2022年中考数学总复习第29讲《锐角三角函数与解直角三角形》讲解(含答案) 学案

这是一份2022年中考数学总复习第29讲《锐角三角函数与解直角三角形》讲解(含答案) 学案，共17页。学案主要包含了解后感悟，课本改变题，方法与对策，考题体验，知识引擎，例题精析，变式拓展，热点题型等内容，欢迎下载使用。

第29讲　锐角三角函数与解直角三角形


1．锐角三角函数的概念
考试内容
考试
要求
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.

c
正弦
余弦
正切
sinA＝
＝
cosA＝
＝
tanA＝
＝
它们统称为∠A的锐角三角函数
2.特殊角三角函数值
考试内容
考试
要求
三角函数
30°
45°
60°
a
sinα



cosα



tanα

1

函数的增减性：(0°<α<90°)
(1)sinα，tanα的值都随α增大而增大；
(2)cosα的值随α增大而减小．
3.解直角三角形
考试内容
考试
要求
解直角三角形的定义
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
c
解直角三角形的常用关系

在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
(1)三边关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
(4)sin2A＋cos2A＝1.
解直角三角形的题目类型
(1)已知斜边和一个锐角；
(2)已知一直角边和一个锐角；
(3)已知斜边和一直角边(如已知c和a)；
(4)已知两条直角边a、b.
拓展

三角形面积公式：S△＝ah＝absinC.
4.解直角三角形的应用常用知识
考试内容
考试
要求
仰角和俯角

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角．
a
坡度和坡角

坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝h∶l.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡．
方向角(或方位角)

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．

考试内容
考试
要求
基本
思想
转化思想：
(1)在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型(直角边还是斜边)，再运用定义求解．
(2)在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况．
c

1． (·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是(　　)

A. B. C. D.
2．(·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是(　　)

A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
3． (·宁波)如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为____________________m(结果保留根号)．

4．(·丽水)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15m，AB＝2.70m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1m)．(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)

　　　　　　　


　



【问题】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝2.

(1)若∠C＝Rt∠，求sinA；
(2)若∠A＝30°，求AB；
(3)通过(1)(2)解答，请你总结解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法．
　　



　　　　
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理三角函数的定义，以及解直角三角形的方法．

类型一　锐角三角函数的概念
　

(·丽水)如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是(　　)
A. B. C. D.
【解后感悟】本题是锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

1． (1)(·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　　)

A．2 B. C. D.
(2) (·扬州)如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外(与点C在AB同侧)，则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为(　　)

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是　　　　　　　　　(只需填上正确结论的序号)．
类型二　特殊角的三角函数值
　式子2cos30°－tan45°－的值是(　　)
A．2－2 B．0 C．2 D．2
【解后感悟】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住一些特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．

3．(1)(·滨江)下列运算：sin30°＝，＝2，π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为(　 )
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)计算6tan45°－2cos60°的结果是(　　)
A．4 B．4 C．5 D．5
(3)在△ABC中，若|sinA－|＋(cosB－)2＝0，则∠C的度数是(　　)
A．30°　 B．45°　 C．60°　 D．90°
类型三　解直角三角形的几何应用
　(·湖北)如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：

(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值．


　　　　　　


【解后感悟】本题运用的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，注意数形结合和转化思想的应用．

4． (1)(·荆门)如图，在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连结BD，则tan∠DBC的值为(　　)

A. B.－1 C．2－ D.
(2)如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则(　　)

A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为　　　　　　　　.

类型四　解直角三角形中一个常见的模型
　(·绍兴)如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2.
(1)求∠CBA的度数；
(2)求出这段河的宽(结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73)．






【解后感悟】本题考查的是解直角三角形的应用－－方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；通过基本图形与实际问题的结合，揭示图形的基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
如图1是基本图形，若C，D，B在同一直线上，且∠ABC＝Rt∠，∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a，AB＝x，则有x＝BD·tanβ，x＝CB·tanα，∴－＝a，∴x＝.
变式为如图2，结论是x＝ .


6． (·河南)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)





类型五　解直角三角形的测量问题
　(·黄石)如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.

(1)求AB段山坡的高度EF；
(2)求山峰的高度CF.(≈1.414，CF结果精确到米)
　　　　


　　

【解后感悟】本题考查了解直角三角形的应用－－斜坡问题：解题涉及到的量是坡度与坡角，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝h∶l的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝tanα.

7． (1)(·重庆)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)(　　)

A．8.1米 B．17.2米 C．19.7米 D．25.5米
(2)(·绍兴)如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.

①求∠BCD的度数；
②求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)






类型六　解直角三角形的实际应用
　如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：(单位：cm)
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86


(1)求AM的长；
(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长(精确到1cm)．
备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.





【解后感悟】本题是解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形；注意把实际问题转化为数学问题．

8． (·衢州)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是(　　)

A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
9． (·台州)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84)






10．(·台州)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC＝30cm，AC＝22cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)






【课本改变题】教材母题－－浙教版八下，第82页
某学校的校门是伸缩门(如图1)，伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30厘米．校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°(如图2)；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°(如图3)．
问：校门打开了多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848)．






【方法与对策】解应用题的基本思路是构建数学模型．解题的关键是把实际问题转化为数学问题，只要涉及三角形的实际问题，把它抽象到解直角三角形中进行解答，之后再还原成实际问题．这种题型是中考常用的考查方式．

【把一般三角形当作直角三角形来解】
如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得△A′B′C′，使B′与C重合，连结A′B，则tan∠A′BC′的值为________．




















参考答案
第29讲　锐角三角函数与解直角三角形
【考题体验】
1． A　
2. A　
3.(10＋1)　
4.作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1m，答：端点A到地面CD的距离是1.1m.

【知识引擎】
【解析】(1)∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB＝4，∵sinA＝，∴sinA＝； (2)作CD⊥AB，交AB于点D.∵∠A＝30°，∴CD＝ACsin30°＝，AD＝ACcos30°＝3，∵CD⊥BD，∴BD＝1，∴AB＝AD＋BD＝4.　(3)解一般三角形的思路：一般三角形转化为直角三角形；解直角三角形的方法：利用方程思想，借助勾股定理、三角函数等关系求解．

【例题精析】
例1　∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝＝＝，只有选项C错误，符合题意，故选：C.
例2 原式＝2×－1－(－1)＝－1－＋1＝0.故选B.　
例3　

(1) 过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC＝，∴∠C＝45°，在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1，∴AE＝CE＝1，在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4；　(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1，∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝.　
例4

　(1)由题意得，∠BAD＝45°，∠BCA＝30°，∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°；　(2)作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x－x＝60，解得x＝＝30(＋1)≈82，答：这段河的宽约为82m.

例5　(1)作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中，∵sin∠BAH＝，∴BH＝800·sin30°＝400m，∴EF＝BH＝400m；答：AB段山坡的高度EF为400米． (2)在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝，∴CE＝200·sin45°＝100≈141.4(m)，∴CF＝CE＋EF＝141.4＋400≈541(m)．答：山峰的高度CF约为541米．

　例6　

(1)由题意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的长为72cm；　(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝∠BAC＝52°.过点E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°≈36×0.6157＝22.1652(cm)，∴AD＝2AG＝2×22.1652≈44(cm)．故AD的长约为44cm.
【变式拓展】
1． (1)D　(2)D　2.②③④　3.(1)D　(2)D　(3)D　4.(1)A　(2)C　5.3＋　
6. 在Rt△BCD中，BD＝9米，∠BCD＝45°，则BD＝CD＝9米．在Rt△ACD中，CD＝9米，∠ACD＝37°，则AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75(米)．所以，AB＝AD＋BD＝15.75米，整个过程中旗子上升高度是：15.75－2.25＝13.5(米)，因为耗时45s，所以上升速度v＝＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．　
7.(1)A　(2)①过点C作CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°；

②由题意得：CE＝AB＝30m，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°≈10.80m，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°≈9.60m，∴教学楼的高BD＝BE＋DE＝10.80＋9.60＝20.4m，则教学楼的高约为20.4m.
8． B　
9.过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝sin∠AOC·AO≈0.64×1.2＝0.768米，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．

　10.他的这种坐姿不符合保护视力的要求，理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，∵BC＝30cm，∠ACB＝53°，∴sin53°＝＝≈0.8，解得：BD＝24cm，cos53°＝≈0.6，解得：DC＝18cm，∴AD＝22－18＝4(cm)，∴AB＝＝＝cm

【热点题型】
【分析与解】先求出校门关闭时，20个菱形的宽即大门的宽；再求出校门打开时，20个菱形的宽即伸缩门的宽；然后将它们相减即可．如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3米．∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大门的宽是：0.3×20＝6(米)；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0.3米．∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin5°×0.3≈0.02616(米)，∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸缩门的宽是：0.05232×20＝1.0464米；∴校门打开的宽度为：6－1.0464＝4.9536≈5(米)．故校门打开了5米．

【错误警示】　过A′作A′D⊥BC′于点D，则B′D＝A′D.设AB＝a，则A′C＝a，BC＝a，所以A′D＝A′C·sin45°＝a·＝a.所以B′D＝a.故BD＝BC＋B′D＝a.所以在Rt△A′BD中，tan∠A′BC′＝＝＝.