人教版新课标A选修4-5第四讲 数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式教案设计

这是一份人教版新课标A选修4-5第四讲 数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式教案设计，共7页。教案主要包含了课时安排，教学重点，教学难点，教学过程，数学归纳法证明不等式，板书设计，作业布置，教学反思等内容，欢迎下载使用。

2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
会用数学归纳法证明简单的不等式．
四、教学难点
会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．
五、教学过程
（一）导入新课
复习数学归纳法的基本思想。
（二）讲授新课
教材整理 用数学归纳法证明不等式
1．贝努利(Bernulli)不等式
如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n> .
2．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．
（三）重难点精讲
题型一、数学归纳法证明不等式
例1已知Sn＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋eq \f(n,2)(n≥2，n∈N＋).
【精彩点拨】 先求Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意Sn表示前n项的和(n>1)，首先验证n＝2；然后证明归纳递推．
【自主解答】 (1)当n＝2时，S22＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＝eq \f(25,12)>1＋eq \f(2,2)，
即n＝2时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即S2k＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k)>1＋eq \f(k,2).
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1)
>1＋eq \f(k,2)＋eq \f(2k,2k＋2k)＝1＋eq \f(k,2)＋eq \f(1,2)＝1＋eq \f(k＋1,2).
故当n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋eq \f(n,2)都成立．
规律总结：此题容易犯两个错误，一是由n＝k到n＝k＋1项数变化弄错，认为eq \f(1,2k)的后一项为eq \f(1,2k＋1)，实际上应为eq \f(1,2k＋1)；二是eq \f(1,2k＋1)＋eq \f(1,2k＋2)＋…＋eq \f(1,2k＋1)共有多少项之和，实际上 2k＋1到2k＋1是自然数递增，项数为2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.
[再练一题]
1．若在本例中，条件变为“设f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)(n∈N＋)，由f(1)＝1>eq \f(1,2)， f(3)>1，f(7)>eq \f(3,2)，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与eq \f(n,2)大小关系如何？试猜想并加以证明．
【解】 数列1,3,7,15，…，通项公式为an＝2n－1，数列eq \f(1,2)，1，eq \f(3,2)，2，…，通项公式为an＝eq \f(n,2)，
∴猜想：f(2n－1)>eq \f(n,2).
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，f(21－1)＝f(1)＝1>eq \f(1,2)，不等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，
即f(2k－1)>eq \f(k,2)，
当n＝k＋1时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1－2)＋eq \f(1,2k＋1－1)>f(2k－1)＋
∴当n＝k＋1时不等式也成立．
据①②知对任何n∈N＋原不等式均成立．
例2 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．
【精彩点拨】 eq \x(\a\al(验证n＝1，2，3时,不等式成立))⇒eq \x(\a\al(假设n＝k成立，,推证n＝k＋1))⇒eq \x(\a\al(n＝k＋1成立，,结论得证))
【自主解答】 (1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边；
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左>右；
当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左>右．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＋2＞k2(k∈N＋)．
当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2
＝2(2k＋2)－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)，
∵k≥3，∴(k＋1)(k－3)≥0，
∴(k＋1)2＋(k＋1)(k－3)≥(k＋1)2，
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.
故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．
规律总结：
1．本例中，针对目标k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小．因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．
2．利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用“放”与“缩”等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目结构，二是要靠经验积累．
[再练一题]
2．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2n－1)))＞eq \f(\r(2n＋1),2)均成立．
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)；右边＝eq \f(\r(5),2).
∵左边＞右边，∴不等式成立；
(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N＋)时不等式成立，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2k－1)))＞eq \f(\r(2k＋1),2).
则当n＝k＋1时，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,5)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2k－1)))
＞eq \f(\r(2k＋1),2)·eq \f(2k＋2,2k＋1)＝eq \f(2k＋2,2\r(2k＋1))＝eq \f(\r(4k2＋8k＋4),2\r(2k＋1))
＞eq \f(\r(4k2＋8k＋3),2\r(2k＋1))＝eq \f(\r(2k＋3)\r(2k＋1),2\r(2k＋1))＝.
∴当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立.
题型二、不等式中的探索、猜想、证明
例3 若不等式eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,3n＋1)>eq \f(a,24)对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论．
【精彩点拨】 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．
【自主解答】 当n＝1时，eq \f(1,1＋1)＋eq \f(1,1＋2)＋eq \f(1,3×1＋1)>eq \f(a,24)，则eq \f(26,24)>eq \f(a,24)，∴a<26.
又a∈N＋，∴取a＝25.
下面用数学归纳法证明eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n＋1)>eq \f(25,24).
(1)n＝1时，已证．
(2)假设当n＝k时(k≥1，k∈N＋)，eq \f(1,k＋1)＋eq \f(1,k＋2)＋…＋eq \f(1,3k＋1)>eq \f(25,24)，
∴当n＝k＋1时，
＋＋…＋eq \f(1,3k＋1)＋eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,3k＋1)))＋eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3k＋4)－\f(1,k＋1)))
>eq \f(25,24)＋，
∵eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋4)＝eq \f(6?k＋1?,9k2＋18k＋8)>，
∴eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋4)－>0，
∴＋＋…＋>eq \f(25,24)也成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，
都有eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,3n＋1)>eq \f(25,24)，
∴a的最大值为25.
规律总结：
1．不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明．
2．本题中从n＝k到n＝k＋1时，左边添加项是eq \f(1,3k＋2)＋eq \f(1,3k＋3)＋eq \f(1,3k＋4)－eq \f(1,k＋1).这一点必须清楚．
[再练一题]
3．设an＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)(n∈N＋)，是否存在n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论．
【解】 假设g(n)存在，那么当n＝2时，
由a1＝g(2)(a2－1)，
即1＝g(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－1))，∴g(2)＝2；
当n＝3时，由a1＋a2＝g(3)(a3－1)，
即1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＝g(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)－1))，
∴g(3)＝3，
当n＝4时，由a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，
即1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)))
＝g(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,4)－1))，
∴g(4)＝4，
由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．
下面用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N＋时，
等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝n(an－1)成立．
(1)当n＝2时，a1＝1，
g(2)(a2－1)＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)－1))＝1，
结论成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时结论成立，
即a1＋a2＋a3＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立，
那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak
＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k
＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1
＝(k＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ak＋\f(1,k＋1)－1))＝(k＋1)(ak＋1－1)，
说明当n＝k＋1时，结论也成立，
由(1)(2)可知 ，对一切大于1的正整数n，存在g(n)＝n使等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．
（四）归纳小结
归纳法证明不等式—eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(—\x(证明不等式),—\x(探索、猜想、证明问题),—\x(贝努利不等式)))
（五）随堂检测
1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )
A．已知⇒结论
B．结论⇒已知
C．直接证明比较困难
D．与正整数有关
【答案】 D
2．用数学归纳法证明不等式1＋eq \f(1,23)＋eq \f(1,33)＋…＋eq \f(1,n3)＜2－eq \f(1,n)(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋eq \f(1,23)＜2－eq \f(1,2) B．1＋eq \f(1,23)＋eq \f(1,33)＜2－eq \f(1,3)
C．1＋eq \f(1,23)＜2－eq \f(1,3) D.1＋eq \f(1,23)＋eq \f(1,33)＜2－eq \f(1,4)
【解析】 n0＝2时，首项为1，末项为eq \f(1,23).
【答案】 A
3．用数学归纳法证不等式1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,2n－1)＞eq \f(127,64)成立，起始值至少取( )
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】 左边等比数列求和Sn＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up10(n),1－\f(1,2))
＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up10(n)))＞eq \f(127,64)，
即1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up10(n)＞eq \f(127,128)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up10(n)＜eq \f(1,128)，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up10(n)＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up10(7)，
∴n＞7，∴n取8，选B.
【答案】 B
六、板书设计
七、作业布置
同步练习：4.2用数学归纳法证明不等式举例
八、教学反思
4.2用数学归纳法证明不等式举例
教材整理 用数学归纳法证明不等式
例1：
例2：
例3：
学生板演练习