2022年中考数学一轮复习习题精选《新定义型问题》(含答案)

这是一份2022年中考数学一轮复习习题精选《新定义型问题》(含答案)，共43页。试卷主要包含了 用“☆”定义一种新运算，1．用“△”定义新运算，阅读材料，.我们规定，对于任意有理数a，b，定义运算等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、(昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b = ab2 + a.如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为
A．10 B．-15 C. -16 D．-20
答案：D
二、填空题
3、（西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有；当a＞b时，都有．那么， 2△6 = ， △= ．
答案：24，-6

4．（海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，，是弧的中点，于，则．
如图2，△中，，，，是上一点，，作交△的外接圆于，连接，则=________°．


答案60
5、(交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是(2，1)的点共有______个．

三、解答题
6、（平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算： ．例如：
（1）按照这个规定，请你计算的值．
（2）按照这个规定，当时求的值．
答案（1） =20-12=8 ………………………………………………………………………2
（2）由 得
………………………………………………………4
解得，x= 1……………………………………………………5

7、（海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：
（a，b）★（c，d）=bc－ad.
例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;
（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x= ;
（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值．
答案. 解：（1）﹣5……………………..２分
（2）1 ……………………..４分
（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数
∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k
∴（2k﹢3）x=5
∴
∵k是整数
∴2k+3=±1或±5
∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分
8、(朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；⊙＝．
（1）求⊙的值；
（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m⊕n＝ （用含m，n的式子表示）．
答案 解：（1）⊙
.
（2）答案不唯一，例如：.
9．（石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心， AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B
的“确定圆”的示意图．
（1）已知点A的坐标为，点的坐标为，
则点A，B的“确定圆”的面积为_________；
（2）已知点A的坐标为，若直线上只存在一个点B，使得点A，B
的“确定圆”的面积为，求点B的坐标；
（3）已知点A在以为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上，
若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围．
解：（1）； ………………… 2分
（2）∵直线上只存在一个点，使得点的“确定圆”的面积
为，
∴⊙的半径且直线与⊙相切于点，如图，
∴，．





①当时，则点在第二象限．
过点作轴于点，
∵在中，，，
∴．
∴．
②当时，则点在第四象限．
同理可得．
综上所述，点的坐标为或．
………………… 6分
（3）或．
10．（延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点，与，，如果满足，，其中，则称点A与点B互为反等点．
已知：点C(3，4)
（1）下列各点中， 与点C互为
反等点；
D(3，4)，E（3，4），F（3，4）
（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，
求r的取值范围．
解：(1)F ……1分
(2) -3≤≤3 且≠0 ……4分
(3)4 < r≤5 ……7分
11. （市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为
线段AB的伴随点．
（1）当t=3时，
①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是 ；
②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N， 且MN，求b的取值范围；
（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针
旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．
解：（1）①线段AB的伴随点是: . ………………………………………………2分
②如图1，当直线y=2x+b经过点（3，1）时，b=5，此时b取得最大值.
…………………………………………………………4分
如图2，当直线y=2x+b经过点（1，1）时，b=3，此时b取得最小值.
………………………………………………………5分
∴ b的取值范围是3≤b≤5. ………………………………………6分




图2
图1



（2）t的取值范围是……………………………………8分
12．（丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形，给出如下定义：点P为图形上一点，点Q为图形上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形，的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为．
已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．
（1）连接BC，在点D(，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________；
（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．







解：（1）点和线段的“中立点”的是点D，点F； ………2分

（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、
半径为1的圆上运动.
因为点K在直线y=- x+1上，
设点K的坐标为（x，- x+1），
则x2+（- x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.
所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分

（3）（说明：点与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、
半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）
所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8分



13．（海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在上，则称为的反射点．下图为的反射点的示意图．
（1）已知点的坐标为，的半径为，
①在点，，中，的反射点是____________；
②点在直线上，若为的反射点，求点的横坐标的取值范围；
（2） 的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．
解（1）①的反射点是，． ………………1分
②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，，，，过点作轴于点，如图．
可求得点的横坐标为．
同理可求得点，，的横坐标分别为，，．
点是的反射点，则上存在一点，使点关于直线的对称点在上，则.
∵，∴．
反之，若，上存在点，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点是的反射点．
∴点的横坐标的取值范围是，或． ………………4分
（2）圆心的横坐标的取值范围是． ………………7分
14、．（西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）．
已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为．
（1）如图，当时，
①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________．
②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）．
（2）若⊙上存在“相关依附点”点，
①当，直线与⊙相切时，求的值．
②当时，求的取值范围．
（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的“相关依附点”，直接写出的取值范围．

解：（1）①．………………………………………………………………………… 1分
②是．……………………………………………………………………………2分
（2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点
M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM．
∵ ，，r =1，
∴ ，．
∴ ．
此时．…………………………………………………… 3分




图9 图10



②如图10，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不
妨设QN＜QM，点N，M在x轴下方时同理）．
作CD⊥QM于点D，则MD=ND．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ 当k=时，．
此时．
假设⊙C经过点Q，此时r = 2．
∵ 点Q在⊙C外，
∴ r的取值范围是1≤r＜2． …………………………………………… 5分
（3）＜b＜．……………………………………………………………… 7分
15. （怀柔区一模）P是⊙C外一点，若射线PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PAPB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．
(1)当⊙O的半径为1时．
①在点P1（,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是 ；
②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；
(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．
解：(1)①P1（,0）、P2（0,2）…………………………………………………………………2分
②如图， 在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b的距离m≤2.
直线y=x+b1交y轴于点E，过O作OH⊥直线y=x+b1于点H.
因为OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=2.
可得b1=2.同理可得b2=-2.
∴b的取值范围是:≤b≤. …………………………………………………6分
(2)x>或 . …………………………………………………………………………8分






16. （平谷区中考统一练习）在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.
（1）已知点A（2,0），B（0,2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；
（2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；
（3）⊙O的半径为，点P的坐标为(3,m) .若在⊙O上存在一点Q ，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

解：（1）60； 1
（2）∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，
∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．
过点C作CE⊥DE于E．
∴D（4,5）或． 3
∴直线CD的表达式为或． 5
（3）或． 7



17．（顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．
例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为、（都是常数）的两个同心圆、，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为O'．
（1）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线、分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．


解：（1）是．
过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C．
依题意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．……………………………………………… 2分
因此D（k,0），C（2k,0）．
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AD∥BC．
∴．
∴两抛物线曲似，曲似比是． ………… 3分
（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切．
则OA=OC=2k，
又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2= OA2，
∴k2+（k 2）2=（2k）2．
∴．（舍负）
由对称性可取．
综上，． ………………………… 6分
（3）m的取值范围是m＞1，
k与m之间的关系式为k 2=m2-1 ． ……… 8分

18、（年昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离.
例如：点P（，）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为.
（1）①点A（2，）的最大距离为 ；
②若点B（，）的最大距离为，则的值为 ；
（2）若点C在直线上，且点C的最大距离为，求点C的坐标；









（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出⊙O的半径r的取值范围.











解：（1）①5……………………… 1分
②……………………… 3分
（2）∵点C的最大距离为5，
∴当时，，或者当时，. ………………4分
分别把，代入得：
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴点C（，）或（，）.……………………… 5分
（3） .…………………………………7分
19、（朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.
（1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为 .
（2）点M，N的“X矩形”是正方形，
① 当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点N的反比例函数的表达式；
② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出
r的取值范围 .











备用图

答案：（1）6； …………………………………………………………………………1分
（2）① B（6,0） ………………………………………………………………………2分
N（1,5）或N（5,1） …………………………………………………………4分
； ……………………………………………………………………………5分
② 或. …………………………………………………8分
20、（东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点．
（1）当⊙O的半径为3时， 在点P1（1,0），P2（,），P3（,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦点是________；
（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；
（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（,），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标的取值范围．
答案： 解： （1）P2，P3； ………………2分
（2）由勾股定理可知，OP=5，
以点O为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP于点Q，R，可知PQ=PR=1，此时P是⊙O的和睦点；
若⊙O半径r满足06时，r-OP>1，此时，P也不是⊙O的和睦点；
若⊙O半径r满足4