专题03 命题形式变化及真假判定（解析版）

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（一）命题结构变换
1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则
（1）否命题：“若，则”
（2）逆命题：“若，则”
（3）逆否命题：“若，则”
2、，
（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为
（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为
3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法
（1）一些常用词的“否定”：是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有
至多个→至少个 小于→大于等于
（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时均变为：
或→且 且→或
（3）全称命题与存在性命题的否定
全称命题：
存在性命题：
规律为：两变一不变
① 两变：量词对应发生变化（），条件要进行否定
② 一不变：所属的原集合的不变化
（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联.
1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同.而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联
2、，，如下列真值表所示：
简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假”
3、：与命题真假相反.
4、全称命题：
真：要证明每一个中的元素均可使命题成立
假：只需举出一个反例即可
5、存在性命题：
真：只需在举出一个使命题成立的元素即可
假：要证明中所有的元素均不能使命题成立
【经典例题】
例1、【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题：
：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
：若直线平面，直线平面，则．
则下述命题中所有真命题的序号是 ．
①②③④
【答案】①③④
【思路导引】利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假．再利用复合命题的真假可得出结论．
【解析】对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；若与相交，则交点在平面内，同理与的交点也在平面内，∴，即，命题为真命题；对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题为假命题；对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，命题为假命题；对于命题，若直线平面，则垂直于平面内所有直线，直线平面，直线直线，命题为真命题．
综上可知，为真命题，为假命题，为真命题，为真命题．故答案为：①③④．
【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活应用，本题考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查复合命题真假的判断，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确理解空间点线面的位置关系，理解或命题、且命题、非命题的含义及其真值表．
例2．【四川省宜宾市2020届高三三模】下列命题是假命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，其值域为，所以A项错误；
因为，所以B项正确；
令，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调减，在上单调增，
所以在处取得最小值，且，
所以在上恒成立，所以C项正确；
借助于三角函数线，可知，所以D项正确；故选：A.
【专家解读】该题考查的是有关命题真假的判断，涉及到的知识点有三角函数的值域，导数的应用，属于简单题目.
例3．【2020届陕西省西安中学高三四模】已知命题：，；命题：，，则下列说法中正确的是
A．是假命题B．是真命题
C．是真命题D．是假命题
【答案】C
【解析】命题p，，即命题p为真，
对命题q，去 ，所以命题q为假，为真
所以是真命题，故选：C.
【专家解读】(1)对于一些简单命题，判断为真，许推理证明，若判断为假，只需找出一个反例即可；
(2)对于复合命题的真假判断应利用真值表；
(3)也可以利用“互为逆否命题”的等价性，通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.
例4．【湖南省长沙市长郡中学2020届高三三模】已知命题，，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】命题为特称命题，其否定为，.
故选：C.
【专家解读】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.
例5．【河北省鸡泽县第一中学2020年高三三模】下列命题是真命题的为( )
A．若＝，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝D．若x