2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为 ．
2．（5分）命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是 命题．（选填“真”、“假”之一）
3．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是 ．
4．（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为 ．
5．（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，﹣4），则抛物线的方程为 ．
6．（5分）（文科做）曲线y＝ex+1在x＝0处的切线方程为 ．
7．（理科做）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b＝ ．
8．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的 条件．（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）
9．（5分）若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ．
10．（5分）一个正四棱锥的底面边长为3cm，侧棱长为5cm，则它的体积为 cm3．
11．（5分）双曲线y2＝1（其中a＞0）的离心率为2，则实数a的值为 ．
12．（5分）（文科做）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为 ．
13．（理科做）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为 ．
14．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是 ．
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α； ④若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B．若△AF1B的面积为40，内角A为60°，则椭圆的焦距为 ．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y＝kx﹣5（其中k＞0）上存在点P，在圆C：x2+（y﹣1）2＝1上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是 ．
二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9（其中m∈R）．设p：点（1，﹣2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2＝4外离．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若q为真命题，求m的取值范围；
（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围．
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，BCAB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF⊥平面ABCD．求证：
（1）EF∥平面PBD；
（2）AE⊥平面PEF．
19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（m＞0，n＞0）经过点（，0），其中一条近线的方程为yx，椭圆C2：1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点．椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．
（1）求双曲线C1的方程；
（2）求椭圆C2的方程．
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣4）2+y2＝9与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，﹣4）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l上存在点M，满足MA＝2MB．
①求直线l的斜率的取值范围；
②若点M不在x轴上，求△MAB面积的最大值及此时直线l的方程．
21．（16分）（文科做）已知函数f（x）x3（a+1）x2+x．
（1）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（2）当a在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值．
22．（理科做）如图，正四棱锥V﹣ABCD底面边长为4，侧棱长为．以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系O﹣xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点．
（1）求向量，的夹角的余弦值；
（2）求二面角B﹣VC﹣D的余弦值．
23．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0＜m＜a）的动直线l与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若∠OMA＝∠OMB总成立，求m的值；
（3）是否存在定点M′（x0，0）（其中x0＞a），使得∠OM′A＝∠OM′B总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表示x0）；如果不存在，请说明理由．
2018-2019学年江苏省常州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分，不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上
1．（5分）过点（0，1），（2，0）的直线的斜率为 ．
【解答】解：根据直线的斜率公式得k，
故答案为：．
2．（5分）命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”的否定是 假 命题．（选填“真”、“假”之一）
【解答】解：∵由x2+2x+1＝0得（x+1）2＝0，∴x＝﹣1，
则命题“∃x∈R，x2+2x+1＝0”是真命题，
则命题的否定是假命题，
故答案为：假
3．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是 x＝﹣1 ．
【解答】解：∵2p＝4，
∴p＝2，开口向右，
∴准线方程是x＝﹣1．
故答案为x＝﹣1．
4．（5分）与正方体各面都相切的球，它的体积与该正方体的体积之比为 ．
【解答】解：设球的半径为r，则正方体的棱长为2r，所以，正方体的体积为（2r）3＝8r3，球的体积为．
所以，球的体积与正方体的体积之比为．
故答案为：．
5．（5分）若抛物线的顶点为坐标原点，焦点在y轴上，且经过点（1，﹣4），则抛物线的方程为 x2y ．
【解答】解：由题意可设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），
∵抛物线经过点（1，﹣4），∴1＝8p，得p．
∴抛物线的方程为．
故答案为：x2y．
6．（5分）（文科做）曲线y＝ex+1在x＝0处的切线方程为 y＝x+2 ．
【解答】解：y＝ex+1的导数为y′＝ex，
可得曲线y＝ex+1在x＝0处的切线斜率为k＝1，切点为（0，2），
即有切线方程为y＝x+2．
故答案为：y＝x+2．
7．（理科做）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，则a+b＝ 7 ．
【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b）共线，
则（1，﹣1，3），
（a﹣1，﹣2，b+2）；
∴，
解得a＝3，b＝4，
∴a+b＝7．
故答案为：7．
8．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“|a|＞1”的 充分不必要条件 条件．（选填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）
【解答】解：解绝对值不等式“|a|＞1”，得a＞1或a＜﹣1，
又“a＞1”是“a＞1或a＜﹣1”的充分不必要条件，
即“a＞1”是“|a|＞1”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要条件
9．（5分）若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 （﹣2，2） ．
【解答】解：由题意可得a2+5＞2a2+1，
即a2＜4，可得﹣2＜a＜2，
即a的曲折范围是（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
10．（5分）一个正四棱锥的底面边长为3cm，侧棱长为5cm，则它的体积为 24 cm3．
【解答】解：如图，
∵正四棱锥的底面边长为3cm，∴SABCD＝18cm3．
连接AC，BD，交于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，
OCcm，
又棱长PC＝5cm，∴OPcm，
∴cm3．
故答案为：24．
11．（5分）双曲线y2＝1（其中a＞0）的离心率为2，则实数a的值为 ．
【解答】解：双曲线y2＝1的b＝1，c，
可得e2，
解得a，
故答案为：．
12．（5分）（文科做）已知函数f（x）＝x3+x2﹣x在（a，a+2）上存在极小值，则实数a的取值范围为 （，） ．
【解答】由函数f（x）＝x3+x2﹣x．
得f′（x）＝3x2+2x﹣1．
令f′（x）＝3x2+2x﹣1＝0，解得 ．
∵x∈（﹣1，），f′（x）＜0 且x∈（，+∞），f′（x）＞0．
∴为f（x）的极小值点．
∵函数f（x）在区间（a，a+2）上存在极小值．
∴ 即．
故答案为：．
13．（理科做）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，则直线AC1与B1C所成角的余弦值为 ．
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2AA1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝BC＝2AA1＝2，
则A（2，0，0），C1（0，2，1），B1（2，2，1），
C（0，2，0），
（﹣2，2，1），（﹣2，0，﹣1），
设直线AC1与B1C所成角为θ，
则csθ．
∴直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
故答案为：．
14．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．在下列命题中，有且仅有一个是真命题，它的序号是 ④ ．
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α； ②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α； ④若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α．
【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在①中，若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故①错误；
在②中，若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故②错误；
在③中，m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故③错误；
在④中，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥α，故④正确．
故答案为：④．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B．若△AF1B的面积为40，内角A为60°，则椭圆的焦距为 10 ．
【解答】解：由题意可得△AF1F2为等边三角形，
即有2c＝a，bc，
可得椭圆方程为3x2+4y2＝12c2，
设直线AB的方程为xy+c，
代入椭圆方程可得3（y2+c2cy）+4y2＝12c2，
化为5y2﹣2cy﹣9c2＝0，
解得yc或yc，
即有△AF1B的面积为•2c•|yA﹣yB|＝c•c＝40，
可得c＝5，
即有椭圆的焦距为10．
故答案为：10．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y＝kx﹣5（其中k＞0）上存在点P，在圆C：x2+（y﹣1）2＝1上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，则实数k的最小值是 ．
【解答】解：圆心坐标C（0，1），半径R＝2，则直径为2，
要使在圆C：x2+（y﹣1）2＝1上存在两个不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，
即MN＝MP，
则MN的最大值为直径2，
即MP的最大值为2，即圆心C到直线y＝kx﹣5的最大值距离d＝1+2＝3，
即圆心到直线l：kx﹣y﹣5＝0的距离d满足d≤3，
即3，则2，
平方得1+k2≥4，得k2≥3，得k或k（舍），
则k 的最小值为，
故答案为：
二、解答题：本大题共7小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9（其中m∈R）．设p：点（1，﹣2）在圆C1内，设q：圆C1与圆C2：（x+1）2+（y﹣1）2＝4外离．
（1）若p为真命题，求m的取值范围；
（2）若q为真命题，求m的取值范围；
（3）若“p或q”为真命题，求m的取值范围．
【解答】解：（1）若p为真命题，即点（1，﹣2）在圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝9内，
则（1﹣m）2+（﹣2+2）2＜9，解得﹣2＜m＜4，即m的取值范围为（﹣2，4）；
（2）若q为真命题，即圆C1与圆C2外离，则5，解得m＞3或m＜﹣5，即m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（3，+∞）；
（3）因为“p或q为真命题，则p，q中至少有一个是真命题即可，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，+∞）
18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，BCAB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF⊥平面ABCD．求证：
（1）EF∥平面PBD；
（2）AE⊥平面PEF．
【解答】证明：（1）∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF∥BD，
∵EF⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，
∴EF∥平面PBD．
（2）设AB＝a，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，
BCAB，E，F分别为BC，CD的中点，且PF⊥平面ABCD，
∴EFa，AEa，AF，
∴AE2+EF2＝AF2，∴AE⊥EF，
∵PF⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PF⊥AE，
∵PF∩EF＝F，∴AE⊥平面PEF．
19．（14分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1（m＞0，n＞0）经过点（，0），其中一条近线的方程为yx，椭圆C2：1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点．椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F，A，B，且点F到直线AB的距离为．
（1）求双曲线C1的方程；
（2）求椭圆C2的方程．
【解答】解：（1）双曲线C1：1（m＞0，n＞0）经过点（，0），
可得m2＝3，
其中一条近线的方程为yx，可得，
解得m，n＝1，
即有双曲线C1的方程为y2＝1；
（2）椭圆C2：1（a＞b＞0）与双曲线C1有相同的焦点，
可得a2﹣b2＝4，①
椭圆C2的左焦点，左顶点和上顶点分别为F（﹣2，0），A（﹣a，0），B（0，b），
由点F到直线AB：bx﹣ay+ab＝0的距离为，可得
，化为a2+b2＝7（a﹣2）2，②
由①②解得a＝4，b＝2，
则椭圆C2的方程为1．
20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣4）2+y2＝9与x轴交于A，B两点（其中点A在点B左侧），直线l过点（1，﹣4）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l上存在点M，满足MA＝2MB．
①求直线l的斜率的取值范围；
②若点M不在x轴上，求△MAB面积的最大值及此时直线l的方程．
【解答】解：若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x＝1，
若直线l与x轴不垂直，
则设l的方程为y+4＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4＝0．
（1）若直线l与x轴垂直，则直线l和圆C相切，符号条件
若直线l与x轴不垂直，若直线和圆相切，得圆心到直线的距离d3，
解得k，即直线l的方程为7x﹣24y﹣103＝0，
综上直线l的方程为7x﹣24y﹣103＝0或x＝1
（2）设M（x，y），则由MA＝2MB，得，MA2＝4MB2，
即（x﹣1）2+y2＝4[（x﹣7）2+y2]整理得：（x﹣9）2+y2＝16，
即点M在圆（x﹣9）2+y2＝16上，
①根据题意直线l与圆（x﹣9）2+y2＝16有公共点，注意到直线l的斜率明显存在，
因此直线l：kx﹣y﹣k﹣4＝0与圆（x﹣9）2+y2＝16有公共点，
即4，
解得0≤k，即直线l的斜率的范围[0，]．
②∵M在圆（x﹣9）2+y2＝16上，∴当点M的坐标为（9，4）或（9，﹣4）时，M到x轴上的距离d取得最大值4，
则△MAB面积的最大值为AB•dmax12，
此时直线l的方程为x﹣y﹣5＝0或y＝﹣4．
21．（16分）（文科做）已知函数f（x）x3（a+1）x2+x．
（1）若a≤0，求f（x）的单调减区间；
（2）当a在区间（0，1）上变化时，求f（x）的极小值的最大值．
【解答】解：（1）①若a＝0，f（x），
则f（x）的单调递减区间为（1，+∞）；
②若a＜0，则f′（x）．
令f′（x）＜0，得，即x或x＞1．
则f（x）的单调减区间为（﹣∞，），（1，+∞）；
（2）f′（x），0＜a＜1．
当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）的极小值为为f（）．
当a时，函数f（x）的极小值f（）取得最大值为．
22．（理科做）如图，正四棱锥V﹣ABCD底面边长为4，侧棱长为．以该正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系O﹣xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC中点．
（1）求向量，的夹角的余弦值；
（2）求二面角B﹣VC﹣D的余弦值．
【解答】解：（1）根据条件知正四棱锥V﹣ABCD的高为3，
根据条件，B（2，2，0），C（﹣2，2，0），D（﹣2，﹣2，0），V（0，0，3），E（﹣1，1，），
∴（﹣3，﹣1，），（1，3，），
∴向量，的夹角的余弦值为cs．
（2）（4，0，0），设平面BVC的一个法向量（x，y，z），
则，取y＝3，得（0，3，2），
同理可得平面DVC的一个法向量（﹣3，0，2），
设二面角B﹣VC﹣D的平面角为θ，由图知θ为钝角，
则csθ，
∴二面角B﹣VC﹣D的余弦值为．
23．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，），其中e为椭圆的离心率，过定点N（m，0）（0＜m＜a）的动直线l与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右准线与x轴的交点为M，若∠OMA＝∠OMB总成立，求m的值；
（3）是否存在定点M′（x0，0）（其中x0＞a），使得∠OM′A＝∠OM′B总成立？如果存在，求出点M的坐标（用m表示x0）；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵椭圆1（a＞b＞0）过点（1，e），（e，），
∴，解得a，b＝c＝1，
∴椭圆方程为y2＝1．
（2）椭圆的准线方程为x＝2，则M（2，0），
当直线l与x轴垂直或与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB；
当直线l与x轴不垂直且不重合时，设l的方程为y＝k（x﹣m），k≠0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（2k2+1）x2﹣4mk2x+2m2k2﹣2＝0，
∴x1+x2，x1x2，（*），
∵∠OMA＝∠OMB总成立，又MA，MB斜率存在，故MA，MB的斜率和总为0，
0对k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即对k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
即2x1x2﹣（m+2）（x1+x2）+4m＝0k∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
代入（*）式并整理得m＝1．
（3）假设存在这样的点M′（x0，0），（其中x0＞a）满足条件，
则M′A，M′B的斜率同时存在且和为0，
即0，
根据题意，只需要考虑直线l与x轴不垂直也不重合的情形，
结合（2）中（*）式有：
x0
为定值，
∴这样的点M′如果存在，其坐标只可能为（，0），
∵m∈（0，），∴满足条件，
∴M′坐标为（，0）．
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日期：2019/12/27 12:21:46；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265