专题02 函数周期性问题-高中数学必备考试技能（原卷版）学案

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2021版】结论二:函数周期性问题结 论已知定义在R上的函数f(x),若对任意x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.解读这个结论通过周期函数的定义得到，用代换等式中的构造出来的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论.典 例已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当，时，，则=（    ）A．1 B．2 C．3 D．4解 析 反  思本题考查了的函数性质，通过函数的奇偶性和周期性求函数的值。在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．针对训练*举一反三1．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）A． B． C． D．2．定义在R偶函数满足，对，，都有，则有（    ）A． B．C． D．3．设是上的奇函数且满足，当时，，则（    ）A． B． C． D．4．已知定义在R上的函数是奇函数，且是偶函数，若当时，，则的值是（    ）A． B． C．2 D．35．定义在上的偶函数满足当时, ,则(   )A． B．C． D．6．已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（    ）A． B．C． D．