专题51 曲线与方程-求轨迹方程(解析版)学案
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这是一份专题51 曲线与方程-求轨迹方程(解析版)学案,共14页。学案主要包含了热点聚焦与扩展,经典例题,精选精练等内容,欢迎下载使用。
纵观近几年的高考试题,高考对曲线与方程的考查,主要有以下两个方面:一是确定的轨迹的形式或特点;二是求动点的轨迹方程,同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地,命题作为解答题一问,小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上,重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.
1、求点轨迹方程的步骤:
(1)建立直角坐标系
(2)设点:将所求点坐标设为,同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示)
(3)列式:从已知条件中发掘的关系,列出方程
(4)化简:将方程进行变形化简,并求出的范围
2、求点轨迹方程的方法
(1)直接法:从条件中直接寻找到的关系,列出方程后化简即可
(2)代入法:所求点与某已知曲线上一点存在某种关系,则可根据条件用表示出,然后代入到所在曲线方程中,即可得到关于的方程
(3)定义法:从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确定相关曲线的要素,求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有:
① 圆:平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆:若,则点在以为直径的圆上
确定方程的要素:圆心坐标,半径
② 椭圆:平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹
确定方程的要素:距离和,定点距离
③ 双曲线:平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹
注:若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支
确定方程的要素:距离差的绝对值,定点距离
④ 抛物线:平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹
确定方程的要素:焦准距:.若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程
(4)参数法:从条件中无法直接找到的联系,但可通过一辅助变量,分别找到与的联系,从而得到和的方程:,即曲线的参数方程,消去参数后即可得到轨迹方程.
【经典例题】
例1.(2020·四川内江·高三三模)已知点、,动点满足,则点的轨迹是( )
A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线
【答案】D
【解析】∵动点满足,
∴,
∴,解得,
∴点的轨迹是抛物线.故选: D
例2.(2020·广东深圳三模·)当点在圆上变动时,它与定点的连线的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C.D.
【答案】D
【解析】设中点的坐标为,则,
因为点在圆上,故,整理得到.
故选:D.
例3.(2020·江西新余四中高三三模)如图:在正方体中,点是的中点,动点在其表面上运动,且与平面的距离保持不变,运行轨迹为,当从点出发,绕其轨迹运行一周的过程中,运动的路程与之间满足函数关系,则此函数图像大致是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】画出图象如图所示,由于平面平面,故三角形即点的运行轨迹.以为坐标原点建立空间直角坐标系,故.当在时,,当在时,,由此排除两个选项. 当在P,Q以及AC中档时,故排除选项.所以选D.
例4.(2020·上海市嘉定区第一中学高三三模)如图所示,在正方体中,点P是平面上一点,且满足为正三角形.点M为平面内的一个动点,且满足.则点M在正方形内的轨迹为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】空间上到,两点距离相等的点在线段的垂直平分面上,此平面与正方形相交可得一条线段,可排除,;又由点到,两点的距离显然不相等,排除,故选:A
例5.(2020·辽宁高三三模)已知半径为的圆与轴交于两点,圆心到轴的距离为.若,并规定当圆与轴相切时,则圆心的轨迹为( )
A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线
【答案】C
【解析】如图所示,设圆心,则圆心M到轴的距离为,
由圆的弦长公式,可得,
因为,即,整理得,
即,即圆心的轨迹为椭圆.
故选:C.
例6.(2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模)已知点A,B关于坐标原点O对称,,以M为圆心的圆过A,B两点,且与直线相切,若存在定点P,使得当A运动时,为定值,则点P的坐标为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵线段AB为⊙M的一条弦O是弦AB的中点,∴圆心M在线段AB的中垂线上,设点M的坐标为(x,y),则|OM|2+|OA|2=|MA|2,
∵⊙M与直线2y﹣1=0相切,∴|MA|=|y|,
∴|y|2=|OM|2+|OA|2=x2+y2,
整理得x2=﹣y,
∴M的轨迹是以F(0,)为焦点,y为准线的抛物线,
∴|MA|﹣|MP|=|y|﹣|MP|
=|y|﹣|MP||MF|﹣|MP|,
∴当|MA|﹣|MP|为定值时,则点P与点F重合,即P的坐标为(0,),
∴存在定点P(0,)使得当A运动时,|MA|﹣|MP|为定值.
故选:C.
例7.(2020·东湖·江西师大附中高三三模)设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】设,,其中,
,即
关于轴对称
故选:
例8.(2016·山西运城·高三三模)已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是 ( )
A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线
【答案】D
【解析】以所在直线为轴,中垂线为轴,建立坐标系,
设;
因为,
所以,
即,当时,轨迹是圆.
当且时,是椭圆的轨迹方程;
当时,是双曲线的轨迹方程.
当时,是直线的轨迹方程;
综上,方程不表示抛物线的方程.
故选C.
【精选精练】
1.(2020·广东普宁·高三三模)与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A.一个椭圆上B.双曲线的一支上
C.一条抛物线D.一个圆上
【答案】B
【解析】设动圆的圆心为P,半径为r,而圆的圆心为O(0,0),半径为1;圆的圆心为F(4,0),半径为2.依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.
2.(2020·上海高三三模)在平面直角坐标系内,到点和直线:距离相等的点的轨迹是( )
A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线
【答案】A
【解析】由题意,点在直线上,即动点到点A的距离与动点到直线的距离相等,
所以动点的轨迹是一条过点A且与直线l垂直的直线.
故选:A.
3.(2020·全国高考真题)在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若,则点C的轨迹为( )
A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线
【答案】A
【解析】设,以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则:,设,可得:,
从而:,
结合题意可得:,
整理可得:,
即点C的轨迹是以AB中点为圆心,为半径的圆.
故选:A.
4.(2020·辽宁沈阳·高三三模)已知椭圆,点A,B分别是它的左,右顶点.一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P,Q两点,又当直线l与椭圆相切于点A或点B时,看作P,Q两点重合于点A或点B,则直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设,则,则,
因为,,
当时,
所以直线的方程为:
直线的方程为:,
所以,
又,所以,即,
当时,也符合上式,
所以直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程是.
故选:B.
5.如图,在平面直角坐标系中,、、,映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点,则当点沿着折线运动时,在映射的作用下,动点的轨迹是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】点P沿着线段AB运动时,X=1,Y∈[0,1],此时P'(2xy,x2-y2)的坐标为(2y,1-y2),消掉参数y后,得到动点P'的轨迹是,点P沿着线段BC运动时,X∈[0,1],Y=1.此时P'(2xy,x2-y2)的坐标为(2x,x2-1),消掉参数x后,得到动点P'的轨迹是
故动点P'的轨迹是
6.(2020·四川成都七中高三三模)正方形中,若,在底面内运动,且满足,则点的轨迹为( )
A.圆弧B.线段 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分
【答案】A
【解析】由题意以D为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设正方体棱长为1,则,
由,可得
因为在底面内运动,且满足.由勾股定理及两点间距离公式代入可得
两边同时平方,并展开可得
交叉相乘,化简可得
化为标准方程可得
而因为在底面内运动,所以其轨迹为一段圆弧
故选:A
7.(2020·天水市第一中学高三三模)动点在圆上移动时,它与定点连线的中点的轨迹方程是 ( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设连线的中点为,则因为动点与定点连线的中点为,故 ,又在圆上,故,
即即
故选B
8.(2020·北京市陈经纶中学高三三模)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3,动点满足,则点的轨迹围成区域的面积为( ).
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】以A为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,则设,
依题意有,,
化简整理得,,
即,则圆的面积为.故选D.
9.(2020·内蒙古包头·高三三模)已知定点都在平面内,定点是内异于的动点,且,那么动点在平面内的轨迹是( )
A.圆,但要去掉两个点B.椭圆,但要去掉两个点
C.双曲线,但要去掉两个点D.抛物线,但要去掉两个点
【答案】A
【解析】,,
,
又,,
平面,又平面
,
故在以为直径的圆上,
又是内异于的动点,
所以的轨迹是圆,但要去掉两个点A,B
故选:A
10.如图所示,已知是椭圆的左,右焦点,是椭圆上任意一点,过作的外角的角平分线的垂线,垂足为,则点的轨迹为( )
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
【答案】B
【解析】延长,与的延长线交于点,连接
是的外角的角平分线,且
在中,且为线段的中点
又为线段的中点,由三角形的中位线定理得:
根据椭圆的定义得:
点的轨迹为以原点为圆心,为半径的圆
故选:
11.(2020·北京房山·高三三模)如图,在正方体中,为棱的中点,动点在平面及其边界上运动,总有,则动点的轨迹为( )
A.两个点B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分
【答案】B
【解析】如图,先找到一个平面总是保持与垂直,
取B1B的中点E,CB的中点F,连接AE,EF,AF,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
易证DM⊥AF,⊥AF,则有AF⊥面DMD1,同理MD1⊥AE,则MD1⊥平面AEF
又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,
根据平面的基本性质得:
点P的轨迹为面AEF与面BCC1B1的交线段EF.
故选:B
12.(2020·四川内江·高三三模)已知平面内的一个动点P到直线l:x=的距离与到定点F(,0)的距离之比为,点,设动点P的轨迹为曲线C,过原点O且斜率为k(k<0)的直线l与曲线C交于M、N两点,则△MAN面积的最大值为( )
A.B.2C.D.1
【答案】A
【解析】设动点到l的距离为d, 由题意得,所以,
化简整理得曲线C的方程为,
若直线l存在斜率,设其方程为,设直线l与曲线C的交点,
将代入曲线中得,,
所以,
又点A到直线l的距离,故的面积,
所以,
(1)当时,,则;
(2)当时,,则;
(3)当时,
(当且仅当,即取等号),则;
若直线l不存在斜率, MN=2. 于是的面积,
综上得:的面积的最大值为.
故选:A.
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