苏教版选修22.3双曲线教案

这是一份苏教版选修22.3双曲线教案，共14页。


1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
(1)当2a＜F1F2时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a＞F1F2时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性 质
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

[小题体验]
1．双曲线x2－5y2＝10的焦距为________．
解析：∵双曲线的标准方程为－＝1，∴a2＝10，b2＝2，∴c2＝a2＋b2＝12，c＝2，故焦距为4.
答案：4
2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为________．
解析：双曲线2x2－y2＝8的标准方程为－＝1，实轴长为2a＝4.
答案：4
3．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于________．
解析：∵右焦点为(3,0)，∴c＝3.∴a2＝c2－b2＝9－5＝4，∴a＝2，∴e＝＝.
答案：

1．双曲线的定义中易忽视2a＜F1F2这一条件．若2a＝F1F2，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a＞F1F2，则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，)；
若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e∈(，＋∞)．
3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
[小题纠偏]
1．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若PF1＝9，则PF2等于________．
解析：由题意知PF1＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有PF2－PF1＝2a＝8，故PF2＝PF1＋8＝17.
答案：17
2．若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________．
解析：由题意得双曲线的离心率e＝.
即e2＝＝1＋.
因为a＞1，所以0＜＜1，
所以1＜1＋＜2，所以1＜e＜.
答案：(1，)
3．离心率为，且经过(－，2)的双曲线的标准方程为________．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为－＝1.
则有解得
所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
当双曲线焦点在y轴上时，设方程为－＝1.
则有解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：x2－＝1或－＝1

　
[题组练透]
1．若方程＋＝1(k∈R)表示双曲线，则k的取值范围是________．
解析：依题意可知(k－3)(k＋3)＜0，解得－3＜k＜3.
答案：(－3,3)
2．已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为________．
解析：因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
3．若以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．
解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则有
解得a2＝2，b2＝1.
因此该双曲线的标准方程是－y2＝1.
答案：－y2＝1
4．(2019·苏锡常镇调研)已知双曲线Γ过点(2，)，且与双曲线－y2＝1有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为________．
解析：依题意，设所求双曲线的标准方程为－y2＝λ，将点(2，)的坐标代入，得1－3＝λ，∴λ＝－2，∴所求双曲线的方程为－y2＝－2，其标准方程为－＝1.
答案：－＝1
[谨记通法]
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
　
[典例引领]
1．设F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且AF1＝3AF2，则双曲线的离心率为________．
解析：因为∠F1AF2＝90°，
故AF＋AF＝F1F＝4c2，
又AF1＝3AF2，且AF1－AF2＝2a，
故10a2＝4c2，故＝，
故e＝＝.
答案：
2．(2018·海门中学检测)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若PF1＝PF2，则△F1PF2的面积为________．
解析：由双曲线的定义可得PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，
解得PF2＝6，故PF1＝8，
又F1F2＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，
因此S△PF1F2＝PF1·PF2＝24.
答案：24
[由题悟法]
应用双曲线的定义需注意的问题
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
[即时应用]
1．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝ab，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题设条件得PF1＋PF2＝3b，由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a，两个式子平方相减得PF1·PF2＝，则＝ab，整理得(3b－4a)·(3b＋a)＝0，即＝，所以e＝ ＝.
答案：
2．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则BF2＋AF2的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，
由双曲线的定义可得AF2－AF1＝4，BF2－BF1＝4，
所以AF2－AF1＋BF2－BF1＝8.
因为AF1＋BF1＝AB，
当AB是双曲线的通径时，AB最小，
所以(AF2＋BF2)min＝ABmin＋8＝＋8＝10.
答案：10
　
[锁定考向]
双曲线的几何性质是高考命题的热点．
常见的命题角度有：
(1)求双曲线的离心率或范围；
(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)双曲线性质的应用．　　　 　
[题点全练]
角度一：求双曲线的离心率或范围
1．(2018·海安高三质量测试)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知＝，即b2＝3a2，所以c2＝a2＋b2＝4a2，所以e＝＝2.
答案：2
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线y＝x，即bx－ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝.又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝.
答案：
角度二：求双曲线的渐近线方程
3．(2019·徐州调研)若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为________．
解析：∵双曲线C的离心率为，∴e＝＝，则c2＝10a2＝a2＋b2，得b2＝9a2，即b＝3a，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±3x.
答案：y＝±3x
角度三：双曲线性质的应用
4．已知点F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为________．
解析：在双曲线中，P为右支上一点，则PF1＝PF2＋2a，则＝＝PF2＋＋4a≥2＋4a＝8a(当且仅当PF2＝2a时取等号)，因为已知min＝9a，故PF2≠2a，在双曲线右支上点P满足(PF2)min＝c－a，则c－a＞2a，即c＞3a，故e＞3，又由≥9a，即≥9a可得e≤2或e≥5，综上可得，e≥5，故当取最小值9a时，e＝5.
答案：5
[通法在握]
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
[演练冲关]
1．(2019·通州模拟)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的四个顶点都在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，若双曲线的焦点在正方形的外部，则该双曲线的离心率的取值范围是________．
解析：由题意，可设正方形与双曲线的某个交点为A(m，m)，则双曲线－＝1，可得m2＝＜c2，即c2b2－c2a2＞a2b2，又c2＝b2＋a2，化简可得c4－3c2a2＋a4＞0，即e4－3e2＋1＞0，又e＞1，解得e＞，
故该双曲线的离心率的取值范围是.
答案：
2．(2018·无锡调研)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．
解析：因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8.
答案：8
3．(2018·盐城二模)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线y＝x与双曲线相交于A，B两点．若AF⊥BF，则双曲线的渐近线方程为________．
解析：由题意可知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)，
联立整理得(9b2－16a2)x2＝9a2b2，即x2＝，
∴A与B关于原点对称，
设A，B，
则＝，＝，
∵AF⊥BF，∴·＝0，
即(x－c)(－x－c)＋x×＝0，
整理得c2＝x2，
∴a2＋b2＝×，
即9b4－32a2b2－16a4＝0，
∴(b2－4a2)(9b2＋4a2)＝0，
∵a＞0，b＞0，∴9b2＋4a2≠0，∴b2－4a2＝0，故b＝2a，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x.
答案：y＝±2x
4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
答案：－2

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1．(2019·滨湖月考)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为12，则该双曲线的标准方程为________________．
解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，实轴长为12，
∴当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1，a＞0，b＞0，此时解得a＝6，b＝4，∴双曲线方程为－＝1.
当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1，a＞0，b＞0，此时解得a＝6，b＝9，∴双曲线方程为－＝1.
答案：－＝1或－＝1

2．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是________．
解析：依题意得m＜0，双曲线方程是x2－＝1，于是有 ＝2×1，m＝－.
答案：－
3．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为________．
解析：由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
4．(2018·苏州高三暑假测试)双曲线－y2＝1(m＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则m＝________.
解析：因为双曲线的右焦点为(，0)，抛物线的焦点为(2,0)，所以＝2，解得m＝3.
答案：3
5．(2019·常州一中检测)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－y2＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x－y＝0，则实数m的值为________．
解析：∵双曲线－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为x±my＝0，
已知其中一条渐近线方程为x－y＝0，∴m＝.
答案：
6．(2018·苏北四市摸底)已知双曲线x2－＝1(m＞0)的一条渐近线方程为x＋y＝0，则实数m＝________.
解析：双曲线x2－＝1(m＞0)的渐近线为y＝±mx，
又因为该双曲线的一条渐近线方程为x＋y＝0，所以m＝.
答案：
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1．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为________．
解析：由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，所以e＝.
答案：
2．(2018·常州期末) 双曲线－＝1的右焦点与左准线之间的距离是________．
解析：因为a2＝4，b2＝12，所以c2＝16，即右焦点为(4,0)，又左准线为x＝－＝－1，故右焦点到左准线的距离为5.
答案：5
3．(2018·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0)的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a＝________.
解析：由双曲线的方程可知其渐近线方程为y＝±x.因为一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，所以＝2，解得a＝1.
答案：1
4．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．
解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，
所以AB中点坐标为，
所以2－2＝2，即x1x2＝2，
所以S△AOB＝OA·OB＝|x1|·|x2|＝x1x2＝2.
答案：2
5．(2018·镇江期末)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意c－＝2a，即2－2·－1＝0，e2－2e－1＝0，解得e＝1±.
又因为双曲线的离心率大于1，故双曲线的离心率为1＋.
答案：1＋
6．(2019·连云港调研)渐近线方程为y＝±2x，一个焦点的坐标为(，0)的双曲线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
∴设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，∵一个焦点的坐标为(，0)，
∴()2＝λ＋4λ，解得λ＝2，∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
7．(2019·淮安模拟)已知双曲线－＝1的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为________．
解析：将圆x2＋y2－10x＝0化成标准方程，得(x－5)2＋y2＝25，
则圆x2＋y2－10x＝0的圆心为(5,0)．
∴双曲线－＝1的一个焦点为F(5,0)，又该双曲线的离心率等于，∴c＝5，且＝，∴a2＝5，b2＝c2－a2＝20，故该双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．
解析：由双曲线定义知PF1－PF2＝2a，
又已知PF1＝4PF2，所以PF1＝a，PF2＝a，
在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，
即求cos∠F1PF2的最小值，
因为cos∠F1PF2≥－1，所以cos∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为.
答案：
9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
因为双曲线过点(4，－)，
所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：设＝(－2－3，－m)，
＝(2－3，－m)．
所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
因为M点在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2－3＝0，
所以·＝0.
(3)因为△F1MF2的底边长F1F2＝4.
由(2)知m＝±.
所以△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.
10．(2018·启东中学检测)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1，F2，一条渐近线方程为2x＋y＝0，且焦点到这条渐近线的距离为1.
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．
解：(1)依题意得解得故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)证明：因为点M在双曲线上，所以－＝1.所以m2＝，
又双曲线－x2＝1的焦点为F1(0，－)，F2(0，)，
所以·＝·＝2－()2＋m2＝－5＋＝0，
所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．
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1．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为________．
解析：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x，y轴对称，
若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°，斜率为±，故＝.
∵c2＝a2＋b2，∴＝，即e2－1＝，解得e＝.
若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，斜率为±，故＝.同理可求得e＝2.
综上，e＝或2.
答案：或2
2．(2018·南通中学高三数学练习)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意得F(－c,0)，A，B，E(a，0)．因为△ABE是锐角三角形，所以·＞0，即·＝·＞0.整理，得3e2＋2e＞e4.所以e3－e－2e－2＝e(e＋1)(e－1)－2(e＋1)＝(e＋1)2(e－2)＜0，解得0＜e＜2.又e＞1，所以e∈(1,2)．
答案：(1,2)
3．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，求k的取值范围．
解：(1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，
故双曲线C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，
得
所以k2＜1且k2≠.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝.
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2
＝.
又因为·＞2，
即x1x2＋y1y2＞2，
所以＞2，
即＞0，
解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.