广西“韬智杯”2022届高三上学期9月大联考数学（文）试题 含答案

广西2022 届“韬智杯”高三大联考

文  科  数  学

本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．做选考题时，考生须按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

第 I 卷（选择题）

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．

1．已知集合 A＝x  N | 1  x  4 ，集合 B＝x | 2  x  3，则 A  B   

A．0，1，2                B．1，2

C．x | 1 x  3      D．x | 2  x  4

2．已知复数 z 满足 z (1  i)  2i ，则| z |

A．1               B．               C．             D．2

3．某班组织奥运知识竞赛，将参加竞赛的学生成绩整理得右边的频率分布

直方图，若低于 60 分的有 9 人，则该班参加竞赛的学生人数是

A．27

B．30

C．45

D．60

4．已知 a  log3， b  e0.1 ，c  e ln 0 .5，则三者大小关系为

A． a  c  b       B． c  a  b             C． c  b  a           D． a  b  c

5．已知等差数列an  的前 n 项和为 Sn ， a2  a9   13 ， S7   35 ，则 a8  

A．8             B．9           C．10                  D．11

6．已知 4 sin   3 cos  0, （ ，π），则 cos(  ) 

A．                B． 

C．              D．

7．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱的长度为

A．3              B．

C．                 D． 3

8．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1℃，空气温度为0℃，

则t 分钟后物体的温度（单位：℃）满足：  0   1   0  e-kt.若常数 k  0.05 ，空气温度为 30℃，

某物体的温度从 90℃下降到 50℃，大约需要的时间为（参考数据： ln 3  1.1 ） 

A．16 分钟     B．18 分钟     C．20 分钟     D．22 分钟

9．抛物线 y2   2 px  p  0 的焦点为 F ，准线为 l ，点 P 为抛物线上一点， PA  l ，垂足为 A ，若直

线 AF 的斜率为 ，  4 ，则抛物线方程为

A． y 2   4 x             B． y 2   4x

C． y2   8x             D． y 2   8 x

10．已知 0 ,函数 f ( x)  sin x 与 g ( x)  cosx 的图象交于不共线的 A，B，C 三点，若存在

ABC 是等腰直角三角形，则的最小值为

   A．           B．    C．    D．

11．已知点 P 是双曲线(a  0, b  0) 右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2

的内心，若成立，则双曲线的离心率为

A．3 B．2 C． D．

12．已知函数，若对任意的，都有，则实数 a 的取值范围是

A．           B．    C．    D．

第Ⅱ卷(非选择题)

二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.

13．已知单位向量 a , b 满足| a  2b |，则 a 与 b 的夹角为     ．

14．若变量 x ， y 满足约束条件，则目标函数 z  3x  y 的最大值为     .

15．已知三棱锥 S  ABC 中， SA  平面 ABC ，且 SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120 ，

则三棱锥 S  ABC 的外接球的表面积为           .

16．设数列 an 前 n 项和为 Sn ，若 a1  1， an，则 Sn =  ．

三、解答题：本题共 6 小题，第 17～20 题必考，每题 12 分；第 22、23 题为选考题，每题 10 分，考生从 这两题任选一题作答.

（一）必考题：共 60 分.

17．（本小题满分 12 分） 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了

3 月 11 日至 3 月 15 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

（1）从 3 月 11 日至 3 月 15 日中任选 2 天，记这两天发芽的种子数分别为 a , b , 求事件 A：

的概率；

（2）研究发现种子的发芽数与昼夜温差近似成线性关系，请你求出 y 关于 x 的线性回归方程.

附：回归方程 yˆ  bˆx  aˆ 中，， aˆ  y  bˆx ，

18．（本小题满分 12 分）

在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， a cos C  c cos A  2b sin B  0 .

（1）求 B ；

（2）若 B 为锐角， A ， BC 边上的中线长 AD ，求 ABC 的面积.

19．（本小题满分 12 分）

如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，侧面 PCD 是等边三角形且与底面 ABCD 垂直，

PD  AB  4 , E、F 分别为 AB、PC 的点，且 PF PC, AE  AB .

（1）证明：直线 EF // 平面 PAD ；

（2）若 BAD  60 ，求三棱锥 B  EFC 的体积.

第 19 题图

20．（本小题满分 12 分）

已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F1，且椭圆 C 经过点P

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）设椭圆 C 与 y 轴的正半轴交于点 D ，直线 l ： y  kx  m 与 C 交于 A ，B 两点（ l 不经过 D 点），

 且 AD  BD .证明：直线 l 经过定点，并求出该定点的坐标.

21．（本小题满分 12 分）

已知函数 f ( x)  x  a ln( x  1) .

（1）当 a  3 时，求 f ( x) 的单调区间；

（2）当 a  1 时，关于 x 的不等式 kx 2 ≥ f（x）在[0, ) 上恒成立，求 k 的取值范围.

（二）选考题：共 10 分，请从第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，那么只能按所做的第一题计分.

22．（本小题满分 10 分）

在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非

负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为  2 cos

（1）求直线 l 及圆 C 的直角坐标方程；

（2）若直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆 C 上不同于 A，B 的任意一点，求△PAB 面积的最大值.

23．（本小题满分 10 分）

已知函数 f ( x) 

（1）求不等式 f ( x) ≥ 3 的解集；

（2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且 a  b  c  m ，求 a2+b2+c2 的最小值．