初中数学第二章 轴对称3 简单的轴对称图形当堂达标检测题

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1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10B．7C．5D．4
2．如图，在△ABC中，I是三角形角平分线的交点，O是三边垂直平分线的交点，连接AI，BI，AO，BO，若∠AOB＝140°，则∠AIB的大小为（ ）
A．160°B．140°C．130°D．125°
3．如图，在第一个△ABA1中∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，得到第二个△A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，则以点A4为顶点的等腰三角形的底角的度数为（ ）
A．175°B．170°C．10°D．5°
4．如图钢架中，∠A＝α°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则下列各数中哪个可能是α的值？（ ）
A．25B．20C．30D．15
5．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A8B8A9的边长（ ）
A．16B．64C．128D．256
6．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（ ）
A．5B．8C．9D．10
二．填空题（共3小题，满分12分）
7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝3cm，则BF＝ cm．
8．如图，△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，BC＝13cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 cm．
9．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 ．
三．解答题（共12小题，满分84分）
10．在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长．
11．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
12．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．
13．如图①，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．试回答：
（1）图中等腰三角形是 ．猜想：EF与BE、CF之间的关系是 ．理由：
（2）如图②，若AB≠AC，图中等腰三角形是 ．在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？
（3）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．
14．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD．
（1）求证：DB＝DE；
（2）过点D作DF垂直BE，垂足为F，若CF＝3，求△ABC的周长．
15．如图，△ABC中∠A＝∠ABC，DE垂直平分BC交BC于点D，交AC于点E
（1）若AB＝5，BC＝8，求△ABE的周长；
（2）若BE＝BA，求∠C的度数．
16．如图，在ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC，垂足为P，EP交AB于点F，FD∥AC交BC于点D．求证：△AEF是等腰三角形．
17．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形．求∠C的度数．
18．如图，在△AOB中，点C在OA上，点E，D在OB上，且CD∥AB，CE∥AD，AB＝AD，试证明△CDE是等腰三角形．
19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线．
（1）如图1，若AD＝BD，求∠A的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，作DE⊥AB于E，连接EC．求证：△EBC是等边三角形．
20．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
21．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．
（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．
（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，
故选：C．
2．解：连接CO，
∵∠AOB＝140°，
∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣140°＝40°，
∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC＝180°﹣40°＝140°，
∵O是三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OC，OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCA+∠OCB＝70°，
∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣70°＝110°，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA＝（∠CAB+∠CBA）＝55°，
∴∠AIB＝180°﹣55°＝125°，
故选：D．
3．解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝80°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1＝＝＝40°；A
同理可得∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，
∴∠An＝，
以点A4为顶点的底角为∠A5．
∵∠A5＝＝5°，
故选：D．
4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，
∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，
∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，
∵要使得这样的钢条只能焊上4根，
∴∠P5P4B＝5α°，
由题意，
∴18≤α＜22.5．
故选：B．
5．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A8B8＝27B1A2＝27．
故选：C．
6．解：∵△ABC周长为16，
∴AB+BC+AC＝16，
∵AC＝6，
∴AB+BC＝10，
∵EF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∵AB＝AE，AD⊥BC，
∴BD＝DE，
∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，
∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，
故选：A．
二．填空题（共3小题，满分12分）
7．解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB•DE＝AB•DE＝3AB，
∵S△ABC＝AC•BF，
∴AC•BF＝3AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝3，
∴BF＝6．
故答案为6．
8．解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，如图，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
∵S△PAB+S△PBC+S△PAC＝S△ABC，
∴•AB•PE+•BC•PD+•PF•AC＝•AB•AC，
即×5×PE+×13×PD+×12×PF＝×5×12，
∴（5+12+13）PD＝60，解得PD＝2（cm）．
故答案为2．
9．解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是边长为3的等边三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．
三．解答题（共12小题，满分84分）
10．解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∵AB＝5，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝2.5．
11．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
12．证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB＝90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝90°，∠ECD+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠DBC，
∵在△CBD和△ACE中
∴△CBD≌△ACE（SAS），
∴CD＝AE，∠AEC＝∠BDC＝90°，
∵D为边AC的中点，∠AEC＝90°，
∴AD＝DE，
∴AD＝AE＝DE，
即△ADE是等边三角形，
13．解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；
EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC．理由如下：
∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB；
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO；
即EO＝EB，FO＝FC；
∴EF＝EO+OF＝BE+CF．
（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．（证明过程同（1））
（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下：
同（1）可证得△EOB是等腰三角形；
∵EO∥BC，
∴∠FOC＝∠OCG；
∵OC平分∠ACG，
∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG，
∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形；
∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC．
14．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一），
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
（2）∵DF⊥BE，由（1）知，DB＝DE，
∴DF垂直平分BE，
∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠CDF＝30°，
∵CF＝3，
∴DC＝6，
∵AD＝CD，
∴AC＝12，
∴△ABC的周长＝3AC＝36．
15．解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+CE＝AB+AC，
∵AB＝5，BC＝8，
∴△ABE的周长＝5+8＝13，
（2）∵BE＝BA，
∴∠A＝∠AEB，
∵BE＝CE，
∴∠EBC＝∠C，
∴∠A＝∠AEB＝∠EBC+∠C＝2∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C＝5∠C＝180°，
解得：∠C＝36°．
16．证明：∵FD∥AC
∴∠PFD＝∠E，∠FDB＝∠C，
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠E+∠C＝90°，
∠B+∠BFP＝90°，
∴∠E＝∠BFP，
∵∠BFP＝∠AFE，
∴∠E＝∠AFE，
∴AE＝AF即△AEF是等腰三角形．
17．解：∵△BDE是正三角形，
∴∠DBE＝60°；
∵在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，
∴∠C＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC，则∠EBC＝∠ABC﹣60°＝∠C﹣60°，∠BEC＝90°；
∴∠EBC+∠C＝90°，即∠C﹣60°+∠C＝90°，
解得∠C＝75°．
18．证明：∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠B．
又∵CE∥AD，
∴∠CED＝∠ADB．
又∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB．
∴∠CDE＝∠CED．
∴△CDE是等腰三角形．
19．（1）解：∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵∠DBA＝∠DBC，
∴∠A＝∠DBA＝∠DBC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠DBA+∠DBC＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）证明：∵AD＝BD，DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴CE＝BE，
∵∠A＝30°，
∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形．
20．解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP＝CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，
∴证得△PFD≌△QCD，
∴DF＝CD＝CF，
又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，
∴CD＝CF＝；
（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB＝PF，
BE＝EF，
∴PF＝CQ，
∴FD＝DC，
∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，
∴ED为定值，
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PMC，
∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD＝DM，
∵BE＝EM，CD＝DM，
∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，
综上所述，线段ED的长度保持不变．
21．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，
∴AB＝BE，AD＝DE，
∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，
∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，
∴AB+BE＝18﹣6＝12，
∴AB＝6；
（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
在△BAD和△BED中，
，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠BED＝∠BAC＝105°，
∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．