初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试同步测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试同步测试题，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题一，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
第1章 特殊平行四边形单元测试（基础篇）（北师版）
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一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，在菱形中，对角线，则的面积为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
2．（2021·浙江九年级期末）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点．将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）

A．1 B． C．2 D．
3．（2021·陕西中考真题）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（ ）

A． B． C． D．
4．（2021·四川成都市·中考真题）如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·全国八年级专题练习）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E是CD上一点，翻折△BCE，得△BEC′，点C落在AD上，则EC′的值是（ ）

A．1 B． C． D．
6．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．4
7．（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．2 B． C． D．8
8．（2021·全国八年级专题练习）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1：S2＝（　　）

A．9：8 B．4：3 C．2：1 D．S1、S2的大小关系不确定
9．（2021·全国八年级专题练习）正方形一边上任意一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的（　　）
A． B． C． D．2倍
10．（2021·苏州市南环实验中学校八年级期中）如图，正方形的面积为24，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 （ ）

A． B． C．3 D．

二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2021·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图，四边形对角线，交于点． ，，请你添加一个适当的条件 ______ ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）．

12．（2021·江苏镇江市·八年级月考）己知菱形的周长为52，一条对角线长是24，则另一条对角线长是_____．
13．（2021·全国八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝__．

14．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．

15．（2021·江苏镇江市·八年级月考）如图，正方形的边长为10，点E、F分别在边、上，且，则的周长为_______．

16．（2021·浙江绍兴市·九年级月考）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为_____．

17．（2021·北京九年级二模）如图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为_______．


三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（2021·湖北襄阳市·中考真题）如图，为的对角线．

（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．








19．（2021·全国八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，O是边AB的中点，且∠AOD＝∠BOC，求证：四边形ABCD是矩形．










20．（2021·山东潍坊市·九年级二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数．









四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（2021·天津八年级期中）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A落在AE上的一点G，折痕为BF，且BF与AE交于点H．

（1）求证：AF＝DE；
（2）当E为CD的中点时，求AG的长．







22．（2021·云南昆明市·九年级三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点， ，点是的中点，过点作，交 于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求 的长．







23．（2021·广西河池市·八年级期中）如图，四边形中，、交于点，，，若，，，于，解决下列问题：
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）写出的长．







五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（2021·全国八年级专题练习）如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD//BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．

（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
25．（2021·山东枣庄市·九年级二模）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请求出DE的长．






参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2021·广西柳州市·中考真题）如图，在菱形中，对角线，则的面积为（ ）

A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【分析】
菱形的对角线互相垂直平分，故的面积为对角线的一半的乘积的．
【详解】
是菱形

的面积



故选B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质及三角形面积，理解是直角三角形是解题的关键．
2．（2021·浙江九年级期末）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一点．将沿直线折叠，得到，连接，．若四边形是菱形，则的长为（ ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】
根据直角三角形的性质求出AC和AB，根据翻折的性质得到∠A=∠EFD=30°，AD=DF，根据菱形的性质得到△DEC与△DFC为等边三角形，求出OE，从而得到AE，即可求出BE．
【详解】
解：如图，设CD与EF交点为O，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AC=，AB=4，
∵翻折可知：∠A=∠EFD=30°，AD=DF，
又∵四边形DECF为菱形，
∴DE=DF=DA，∠DEC=∠DFC=2∠DFE=60°，
∴△DEC与△DFC为等边三角形，
∴DC=DE=DA，
∴DC=AC==，
∴OC=，
∴OE=OC=，
∴AE=2OE=3，
∴BE=AB-AE=4-3=1，
故选A．

【点睛】
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，难度不大，解题的关键是掌握相应图形的性质，利用折叠得到相等线段和角．
3．（2021·陕西中考真题）如图，在菱形中，，连接、，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设AC与BD的交点为O，由题意易得，，进而可得△ABC是等边三角形，，然后问题可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
4．（2021·四川成都市·中考真题）如图，四边形是菱形，点E，F分别在边上，添加以下条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【详解】
解: ∵四边形是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴ (SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (AAS)；
故选项B可以；
C. 添加不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
【点睛】
本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解题关键．
5．（2021·全国八年级专题练习）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E是CD上一点，翻折△BCE，得△BEC′，点C落在AD上，则EC′的值是（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由折叠得：BC＝BC′＝5，EC＝EC′，在Rt△ABC′中，根据勾股定理可求出AC′，进而求出C′D，将问题转化到Rt△DEC′中，设未知数，列方程解答即可．
【详解】
解：由折叠得：BC＝BC′＝5，EC＝EC′，
在Rt△ABC′中，AC′＝＝＝4，
∴C′D＝AD﹣AC′＝5﹣4＝1，
在Rt△DEC′中，
设EC＝x＝EC′，则DE＝3﹣x，由勾股定理得：
12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，
故选：D．
【点睛】
考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理，理解轴对称的性质和正确地将问题转化到一个直角三角形中是解决问题的关键．
6．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】
根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【详解】
平分,,
,

点F为的中点

的周长为:

故选C．
【点睛】
本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
7．（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（ ）

A．2 B． C． D．8
【答案】C
【分析】
由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OD，再证明△AOD是等边三角形，得出OA=AD，求出AC，然后根据勾股定理即可求出CD，进而得出矩形面积即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=AC，OD=BD，AC=BD，
∴OA=OD，
∵∠AOD=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=2，
∴AC=2OA=4，
∴CD=，
∴矩形的面积=AD•CD=；
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
8．（2021·全国八年级专题练习）如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1：S2＝（　　）

A．9：8 B．4：3 C．2：1 D．S1、S2的大小关系不确定
【答案】A
【分析】
设出正方形EFGH的边长为a，先判断出AE＝EH＝CH＝a，得出AC＝3a，设正方形BMNP的边长为b，同样的方法得出AC＝2b，得出a，b的关系，即可得出结论．
【详解】
解：图形中相关的顶点记作如图所示，
设正方形EFGH的边长为a，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD＝∠ACB＝45°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF＝EH＝a，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°＝∠EAF，
∴AE＝EF＝a，
同理：CH＝a，
∴AC＝3a，
设正方形BMNP的边长为b，
∵四边形BMNP是正方形，
∴BM＝MN，∠CMN＝90°，
∴∠MNC＝45°＝∠MCN，
∴CM＝MN＝b，
根据勾股定理得，CN＝b，
同理：AN＝b，
∴AC＝2b，
∴3a＝2b，
∴，
∴＝＝，
故选：A．

【点睛】
本题考查了勾股定理、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2．也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
9．（2021·全国八年级专题练习）正方形一边上任意一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的（　　）
A． B． C． D．2倍
【答案】B
【分析】
作于，于，由正方形的性质得出是等腰直角三角形，四边形是矩形，得出，由此即可得出结论．
【详解】
解：如图，作于，于，

则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，四边形是矩形，
∴，
∴，
即正方形一边上任意一点到这个正方形两条对角线的距离之和等于对角线的，
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键．
10．（2021·苏州市南环实验中学校八年级期中）如图，正方形的面积为24，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为 （ ）

A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为24，可求出AB的长，从而得出结果．
【详解】
解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为24，
∴AB=．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=．
∴所求最小值为．
故选：B．

【点睛】
此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．

二、填空题（每小题4分，共28分）
11．（2021·黑龙江牡丹江市·八年级期中）如图，四边形对角线，交于点． ，，请你添加一个适当的条件 ______ ，使四边形是菱形（只填一种情况即可）．

【答案】（答案不唯一）
【分析】
由条件，，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行判定即可．
【详解】
解：添加即可判断四边形是菱形，
∵，，
当时，四边形对角线，互相垂直平分，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定，掌握一组对角线互相垂直平分的四边形是菱形是解题的关键．
12．（2021·江苏镇江市·八年级月考）己知菱形的周长为52，一条对角线长是24，则另一条对角线长是_____．
【答案】10
【分析】
首先根据题意画出图形，即可得菱形的边长，又由菱形的性质，利用勾股定理，可求得OB的长，继而求得答案．
【详解】
解：根据题意得：菱形ABCD的周长为52，一条对角线长AC=24，
∴菱形的边长AB=13，AC⊥BD，OA= AC=12，
∴OB= =5，
∴BD=2OB=10，
即另一条对角线的长为10．
故答案为：10．

【点睛】
此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（2021·全国八年级专题练习）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE⊥BD，垂足为点E．若OE＝1，BD＝2．则CE＝__．

【答案】1
【分析】
根据矩形的性质以及勾股定理即可求出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OA＝OC＝OD＝OB＝BD＝，
∵OE＝1，CE⊥BD，
∴在Rt△CEO中，由勾股定理可知：，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理等知识，关键是掌握矩形的性质．
14．（2021·江苏盐城市·中考真题）如图，在矩形中，，，、分别是边、上一点，，将沿翻折得，连接，当________时，是以为腰的等腰三角形．

【答案】或
【分析】
对是以为腰的等腰三角形分类讨论，当时，设，可得到，再根据折叠可得到，然后在Rt△ABE中利用勾股定理列方程计算即可；当时，过A作AH垂直于于点H，然后根据折叠可得到，在结合，利用互余性质可得到，然后证得△ABE≌△AHE，进而得到，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到，然后在根据数量关系得到．
【详解】
解：当时，设，则，
∵沿翻折得，
∴，
在Rt△ABE中由勾股定理可得：即，
解得：；
当时，如图所示，过A作AH垂直于于点H，

∵AH⊥，，
∴，
∵，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴，
在△ABE和△AHE中，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
综上所述，，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合勾股定理计算即可．
15．（2021·江苏镇江市·八年级月考）如图，正方形的边长为10，点E、F分别在边、上，且，则的周长为_______．

【答案】20
【分析】
先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，根据旋转的定义，把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，根据旋转的性质得AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明在△EAG≌△EAF，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周长的定义得到△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
而EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=10+10=20，
故答案为：20．

【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
16．（2021·浙江绍兴市·九年级月考）如图，点E为正方形ABCD的边DA的延长线上一点，以BE为边在BE的另一侧作正方形BEFG，连接CG，若AB＝12，BE＝13，则△BCG的面积为_____．

【答案】30
【分析】
延长交于点，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式解答．
【详解】
解：延长交于点，

正方形，
，，
正方形，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：30．
【点睛】
此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的性质解答．
17．（2021·北京九年级二模）如图，线段CE的长为3cm，延长EC到B，以CB为一边作正方形ABCD，连接DE，以DE为一边作正方形DEFG，设正方形ABCD的面积为，正方形DEFG的面积为，则的值为_______．

【答案】
【分析】
根据题意，得，结合勾股定理的性质，计算得；再根据正方形的性质，得，，通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意得：
∴
∵正方形ABCD，正方形DEFG，
∴，
∵CE的长为3cm
∴
∴
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理和正方形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、正方形的性质，从而完成求解．

三、解答题一（每小题6分，共18分）
18．（2021·湖北襄阳市·中考真题）如图，为的对角线．

（1）作对角线的垂直平分线，分别交，，于点，，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，．求证：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）按照垂直平分线的作法作图即可；
（2）证，得到，根据垂直平分线的性质证四边相等即可．
【详解】
解：（1）直线即为所求（作图如图所示）；

（2）证明：∵垂直平分．
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，．
∴．
∴
∴．
∴四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了尺规作图和平行四边形的性质，菱形的判定，解题关键是准确画出图形，利用垂直平分线的性质和全等三角形的性质与判定证明四边相等．
19．（2021·全国八年级专题练习）如图，在▱ABCD中，O是边AB的中点，且∠AOD＝∠BOC，求证：四边形ABCD是矩形．

【答案】见解析
【分析】
根据平行四边形的两组对边分别相等可知，可知，所以是矩形．
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】
此题考查了矩形的判定方法，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
20．（2021·山东潍坊市·九年级二模）如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数．

【答案】65°
【分析】
先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数．
【详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
，
在和中，
，

∴；
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键．

四、解答题二（每小题8分，共24分）
21．（2021·天津八年级期中）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，E是CD上一点，连接AE，把正方形纸片折叠，使点A落在AE上的一点G，折痕为BF，且BF与AE交于点H．

（1）求证：AF＝DE；
（2）当E为CD的中点时，求AG的长．
【答案】（1）见解析；（2）AG＝．
【分析】
（1）根据折叠性质证得BF⊥AE，AH＝GH，再根据正方形性质和等角的余角相等证得∠ABH＝∠FAH，然后证明△ABF≌△DAE（ASA），进而根据全等三角形的性质即可证得结论；
（2）先由勾股等理求得BF的长，再由面积法求得AH，进而由AG=2AH即可求解．
【详解】
（1）由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
∴BF⊥AE，AH＝GH，
∴∠BAH+∠ABF＝90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF=∠ADE=90°，
∴∠DAE+∠BAH＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF与△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE＝4，
∴AF＝4，
∴BF＝==
由折叠可得：AH＝HG，BF⊥AG，
∵S△ABF＝×AB×AF＝×BF×AH，
∴AH＝，
∴AG＝2AH=．
【点睛】
本题考查正方形的性质、折叠性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质和全等三角形的判定与性质，利用等面积法求解AH是解答的关键．
22．（2021·云南昆明市·九年级三模）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点， ，点是的中点，过点作，交 于点．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为10．
【分析】
（1）根据四边形是平行四边形，点是的中点，可得是 的中位线，则有，，可证四边形 是平行四边形，根据，，可得，可证得四边形 是矩形；
（2）根据，，可得，则有，根据可求出结果．
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
，点是的中点，
是的中位线．
， ．
，，
四边形是平行四边形．
，，
．
四边形是矩形．
（2）解：， ，
．
．
在中，，由勾股定理可得，
．
故的长为10．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，中位线等知识；熟悉相关性质是解题的关键．
23．（2021·广西河池市·八年级期中）如图，四边形中，、交于点，，，若，，，于，解决下列问题：
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形；
（3）写出的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由已知条件，证明即可证得；
（2）由（1）可证明四边形ABCD为平行四边形，由勾股定理逆定理得AC⊥BD，即证为菱形；
（3）用等面积法，菱形的面积为底乘高，也可以表示为对角线乘积的一半，列出等式，即可求出DE的长．
【详解】
（1）证明：

∵
∴
又∵，
∴
∴
（2）∵，
∴四边形是平行四边形
∴，
又∵
∴，
∴
∴三角形是直角三角形，即
∴四边形是菱形
（3）∵S菱形ABCD= =
∴DE=．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，勾股定理逆定理，菱形的判定，菱形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形，菱形的性质与判定．

五、解答题三（每小题10分，共20分）
24．（2021·全国八年级专题练习）如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD//BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．

（1）求证：
①OC＝BC；
②四边形ABCD是矩形；
（2）若BC＝3，求DE的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】
（1）①根据角平分线定义得到∠OCE＝∠BCE，由垂直的定义得到∠CFO＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据平行线的性质得到∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，根据全等三角形的性质得到AD＝BC，推出四边形ABCD是平行四边形，根据全等三角形的性质得到∠EBC＝∠EOC＝90°，于是得到四边形ABCD是矩形；
（2）由矩形的性质得到AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，得到△OBC是等边三角形，求得∠OCB＝60°，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）①∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∵BO⊥CE，
∴∠CFO＝∠CFB＝90°，
在△OCF与△BCF中，
，
∴△OCF≌△BCF（ASA），
∴OC＝BC；
②∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD//BC，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△OAD与△OCB中，
，
∴△OAD≌△OCB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OE⊥AC，
∴∠EOC＝90°，
在△OCE与△BCE中，
，
∴△OCE≌△BCE（SAS），
∴∠EBC＝∠EOC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，
∴OB＝OC，
∵OC＝BC，
∴OC＝OB＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°，
∴∠ECB＝OCB＝30°，
∵∠EBC＝90°，
∴EB＝EC，
∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，
∴EB＝，EC＝2，
∵OE⊥AC，OA＝OC，
∴EC＝EA＝2，
在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，
∴DE＝＝＝．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，关键是要熟练掌握这些知识并灵活运用．
25．（2021·山东枣庄市·九年级二模）综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
猜想证明：
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请求出DE的长．

【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）CF＝E′F，证明见解析；（3）3
【分析】
（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形；
（2）过点D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋转的性质可得AE＝CE'，可得结论；
（3）过点D作DH⊥AE于H，利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的长．
【详解】
解：（1）四边形BE'FE是正方形，理由如下：
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四边形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四边形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如图②，过点D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH＋∠DAH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH＋∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，
∴AE＝CE'，
∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如图①，过点D作DH⊥AE于H，

∵四边形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2＋E'C2，
∴225＝E'B2＋（E'B＋3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF＋E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．