专题01 数轴与集合运算（解析版）

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专题01  数轴与集合运算【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.1、集合运算在数轴中的体现： 在数轴上表示为表示区域的公共部分. 在数轴上表示为表示区域的总和. 在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行处理，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交、并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可.3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来，以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2020年高考浙江卷】已知集合P=， 则PQ= （   ）    A．        B．        C．        D．【答案】B【解析】由已知易得，故选B．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查集合的交集运算，考查数学运算学科素养．解题关键是理解集合交集的含义，利用数轴进行求解．例2【2020届湖南高三二模】设集合，，则（    ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因为所以.故选：D.【专家解读】本题考查集合的交集运算，是基础题，.例3【2020届湖北高三三模已知集合，，则（    ）.A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，所以.因为，所以..故选：C【专家解读】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了分式不等式和绝对值不等式的解法，属于简单题.例4【2020年高考全国I卷理数】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：．由于，故：，解得：．故选B．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了一元二次不等式的解法、含参数的一元一次不等式的解法，考查利用集合的交集运算求参数的值，考查数形结合思想，考查数学运算及直观想象等学科素养．解题关键是正确求解一元二次不等式，应用数形结合法求参数的值．例5.已知集合， ，若，则实数的取值范围是（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】，∵，∴∴故选D.例6.已知集合，若，则________【答案】【解析】，所以.例7. 已知集合，若，则实数的取值范围为            【答案】【解析】当时，   当时，恒成立当时，      且. 【精选精练】1．【2020年高考山东卷】设集合，，则A．        B．  C． D．【答案】B【解析】由已知易得，故选B．【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查集合的并集运算，考查数学运算学科素养．解题关键是正确理解集合并集的含义．2．【2020·河南高三二模】设全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由一元二次不等式求解可得集合A,求其补集即可.因为，所以或，即或，所以，故选：C【专家解读】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的补集运算，属于容易题.3．【2020·福建高三五月联考】集合，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，可得，结合二次函数图象和交集定义，即可求得答案.，可得根据二次函数图象特征可得： 故故选：B.【专家解读】本题考查了集合交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．【2019年高考全国Ⅱ理数】设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=A．(–∞，1) B．(–2，1)    C．(–3，–1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，或，，则．故选A．5．【2020届湖北黄冈二模】已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】化简集合，根据并集和补集与交集的定义可知图中阴影部分表示，计算即可.，，，.故选：B【专家解读】本题考查了集合的化简与运算问题，考查计算能力，是基础题.6.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合，则A．  B．C．  D．【答案】A【解析】∵∴，∴，又，∴.故选A．7.【2020届河北衡水中学二调】已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】求出中的范围确定出，再求出的补集，运用集合的交集运算即可．由题得，，又，所以.故选：D.【专家解读】此题考查了交集、补集及其运算，熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键，属于基础题．8. 【2020届湖南衡阳联考】已知全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合,利用指数函数的值域求出集合,根据集合补集的定义和集合的交运算求解即可.依题意得，集合,，由集合补集的定义知，，由集合的交运算可得，，故选：B【专家解读】本题考查一元二次不等式的解法、指数函数的值域、集合的交、补运算；考查运算求解能力；属于基础题.9.已知全集，集合， ，则（    ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】由题意得，，∴，∴．选C．【专家解读】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.10．已知全集，设函数的定义域为集合，函数的值域为集合，则（   ）A.     B.     C.     D. 【答案】D【解析】由题意， ， ，即由，得到即则故选11．设集合，，则等于（   ）A.     B.     C.     D. 【答案】C【解析】由，即为，即，即为，解得, ∴，由，即，∴ ∴= .12.设常数，集合， ，若，则的取值范围为（   ）A.     B.     C.     D. 【答案】B 【解析】由题得，因为，所以通过画数轴分析得到，（注意一定要取等），故选B.【专家解读】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点；（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合；（3）注意考虑端点处是否可以重合.