3.
故选:A.
3.已知函数,若f(2a2﹣5a+4)<f(a2+a+4),则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,)∪(2,+∞) B.[2,6)
C. D.(0,6)
【分析】结合 已知函数解析式,判断函数的定义域及单调性,利用单调性即可求解不等式.
【解答】解:由题意可知,函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,
∵f(2a2﹣5a+4)<f(a2+a+4),
则2≤2a2﹣5a+4<a2+a+4,
即a2﹣6a<0且2a2﹣5a+2≥0,
解可得,2≤a<6或0.
故选:C.
4.函数f(x)=x+sinx,a=f(ln),b=f(lg3),c=f(),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c
【分析】求出函数的导数,得函数为增函数,再根据对数的性质得>lg3>ln即可求解.
【解答】解:∵f(x)=x+sinx,∴f′(x)=1﹣cosx≥0,∴f(x)在R为增函数,
∵lg1<lg3<lg10,∴0<lg3<1,
又∵ln<ln1=0,
∴>lg3>ln,
∴c>b>a.
故选:A.
5.下列函数中,是奇函数且在(0,1]上单调递减的函数是( )
A.y=﹣x2+2x B.y=x+ C.y=2x﹣2﹣x D.y=1﹣
【分析】根据奇函数图象的对称性,奇函数的定义,奇函数定义域的特点,以及增函数的定义,函数导数符号和函数单调性的关系便可判断每个选项的正误,从而找出正确选项.
【解答】解:A.y=﹣x2+2x的图象不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误;
B.的定义域为{x|x≠0},且;
∴该函数为奇函数;
,x∈(0,1]时,y′≤0;
∴该函数在(0,1]上单调递减,∴该选项正确;
C.y=2x﹣2﹣x,x增大时,﹣x减小,2﹣x减小,﹣2﹣x增大,且2x增大,∴y增大;
∴该函数在(0,1]上单调递增,∴该选项错误;
D.y=1﹣的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,不是奇函数,∴该选项错误.
故选:B.
6.设函数f(x)满足f(﹣x)=f(x),且∀x1,x2∈(0,+∞)(x1≠x2)有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则( )
A.f(﹣2)<f(﹣3)<f(1) B.f(﹣3)<f(﹣2)<f(1)
C.f(﹣1)<f(﹣2)<f(3) D.f(﹣1)<f(3)<f(﹣2)
【分析】由已知得到函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且函数又是偶函数即可判断.
【解答】解:∵对∀x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(﹣2)=f(2),
∴f(1)<f(2)<f(3),
即f(1)<f(﹣2)<f(3),
故选:C.
7.已知函数g(x)=ex﹣e﹣x,f(x)=xg(x),若,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
【分析】易得函数f(x)为偶函数,再结合函数g(x)的单调性并利用导数判断函数f(x)的单调性,由此即可得解.
【解答】解:依题意,有g(﹣x)=﹣g(x),则g(x)=ex﹣e﹣x为奇函数,且在R上单调递增,所以f(x)为偶函数,
当x>0时,有g(x)>g(0)且g′(x)>0,所以f′(x)=g(x)+xg′(x)>g(0)=0,即f(x)在(0,+∞)上递增,
所以,
故选:C.
8.已知函数f(x)=是R上的减函数,则a的范围是( )
A.(﹣∞,0) B.[﹣4,+∞) C.(﹣∞,﹣4) D.[﹣4,0)
【分析】根据题意,由函数的单调性的定义可得,解之即可得答案.
【解答】解:因为函数f(x)=是R上的减函数,
所以,解得﹣4≤a<0,即a的取值范围为[﹣4,0).
故选:D.
9.设函数f(x)=,a=f(0.7﹣0.5),b=f(log0.77),c=f(log0.75),则a,b,c的大小关系是( )
A.b>c>a B.a>c>b C.c>a>b D.a>b>c
【分析】根据函数f(x)的解析式即可看出,x≥0时,f(x)>0;x<0时,f(x)<0,并且f(x)在(﹣∞,0)上是增函数,这样即可得出a,b,c的大小关系.
【解答】解:根据f(x)的解析式可看出:x≥0时,f(x)>0;x<0时,f(x)<0,且f(x)在(﹣∞,0)上是增函数,
又log0.77<log0.75<0,且0.7﹣0.5>0,
∴,
∴a>c>b.
故选:B.
10.若函数y=﹣|x﹣a|与在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为( )
A.(﹣∞,0) B.(﹣1,0)∪(0,1]
C.(0,1) D.(0,1]
【分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求.
【解答】解:因为y=﹣|x﹣a|与在区间[1,2]上都是严格减函数,
所以,
故0<a≤1.
故选:D.
二.填空题(共16小题)
11.已知函数f(x)为R上偶函数,且f(x)在[0,+∞)上的单调递增,记m=f(﹣1),n=f(3),则m与n的大小关系是 m<n .
【分析】由偶函数的性质得f(﹣1)=f(1),再根据函数的单调性判断出m和n的大小关系.
【解答】解:∵函数f(x)是偶函数,∴m=f(﹣1)=f(1),
又∵函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增函数,
∴f(1)<f(3),
则m<n,
故答案为:m<n.
12.若偶函数f(x)在(﹣∞,0]内单调递减,则不等式f(﹣1)<f(lgx)的解集是 (0,)∪(10,+∞) .
【分析】由于偶函数f(x)在(﹣∞,0]内单调递减故f(x)在(0,+∞)内单调递增,利用函数的性质可得等价于|lgx|>|﹣1|,从而解得x的范围.
【解答】解:∵偶函数f(x)在(﹣∞,0]内单调递减∴f(x)在(0,+∞)内单调递增,则不等式f(﹣1)<f(lgx)等价于|lgx|>|﹣1|
∴lgx>1或lgx<﹣1
∴x>10或0<x<
∴不等式f(﹣1)<f(lgx)的解集是
故答案为:
13.已知定义在R上的增函数y=f(x)满足f(x)+f(4﹣x)=0,若实数a、b满足不等式f(a)+f(b)≥0,则a2+b2的最小值是 8 .
【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化,结合线性规划的知识进行求解即可.
【解答】解:∵f(x)=﹣f(4﹣x),∴﹣f(x)=f(4﹣x),
∴f(a)+f(b)≥0可化为f(a)≥﹣f(b)=f(4﹣b),
又∵f(x)在R上单调递增,∴a≥4﹣b,即a+b﹣4≥0,
a2+b2表示点(0,0)到点(a,b)的距离平方,
∴a2+b2的最小值是点(0,0)到直线a+b﹣4>0的距离平方.
故答案为:8
14.已知函数,若有f(a)+f(a﹣2)>4,则a的取值范围是 (1,+∞) .
【分析】令函数,分析函数的单调性和奇偶性,可得f(a)+f(a﹣2)>4,即a>2﹣a.解得答案.
【解答】解:令函数,满足g(﹣x)=﹣g(x),为奇函数,
故f(a)+f(a﹣2)>4,可化为:g(a)+g(a﹣2)>0,
即g(a)>﹣g(a﹣2)=g(2﹣a),
又由=1﹣为增函数,
故a>2﹣a.
解得:a∈(1,+∞)
故答案为:(1,+∞)
15.f(x)=|﹣x2+2|x|+3|的减区间为 (﹣∞,﹣3]、[﹣1,0]、[1,3] .
【分析】根据题意,将函数的解析式写成分段函数的形式,据此作出函数的图象,分析可得答案.
【解答】解:f(x)=|﹣x2+2|x|+3|=||x|2﹣2|x|+3|=,
其图象如图:
则其减区间为(﹣∞,﹣3]、[﹣1,0]、[1,3];
故答案为:(﹣∞,﹣3]、[﹣1,0]、[1,3].
16.已知函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣4|在区间(﹣∞,﹣2)和(2,+∞)上均单调递增,则实数a的取值范围是 (0,8] .
【分析】令函数g(x)=x2﹣ax﹣4,根据二次函数的性质,求出a的范围即可.
【解答】解:令函数g(x)=x2﹣ax﹣4,由于g(x)的判别式△=a2+16>0,故函数g(x)一定有两个零点,
设为 x1 和x2,且 x1<x2.
∵函数f(x)=x2﹣|x2﹣ax﹣4|=,
故当x∈(﹣∞,x1)、(x2,+∞)时,
函数f(x)的图象是位于同一条直线上的两条射线,
当x∈(x1,x2 )时,函数f(x)的图象是抛物线y=2x2﹣ax﹣4下凹的一部分,且各段连在一起.
由于f(x)在区间(﹣∞,﹣2)和(2,+∞)上单调递增,
∴a>0且函数g(x)较小的零点x1=>﹣2,
即a+4>,
平方得a2+8a+16>a2+16,得a>0,
同时由y=2x2﹣ax﹣4的对称轴为 x=﹣=,
若且﹣2≤≤2,可得﹣8≤a≤8.
综上可得,0<a≤8,
故实a的取值范围为(0,8],
故答案为:(0,8].
17.如果函数f(x)=x2﹣2ax+2在区间(3,+∞)上是增函数,则a的取值范围为 (﹣∞,3] .
【分析】根据题意,由二次函数的性质分析f(x)的单调递增区间,结合题意可得答案.
【解答】解:根据题意,函数f(x)=x2﹣2ax+2=(x﹣a)2+2﹣a2,是对称轴为x=a,开口向上的二次函数,
在区间(a,+∞)上为增函数,
若f(x)在区间(3,+∞)上是增函数,必有a≤3,即a的取值范围为(﹣∞,3],
故答案为:(﹣∞,3].
18.已知函数f(x)=,若f(a)>f(2﹣a),则a的取值范围是 a>1 .
【分析】函数f(x)=在R上单调递增,利用f(a)>f(2﹣a),可得a>2﹣a,即可求出a的取值范围.
【解答】解:函数f(x)=在R上单调递增,
∵f(a)>f(2﹣a),
∴a>2﹣a,
∴a>1,
故答案为a>1
19.已知函数(a>0且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 [,]∪{} .
【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围.
【解答】解:由y=ax﹣a在[0,+∞)上单调递减,则0<a<1,
函数f(x)在R上单调递减,则:解得≤a≤,
由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解,
故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解,
当3a>2,即a>时,联立|x2+(4a﹣3)x+3a|=2﹣x,
则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0,
解得a=或1(舍去),
当1﹣a≤3a≤2,即≤a≤时,由图象可知,符合条件,
综上:a的取值范围为[,]∪{}.
故答案为:[,]∪{}.
20.已知函数f(x)=x|x|,则满足f(x)+f(3x﹣2)≥0的x的取值范围是 .(用区间表示)
【分析】根据f(x)的解析式可看出,f(x)是奇函数,在R上单调递增,从而得出f(x)≥f(2﹣3x),进而得出x≥2﹣3x,从而解出x的范围即可.
【解答】解:f(﹣x)=﹣f(x),且,则f(x)在R上单调递增,
∴由f(x)+f(3x﹣2)≥0得,f(x)≥f(2﹣3x),
∴x≥2﹣3x,解得,
∴x的取值范围是:.
故答案为:.
21.若f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围为 [,+∞) .
【分析】若f(x)=是R上的单调函数,根据第二段函数为减函数,故第一段也应该为减函数,且x=1时,第二段的函数值不小于第一段的函数值,进而构造关于a的不等式组,解不等式组可得实数a的取值范围.
【解答】解:∵f(x)=是R上的单调函数,
∴,
解得:a≥,
故实数a的取值范围为[,+∞),
故答案为:[,+∞)
22.函数f(x)=(2﹣a)x+b是R上的增函数,则实数a的取值范围为 (﹣∞,2) .
【分析】根据题意,由一次函数的性质可得2﹣a>0,解可得a的取值范围,即可得答案.
【解答】解:根据题意,函数f(x)=(2﹣a)x+b是R上的增函数,
必有2﹣a>0,解可得a<2,
即a的取值范围为:(﹣∞,2),
故答案为:(﹣∞,2).
23.已知函数f(x)=e|x|+x2﹣e,则满足不等式f(m﹣2)≤1的m取值范围是 [1,3] .
【分析】函数f(x)为偶函数,由导数可知函数在(0,+∞)单调递增,进而转化不等式,求解得到答案.
【解答】解:由题意可知,函数f(x)为定义在R上的偶函数,且当x>0时,f(x)=ex+x2﹣e,则f′(x)=ex+2x>0,
故函数f(x)在(0,+∞)单调递增,
∴不等式f(m﹣2)≤1等价为|m﹣2|≤1,解得1≤m≤3.
故答案为:[1,3].
24.若函数f(x)=x2﹣ax在区间[1,2]上是增函数,在区间[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围是 a<1 .
【分析】利用函数的图象和性质,得出a的范围.
【解答】解:f(x)=x2﹣ax在区间[1,2]上是增函数,故≤1,a≤2,
在区间[1,2]上是减函数,对称中心在(a,0),a<1,
所以a<1,
故答案为:a<1.
25.若函数在区间(0,+∞)是严格增函数,则实数a的取值范围是 (0,+∞) .
【分析】根据函数的单调性的定义证明即可.
【解答】解:设x1>x2>0,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
若函数在区间(0,+∞)是严格增函数,
则f(x1)﹣f(x2)=>0,
∵x1+1>0,x2+1>0,x1﹣x2>0,
∴a>0,
故答案为:(0,+∞).
26.已知函数f(x)=e|x﹣t|+|x﹣t|在区间(3,+∞)上单调递增,则实数t的取值范围是 (﹣∞,3] .
【分析】由题意函数可化为f(x)=,可知函数f(x)在[t,+∞)上单调递增,在(﹣∞,t)上单调递减,结合条件可得(3,+∞)⊆[t,+∞),进而求得t的范围.
【解答】解:由题意可得f(x)=,
由解析式可知函数f(x)在[t,+∞)上单调递增,在(﹣∞,t)上单调递减,
而函数f(x)=e|x﹣t|+|x﹣t|在区间(3,+∞)上单调递增,
所以有 (3,+∞)⊆[t,+∞),
即t≤3,
故答案为:(﹣∞,3].
三.解答题(共8小题)
27.若函数f(x)的定义域为D,集合M⊆D,若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D,且f(x+t)>f(x),则称f(x)为M上的t﹣增长函数.
(1)已知函数g(x)=x,函数h(x)=x2,判断g(x)和h(x)是否为区间[﹣1,0]上的﹣增长函数,并说明理由;
(2)已知函数f(x)=|x|,且f(x)是区间[﹣4,﹣2]上的n﹣增长函数,求正整数n的最小值;
(3)请在以下两个问题中任选一个作答:(如果两问都做,按①得分计入总分)
①如果对任意正有理数q,f(x)都是R上的q﹣增长函数,判断f(x)是否一定为R上的单调递增函数,并说明理由;
②如果f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2,且f(x)为R上的4﹣增长函数,求实数a的取值范围.
【分析】(1)依据t﹣增长函数的定义进行验证即可;
(2)将增长函数问题转换为关于n的不等式在给定区间恒成立问题进行解决即可;
(3)①构造出一个函数进行反证即可;
②作出f(x)的图象,然后依据特殊区间进行求解.
【解答】解:(1)g(x)=x是:因为∀x∈[﹣1,0],g(x+)﹣g(x)=(x+)﹣x=>0;
h(x)=x2不是,反例:当x=﹣1时,h(﹣1+)=h()=<h(﹣1)=1.
(2)由题意得,|x+n|>|x|对于x∈[﹣4,﹣2]恒成立,
等价于x2+2nx+n2>x2,即2nx+n2>0对x∈[﹣4,﹣2]恒成立,
因为n>0,所以2nx+n2是关于x的一次函数且单调递增,于是只需﹣8n+n2>0,
解得n>8,所以满足题意的最小正整数n为9.
(3)①不是
构造,则对任意的正有理数q,
若x∈Q,则x+q∈Q,因此f(x+q)=x+q>x=f(x);
若x∈∁RQ,则x+q∈∁RQ,因此f(x+q)=x+q﹣1>x﹣1=f(x).
因此f(x)是R上的q﹣增函数,但f(x)不是增函数.
②根据题意,当x≥0时,f(x)=|x﹣a2|﹣a2,
则当x≥a2时,f(x)=x﹣2a2,当0≤x≤a2时,f(x)=﹣x,由奇函数的对称性可知:
当x≤﹣a2时,f(x)=x+2a2,当﹣a2≤x≤0时,f(x)=﹣x,
则可得函数图象如图:
易知图象与x轴交点为M(﹣2a2,0),N(2a2,0),
因此函数f(x)在[﹣a2,a2]上是减函数,其余区间上是增函数,
f(x)是R上的4﹣增长函数,则对任意的x,都有f(x+4)>f(x),
易知当﹣2a2≤x≤0时,f(x)≥0,
为保证f(x+4)>f(x),必有f(x+4)>0,即x+4>2a2,
故﹣2a2≤x≤0且x+4>2a2,
所以4>4a2,
解得﹣1<a<1,
故答案为a∈(﹣1,1).
28.已知函数.
(Ⅰ)用定义证明f(x)在(0,1)内单调递减;
(Ⅱ)证明f(x)存在两个不同的零点x1,x2,且x1+x2>2.
【分析】(Ⅰ)利用函数单调性的定义进行证明即可.
(Ⅱ)判断当x>1时为增函数,利用函数与方程的关系,结合零点存在定理判断两个零点的范围进行判断即可.
【解答】解:(Ⅰ)设0<x1<x2<1,
则f(x1)﹣f(x2)=﹣x1+﹣2﹣+x2﹣+2=﹣+x2﹣x1+﹣=(x1+x2)(x1﹣x2)+(x2﹣x1)+
=(x2﹣x1)[1+﹣(x1+x2)]
∵0<x1<x2<1,
∴x2﹣x1>0,0<x1x2<1,0<x1+x2<2,>1,
则1+﹣(x1+x2)>0,
即f(x1)﹣f(x2)>0,得f(x1)>f(x2),即f(x)在(0,1)内单调递减.
(Ⅱ)证明:同理可知当x>1时,f(x)在(1,+∞)上为增函数,
f(1)=1﹣1+1﹣2=﹣1<0,
f()=﹣+2﹣2=﹣,f()=﹣+﹣2=﹣,
f(2)=4﹣2+2=,
必有一个根x1∈(,1),另外一个根x2∈(,2),
则x1+x2>=2.
29.设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:
(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2
(Ⅱ)<f(x)≤.
【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;
(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,
结合(Ⅰ)的函数得出f(x)>,即证结论成立.
【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],
且1﹣x+x2﹣x3==,
所以≤,
所以1﹣x+x2﹣x3≤,
即f(x)≥1﹣x+x2;
(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,
所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;
由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2,
设g(x)=1﹣x+x2,x∈[0,1],
则g(x)min=,g(x)max=1,
由f(x)≥g(x),
得f(x)≥g(x)max>g(x)min=,
所以f(x)>;
综上,<f(x)≤.
30.设.
(1)求函数的定义域;
(2)判断f(x)的单调性,并根据函数单调性的定义证明;
(3)解关于x的不等式.
【分析】(1)根据对数函数的性质求出函数的定义域即可;
(2)根据函数的单调性的定义证明即可;
(3)根据函数的单调性得到关于x的不等式组,解出即可.
【解答】解:(1)由题意得:
,解得:﹣2<x<2,
故函数的定义域是(﹣2,2);
(2)令﹣2<x1<x2<2,
则f(x1)﹣f(x2)
=+lg﹣﹣lg
=+lg,
由﹣2<x1<x2<2,
得x2﹣x1>0,x1+2>0,x2+2>0,
而4+2(x2﹣x1)﹣x1x2﹣4+2(x2﹣x1)+x1x2>0,
故>1,
故lg>0,
故f(x1)﹣f(x2)>0,
故f(x)是减函数;
(3),
即f(x(3﹣x))>﹣lg3=f(1),
由f(x)在(﹣2,2)递减,
则,
解得:﹣1<x<1或2<x<4,
故不等式的解集是(﹣1,1)∪(2,4).
31.已知函数f(x)=.
(1)证明函数f(x)在(﹣2,+∞)上单调递减;
(2)当x∈(﹣2,2)时,有f(﹣2m+3)>f(m2),求m的范围.
【分析】(1)根据题意,由作差法分析,设﹣2<x1<x2,求出f(x1)﹣f(x2)的表达式,分析其符号,由函数单调性的定义分析可得结论,
(2)根据题意,由函数的定义域和单调性分析可得,解可得m的取值范围,即可得答案.
【解答】解:(1)证明:根据题意,f(x)===3+,
设﹣2<x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=(3+)﹣(3+)=﹣=,
又由﹣2<x1<x2,则x1+2>0,x2+2>0,x2﹣x1>0,
则f(x1)﹣f(x2)>0,
则f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调递减;
(2)根据题意,f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调递减,
当x∈(﹣2,2)时,有f(﹣2m+3)>f(m2),则有,
解可得:1<m<,即m的范围是(1,).
32.已知函数f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数.
(1)求实数m的值
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明
(3)当x∈(n,a﹣2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值.
【分析】(1)由函数f(x)是奇函数,得对定义域任意x,恒有f(﹣x)+f(x)=0,由此能求出实数m的值.
(2)得=,当a>1时,f(x)在(1,+∞)上递减,当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上递增,利用定义法能进行证明.
(3)由题意知f(x)是定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞)的奇函数.当(n,a﹣2)⊆(﹣∞,﹣1),即0<a<1时,f(x)在(n,a﹣2)上为增函数;当(n,a﹣2)⊆(1,+∞),即1≤n≤a﹣2,有a>3,在(n,a﹣2)上f(x)为减函数.再由值域为(1,+∞),能求出实数a与n的值.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=loga(a>0,a≠1)是奇函数,
∴对定义域任意x,恒有f(﹣x)+f(x)=0,即=0,
解得m=﹣1或m=1(舍去),
∴实数m的值为﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分)
(2)由(1)得=,
当a>1时,f(x)在(1,+∞)上递减,当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上递增.
现证明如下:
设t==1+,
∀x1>x2>1,
t1﹣t2==<0,
∴t1<t2,
当a>1时,logat1<logat2,即f(x1)<f(x2),即f(x)在(1,+∞)上单调递减;
当0<a<1时,logat1>logat2,即f(x1)>f(x2),即f(x)在(1,+∞)上单调递增.﹣﹣﹣﹣(8分)
(3)由题意知f(x)是定义域为(﹣∞,1)∪(1,+∞)的奇函数.
①当(n,a﹣2)⊆(﹣∞,﹣1),即a﹣2≤﹣1,即0<a<1时,
由(2)知f(x)在(n,a﹣2)上为增函数,
由值域为(1,+∞),得,无解.
②当(n,a﹣2)⊆(1,+∞),即1≤n≤a﹣2,有a>3,
由(2)知在(n,a﹣2)上f(x)为减函数,
由值域为(1,+∞),得,解得a=2+,n=1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
33.已知函数f(x)=的定义域为(﹣1,1),
(1)证明f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(2)解不等式f(2x﹣1)+f(x)<0.
【分析】(1)根据增函数的定义,设任意的x1,x2∈(﹣1,1),并且x1<x2,然后作差,通分,提取公因式,证明f(x1)<f(x2),从而得出f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(2)容易判断f(x)为奇函数,从而由f(2x﹣1)+f(x)<0便可得到f(2x﹣1)<f(﹣x),根据f(x)在(﹣1,1)上是增函数,便可得到,解该不等式组便可得出原不等式的解集.
【解答】解:(1)证明:设﹣1<x1<x2<1,则:
=;
∵﹣1<x1<x2<1;
∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0,;
∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2);
∴f(x)在(﹣1,1)上是增函数;
(2)f(x)显然为奇函数;
∴由f(2x﹣1)+f(x)<0得,f(2x﹣1)<﹣f(x);
∴f(2x﹣1)<f(﹣x);
由(1)知f(x)在(﹣1,1)上是增函数,则:
;
解得;
∴原不等式的解集为.
34.若函数f(x)=loga|ax2+x|在[﹣3,﹣2]上是减函数,求a的取值范围.
【分析】令t=|ax2+x|,y=logat,分当>﹣2时和当<﹣3时两种情况,结合复合函数单调性“同增异减”的原则,可得答案.
【解答】解:由已知可得:a>0且a≠1,
令t=|ax2+x|,y=logat,
当>﹣2,即a>时,t=|ax2+x|在[﹣3,﹣2]上是减函数,
若函数f(x)=loga|ax2+x|在[﹣3,﹣2]上是减函数,
则y=logat为增函数,即a>1,
∴a>1,
当<﹣3,即0<a时,t=|ax2+x|在[﹣3,﹣2]上是增函数,
若函数f(x)=loga|ax2+x|在[﹣3,﹣2]上是减函数,
则y=logat为减函数,即0<a<1,
∴0<a,
综上可得0<a,或a>1,
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