2022年中考数学一轮复习第35讲《方程、函数思想型问题》课后练习

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1．若a＋b＝3，a－b＝7，则ab＝( )
A．－10 B．－40 C．10 D．40
2．如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1m，eq \r(3)≈1.73)( )
A．3.5m B．3.6m C．4.3m D．5.1m
第2题图
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( )

第3题图
A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞5
4．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝eq \f(1,2)DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连结AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是( )
第4题图
A．y＝－eq \f(12x,x－4) B．y＝－eq \f(2x,x－1) C．y＝－eq \f(3x,x－1) D．y＝－eq \f(8x,x－4)
5．(2016·宁夏)如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为(eq \r(3)，0)，(0，1)，把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为 .
第5题图
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE.
第6题图
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
第7题图
(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax2＋bx＋c>0的解集；
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB＝6m，AD＝4m，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为S平方米．
第8题图
(1)求S与x的函数关系式；
(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．
B组
9．(2017·绍兴)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2)．
(1)如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
(2)如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
第9题图

10．(2017·宁波模拟)如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，D点的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
第10题图

C组
11．为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D、E在斜边AB上，F、G分别在直角边BC、AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月(图中阴影部分)，两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设地砖．其中AB＝24eq \r(3)米，∠BAC＝60°.设EF＝x米，DE＝y米．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
(3)求两弯新月(图中阴影部分)的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的eq \f(1,3)？
第11题图
参考答案
课后练习35 方程、函数思想型问题
A组
1．A 2.D 3.D 4.A 5.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))
6．(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D； (2)设BC＝x，则AC＝x－2，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴(x－2)2＋x2＝42，∴x1＝1＋eq \r(7)，x2＝1－eq \r(7)(舍去)，∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋eq \r(7).
7．(1)x1＝1，x2＝3； (2)12； (4)k<2.
8．(1)∵四边形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝x.∵PQ∥AB，∴△PQD∽△BAD.∴eq \f(DQ,DA)＝eq \f(PQ,BA).∵AB＝6，AD＝4，∴DQ＝eq \f(2,3)x.∴AQ＝4－eq \f(2,3)x.∴S＝AQ·AM＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(2,3)x))x＝－eq \f(2,3)x2＋4x(0＜x＜6)． (2)∵S＝－eq \f(2,3)x2＋4x＝－eq \f(2,3)(x－3)2＋6，又－eq \f(2,3)＜0，∴S有最大值．∴当x＝3时，S的最大值为6.
B组
9．(1)∵y＝x·eq \f(50－x,2)＝－eq \f(1,2)(x－25)2＋eq \f(625,2)，∴当x＝25时，占地面积最大，即饲养室长x为25m时，占地面积y最大； (2)∵y＝x·eq \f(50－（x－2）,2)＝－eq \f(1,2)(x－26)2＋338，∴当x＝26时，占地面积最大，即饲养室长x为26m时，占地面积y最大；∵26－25＝1m≠2m，∴小敏的说法不正确．
10．(1)由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF.∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°.∵AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°.又∵AE＝AD，AF＝AD，∴AE＝AF，∴四边形AEGF是正方形． (2)设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x，∵BD＝2，DC＝3，∴BE＝2，CF＝3.∴BG＝x－2，CG＝x－3.在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2，∴(x－2)2＋(x－3)2＝52，化简得x2－5x－6＝0，解得x1＝6，x2＝－1(舍)．∴AD＝x＝6.
C组
11．(1)在Rt△ABC中，由题意得AC＝12eq \r(3)米，BC＝36米，∠ABC＝30°，所以AD＝eq \f(DG,tan 60°)＝eq \f(x,\r(3))＝eq \f(\r(3),3)x，BE＝eq \f(EF,tan 30°)＝eq \r(3)x，又AD＋DE＋BE＝AB，所以y＝24eq \r(3)－eq \f(\r(3),3)x－eq \r(3)x＝24eq \r(3)－eq \f(4,3)eq \r(3)x(0＜x＜18)． (2)矩形DEFG的面积S＝xy＝x(24eq \r(3)－eq \f(4,3)eq \r(3)x)＝－eq \f(4,3)eq \r(3)x2＋24eq \r(3)x＝－eq \f(4,3)eq \r(3)(x－9)2＋108eq \r(3).所以当x＝9时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为108eq \r(3)平方米． (3)记AC为直径的半圆、BC为直径的半圆、AB为直径的半圆面积分别为S1、S2、S3，两弯新月面积为S，则S1＝eq \f(1,8)πAC2，S2＝eq \f(1,8)πBC2，S3＝eq \f(1,8)πAB2，由AC2＋BC2＝AB2可知S1＋S2＝S3，∴S1＋S2－S＝S3－S△ABC，故S＝S△ABC，所以两弯新月的面积S＝eq \f(1,2)×12eq \r(3)×36＝216eq \r(3)(平方米)，由－eq \f(4,3)eq \r(3)(x－9)2＋108eq \r(3)＝eq \f(1,3)×216eq \r(3)，即(x－9)2＝27，解得x＝9±3eq \r(3)，符合题意，所以当x＝(9±3eq \r(3))米时，矩形DEFG的面积等于两弯新月面积的eq \f(1,3).