专题08 等比数列-高中数学必备考试技能（解析版）学案

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2021版】结论八：等比数列    结   论已知等比数列{an},公比为q,前n项和为Sn.(1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);反之,不一定成立.(3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*).(4)公比q≠-1时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列(n∈N*).(5)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.(6){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).xk-*/w(7)通项公式an=a1qn-1=·qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.解 读对于等比数列中的这些结论要做到熟悉，有的需要记忆，有的需要了解推导过程。当用到这些结论时要会根据等差数列前n项和公式、通项公式推导。例如第（1）中的典例等比数列的前项和为，则_______. 解 析【答案】【详解】等比数列的前项和为，则也成等比数列，而所以成等比数列，故，所以.反 思本题根据等比数列的前项和的性质可知也成等比数列，再利用即求得，即得结果. 本题的解题关键在于熟知等比数列的“等距片段和”也成等比数列，进而突破难点.针对训练*举一反三1．在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ）A．1 B．9 C． D．【答案】B【详解】因为为各项为正的等比数列，，，所以2．设是等比数列的前项和，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得为等比数列，又，，3．设等比数列的前项和为，且，则（    ）A．255 B．375 C．250 D．200【答案】A【解析】由题得，成等比数列，则有，，解得，同理有，，解得.故选：A4．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】依题意得等比数列{an}的通项，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，因为，所以，所以数列的前n项和为.5．已知数列是等比数列，为其前项和，若，则（    ）A．50 B．60 C．70 D．80【答案】B【详解】数列是等比数列，，，，也成等比数列，即，，，也成等比数列，易知公比，，，.6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，则S2 020＝（    ）A．22 019－ B．1－2 019C．22 020－ D．1－2 020【答案】A【详解】设{an}的公比为q，，，解得，，可得，.7．设等比数列的前项和为，公比，则_____________.【答案】36【详解】设，因为公比，故，同理.又，故，解得，故.8．已知等比数列的各项均为正数，若，则＝（  ）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】D【解析】由 ，可得，进而可得 ， .