专题15 抛物线中的三类直线与圆相切问题-高中数学必备考试技能（解析版）学案

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2021版】结论十五：抛物线中的三类直线与圆相切问题结 论AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=-的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且EF2=A1A·BB1.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.解读圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。典 例在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段 的垂直平分线交于点，设的轨迹为. （1）求曲线的方程；（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切. 当圆的面积最小时，求与面积的比. 解   析（1）由题意得， ∴  点到直线的距离等于它到定点的距离 ∴  点的轨迹是以为准线、为焦点的抛物线 ∴ 点的轨迹的方程为．(2）由题意知切线的斜率必然存在，设为，则，由 得即由得∴  令则  ∴  令则，∴  点到切线的距离（当且仅当时取等号）∴  当点的坐标为时，满足题意的圆的面积最小，此时   ∴    即与的面积比为．反思本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，一般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联立方程，得到根与系数的关系，而直线与圆经常利用圆的几何性质，得到一些常量，这些不变的量和圆锥曲线建立联系，从而进一步求解.针对训练*举一反三1．已知抛物线的准线为l，记l与y轴交于点M，过点M作直线与C相切，切点为N，则以MN为直径的圆的方程为（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】，设切线，联立，故，，解得，故，则或故以MN为直径的圆的方程为或，故选：C.2．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（    ）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣4 D．不能确定【答案】B【解析】设，，由，可得，所以，， 因为过点 作直线与抛物线分别切于点，且以为直径的圆过点，所以，可得，直线的方程为： ①， 同理直线的方程为：，②，①②，可得，即.故选：B．3．已知抛物线C：x2=8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为_____.【答案】-2【解析】设切点 抛物线：因此：直线MA：，直线MB：联立两直线方程得到：即为M点故：又以AB为直径的圆过点M，故即故，故答案为：－２4．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点（不与重合），若以线段为直径的圆恰好经过，则的最小值是__________．【答案】【解析】根据抛物线的对称性设，则，所以直线的方程为，由，取，，所以直线的方程是，联立，解得点的横坐标，所以点在抛物线的准线上运动，当点的坐标是时，最小，最小值是2.5．在平面直角坐标系中，已知两点，若点的坐标满足，且点的轨迹与抛物线交于两点.()求证:()在轴上是否存在一点,使得过点任作一条抛物线的弦,并以该弦为直径的圆过原点.若存在,求出的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.【答案】⑴详见解析；⑵.【解析】（1）由，可知点的轨迹是，两点所在的直线，所以点的轨迹方程为，即 ，由 化简得，设的轨迹与抛物线的交点坐标为，，所以，， ，因为 所以，（2）假设存在这样的点，并设是过抛物线的弦，其方程为，代入得，此时，，计算两直线的斜率之积，所以，所以（定值），故存在这样的点满足题意，设的中点为 ，则， ，消去得．