2018-2019学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解谷题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知点A（m，2），B（3，4），直线AB的倾斜角为45°，那么m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．5
2．（5分）抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点的坐标为（ ）
A．（，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣4，0）
3．（5分）双曲线1的渐近线方程为（ ）
A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．4x±y＝0D．x±4y＝0
4．（5分）设命题p：∃x∈R，ex＞x+1．则￢p为（ ）
A．∀x∈R，ex＞x+1B．∃x∈R，ex≤x+1
C．∀x∈R，ex≤x+1D．∃x∈R，ex＝x+1
5．（5分）过两直线l1：x﹣3y+1＝0，l2：x+2y+6＝0的交点且与3x+y﹣1＝0平行的直线方程为（ ）
A．x﹣3y+1＝0B．3x+y+7＝0C．x﹣3y﹣1l＝0D．3x+y+13＝0
6．（5分）若曲线mx2+ny2＝1（m，n∈R）是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜m＜nB．0＜n＜mC．m2＞n2D．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．38+4πB．38+5πC．38+6πD．38+7π
8．（5分）已知命题p：“∀a∈R，直线ax﹣y﹣3a＝0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2＝0表示圆”．则下列命题为真的是（ ）
A．p∧qB．p∧（￢q）C．（￢p）∨qD．（￢p）∨（￢q）
9．（5分）已知f（x）＝x（|x|+1），且a，b为实数，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（5分）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（ ）
A．27：32B．3：8C．3：16D．9：32
11．（5分）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣5，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（ ）
A．1B．1
C．1D．1
12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为L，则L的最大值为（ ）
A．3B．6C．3D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．（5分）过点A（4，0）和点B（0，﹣2）的直线方程为 ．
14．（5分）在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD长度的所有值为 ．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PB＝2PA，则实数m的取值范围是 ．
16．（5分）已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A，若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为 ．
三、解谷题：本大题共6小题.共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程成演算御
17．（10分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，直线l1：y＝kx﹣1，l2：yx
（1）若圆C上存在两点关于直线l1对称，求实数k的值；
（2）若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．
18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1切掉三棱锥C﹣B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．
（1）证明：B1C∥平面A1DEF；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．
19．（12分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：2x﹣3y+4＝0与抛物线交于A，B两点．
（1）求|AF|+|BF|的值；
（2）能否在x轴上找到点P，使得∠APB＝90°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝ACAA2，D为BC的中点．
（1）证明：AD⊥平面A1BC；
（2）求直线A1C与平面A1B1D所成角的正弦值．
21．（12分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
22．（12分）已知椭圆C的两个焦点坐标分别为F1（，0），F2（，0），一个顶点为B（0，﹣1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A的坐标为（4，0），M（x1，y1），N（x2，y2）是C上的两点且x1≠x2，直线AM，AN关于x轴对称，求△AMN的面积S的取值范围．
2018-2019学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知点A（m，2），B（3，4），直线AB的倾斜角为45°，那么m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．5
【解答】解：由点A（m，2），B（3，4），
得，
又直线AB的倾斜角为45°，
∴kAB＝tan45°＝1．
则，解得m＝1．
故选：B．
2．（5分）抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点的坐标为（ ）
A．（，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣4，0）
【解答】解：抛物线y2＝4x的准线为：x＝﹣1，所以抛物线与x轴的交点的坐标（﹣1，0）．
故选：B．
3．（5分）双曲线1的渐近线方程为（ ）
A．x±2y＝0B．2x±y＝0C．4x±y＝0D．x±4y＝0
【解答】解：双曲线1的a＝4，b＝2，
可得渐近线方程为y＝±x，
即有2y＝±x．
故选：A．
4．（5分）设命题p：∃x∈R，ex＞x+1．则￢p为（ ）
A．∀x∈R，ex＞x+1B．∃x∈R，ex≤x+1
C．∀x∈R，ex≤x+1D．∃x∈R，ex＝x+1
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
则￢p：∀x∈R，ex≤x+1，
故选：C．
5．（5分）过两直线l1：x﹣3y+1＝0，l2：x+2y+6＝0的交点且与3x+y﹣1＝0平行的直线方程为（ ）
A．x﹣3y+1＝0B．3x+y+7＝0C．x﹣3y﹣1l＝0D．3x+y+13＝0
【解答】解：两直线l1：x﹣3y+1＝0，l2：x+2y+6＝0的交点为，
解得，即（﹣4，﹣1）；
设与3x+y﹣1＝0平行的直线方程为3x+y+m＝0，
则3×（﹣4）+（﹣1）+m＝0，
解得m＝13，
所求的直线方程为3x+y+13＝0．
故选：D．
6．（5分）若曲线mx2+ny2＝1（m，n∈R）是焦点在x轴上的椭圆，则下列结论正确的是（ ）
A．0＜m＜nB．0＜n＜mC．m2＞n2D．
【解答】解：方程mx2+ny2＝1即：示焦点在x轴上的椭圆，
可得：0，解得n＞m＞0．
故选：A．
7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．38+4πB．38+5πC．38+6πD．38+7π
【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成：上面是一个圆柱；下面是一个长方体．
∴这个几何体的表面积＝4π×1+1×（2×3+2×4）
+2×3×4＝38+4π．
故选：A．
8．（5分）已知命题p：“∀a∈R，直线ax﹣y﹣3a＝0都经过一定点”，命题q：“∃t∈R，方程x2+y2+2ty+2t2＝0表示圆”．则下列命题为真的是（ ）
A．p∧qB．p∧（￢q）C．（￢p）∨qD．（￢p）∨（￢q）
【解答】解：由ax﹣y﹣3a＝0得a（x﹣3）﹣y＝0，当x＝3时，y＝0，即直线过定点（3，0），则命题p是真命题，
由x2+y2+2ty+2t2＝0得x2+（y+t）2＝﹣t2≤0，则方程无法表示圆，即命题q是假命题，
则p∧（￢q）是真命题，其余为假命题，
故选：B．
9．（5分）已知f（x）＝x（|x|+1），且a，b为实数，则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x（x+1）＝x2+x，对称轴为x，此时f（x）为增函数，且f（x）≥0，
当x＜0时，f（x）＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，对称轴为x，此时f（x）为增函数，且f（x）＜f（0）＝0，
综上函数f（x）为增函数，
则“a＞b”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，
故选：C．
10．（5分）已知圆锥的底面圆周及顶点均在球面上，若圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的体积与球的体积之比为（ ）
A．27：32B．3：8C．3：16D．9：32
【解答】解：取圆锥的轴截面如下图所示，
设球的半径为R，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，
结合图形可得，所以，，
圆锥的高为，
所以，圆锥的体积为，
因此，圆锥的体积与球的体积之比为．
故选：D．
11．（5分）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣5，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（ ）
A．1B．1
C．1D．1
【解答】解：根据题意，设椭圆的右焦点为M，连接PM，
则|FM|＝2|OF|＝10，
由|OP|＝|OF|＝|OM|知，∠PFM＝∠FPO，∠OMP＝∠OPM，
所以∠PFM+∠OMP＝∠FPO+∠OPM，
又由∠PFM+∠OMP+∠FPO+∠OPM＝180°知，
∠FPO+∠OPM＝90°，即PF⊥PM．
又由|FM|＝10，|PF|＝6，
则|PM|8，
则2a＝|PF|+|PM|＝14，
则a＝7，
又由c＝5，则b2＝a2﹣c2＝49﹣25＝24，
则椭圆的方程为：1，
故选：C．
12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为L，则L的最大值为（ ）
A．3B．6C．3D．9
【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，
∴BD1，
当BP时，即当截面过体对角线BD1的中点时，
此时截面为正六边形，其定点为各棱的中点，（如图）L取最大值
∴截面周长L取最大值为66．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．（5分）过点A（4，0）和点B（0，﹣2）的直线方程为 x﹣2y﹣4＝0 ．
【解答】解：由题意可得，过点A（4，0）和点B（0，﹣2）的截距式方程为：，即x﹣2y﹣4＝0．
故答案为：x﹣2y﹣4＝0．
14．（5分）在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD长度的所有值为 ．
【解答】解：如图，
在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，
∵，AB＝1，∴由，得．
又BC＝2，BD＝3，得，得sinB，∴csB．
当csB时，CD2＝22+32﹣2×2×37，则CD；
当csB时，CD2＝22+32﹣2×2×3×（）＝19，则CD．
∴CD长度的所有值为，．
故答案为：，．
15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0）．若直线x﹣y+m＝0上存在点P使得PB＝2PA，则实数m的取值范围是 [﹣2，2] ．
【解答】解：设P（x，x+m），
∵2PA＝PB，
∴4|PA|2＝|PB|2，
∴4（x﹣1）2+4（x+m）2＝（x﹣4）2+（x+m）2，
化为（x+m）2＝4﹣x2，
∴4﹣x2≥0，解得x∈[﹣2，2]，
∴m＝﹣x±，令x＝2csθ，θ∈[0，π]，
∴m＝﹣2csθ±2sinθ
＝±2sin（θ±）∈[﹣2，2]，
实数m的取值范围是[﹣2，2]，
故答案为[﹣2，2]．
16．（5分）已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥l2且交l1于点A，若AF⊥x轴，则双曲线C的离心率为 ．
【解答】解：设双曲线的方程为1（a，b＞0），
渐近线方程为l1：yx，l2：yx，
由题意可设F（c，0），由AF⊥x轴，
令x＝c，代入l1的方程可得y，
即有A（c，），
过右焦点F作FB∥l1且交l2于点B，
由FB的方程y（x﹣c），联立直线l2：yx，
解得B（，），
再由BA⊥l2，可得kAB，
即有，
化为a2＝3b2，由b2＝c2﹣a2，可得：
c2a2，由e可得e．
故答案为：．
三、解谷题：本大题共6小题.共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程成演算御
17．（10分）已知圆C：（x﹣2）2+y2＝4，直线l1：y＝kx﹣1，l2：yx
（1）若圆C上存在两点关于直线l1对称，求实数k的值；
（2）若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为1：2，求实数k的值．
【解答】解：（1）圆C：（x﹣2）2+y2＝4的圆心为C（2，0），
圆C上存在两点关于直线l1：y＝kx﹣1对称，
则直线l1过圆心，∴2k﹣1＝0，解得k；
（2）由直线l2：yx，得x﹣y＝0，
则圆心C到直线l2的距离为d2，
∴l2被圆C所截得的弦长为22；
又直线l1、l2被圆C所截得的弦长之比为1：2，
∴l1被圆C所截得的弦长为1，
由l1：y＝kx﹣1，得kx﹣y﹣1＝0；
则圆心C到直线l1的距离d1，
整理得k2﹣16k﹣15＝0，
解得k＝8±5．
18．（12分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1切掉三棱锥C﹣B1C1D1后形成多面体ABCDD1B1A1，过A1D的截面分别交CD1，B1D1于点E，F．
（1）证明：B1C∥平面A1DEF；
（2）求异面直线A1C与EF所成角的余弦值．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，AB＝CD，AB∥A1B1，AB＝A1B1，
∴CD∥A1B1，CD＝A1B1，∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴B1C∥A1D，
又B1C⊄平面A1FED，A1D⊂平面A1FED，
∴B1C∥平面A1DEF．
解：（2）由（1）得B1C∥平面A1DEF，
又B1C⊂平面B1CD1，平面B1CD1∩平面A1DEF＝EF，
∴B1C∥EF，
∴∠A1CB1是异面直线A1C与EF所成的角（或所成角的补角），
设正方休的棱长为a，则A1B1＝a，B1C，A1C，
∴在Rt△A1B1C中，cs∠A1CB1，
∴异面直线A1C与EF所成角的余弦值为．
19．（12分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：2x﹣3y+4＝0与抛物线交于A，B两点．
（1）求|AF|+|BF|的值；
（2）能否在x轴上找到点P，使得∠APB＝90°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
由直线l：2x﹣3y+4＝0，联立抛物线方程可得y2﹣6y+8＝0，
解得y1＝2，y2＝4，
即有A（1，2），B（4，4），
则|AF|+|BF|＝（1+1）+（4+1）＝7；
（2）假设在x轴上找到点P（a，0），使得∠APB＝90°，
由A（1，2），B（4，4），可得kAPkBP＝﹣1，
即•1，
即为a2﹣5a+12＝0，
由△＝25﹣48＜0，可得方程无解，
故不存在P，使得∠APB＝90°．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝ACAA2，D为BC的中点．
（1）证明：AD⊥平面A1BC；
（2）求直线A1C与平面A1B1D所成角的正弦值．
【解答】证明：（1）设AB＝2a，则AA1＝3a，
∵AB＝AC＝2a，∠BAC＝60°，∴BC＝2a，AD⊥BC，且AD，
∵AB＝AC＝2a，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AA1＝AA1＝3a，
∴△ABA1≌△ACA1，
A1B＝A1Ca，∴A1D⊥BC，
∵a，∴AD2AA12，∴AD⊥A1D，
又BC∩A1D＝D，∴AD⊥平面A1BC．
解：（2）由（1）可如图建立空间直角坐标系，
则A1（0，0，），C（0，﹣a，0），D（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），
∴（0，﹣a，），（0，0，），（），
设平面A1B1D的法向量（x，y，z），
则由，取x＝1，得（1，，0），
设直线A1C与平面A1B1D所成角为θ．
则sinθ．
∴直线A1C与平面A1B1D所成角的正弦值为．
21．（12分）如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
【解答】解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．
设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），
则直线AB方程为1，即bx+ay﹣ab＝0．
因为AB与圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，所以1，
化简得ab﹣2（a+b）+2＝0，即ab＝2（a+b）﹣2，
因此AB
，
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a+b＜2，
于是AB＝2﹣（a+b）．
又ab＝2（a+b）﹣2≤（）2，
解得0＜a+b≤4﹣2，或a+b≥4+2，
因为0＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4﹣2，
所以AB＝2﹣（a+b）≥2﹣（4﹣2）＝22，
当且仅当a＝b＝2时取等号，
所以AB最小值为22，此时a＝b＝2．
答：当A，B两点离道路的交点都为2（百米）时，小道AB最短．
22．（12分）已知椭圆C的两个焦点坐标分别为F1（，0），F2（，0），一个顶点为B（0，﹣1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A的坐标为（4，0），M（x1，y1），N（x2，y2）是C上的两点且x1≠x2，直线AM，AN关于x轴对称，求△AMN的面积S的取值范围．
【解答】解：（1）∵椭圆C的两个焦点坐标分别为F1（，0），F2（，0），一个顶点为B（0，﹣1）．
∴椭圆C的焦点在x轴上，可设标准方程为1，（a＞b＞0），
且b＝1，4，
∴椭圆C的标准方程为y2＝1．
（2）设直线MN的方程为x＝ky+m，（k≠0），
联立，整理，得（k2+4）y2+2kmy+m2﹣4＝0，
∴y1+y2，y1y2，
∵关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，
即0，∴0，
∴2ky1y2+（m﹣4）（y1+y2）＝0，∴0，
解得m＝1，∴直线MN的方程为x＝ky+1，直线MN过定点B（1，0），
又|y1﹣y2|4，
令t，则t∈（0，），∴|y1﹣y2|＝4∈（0，），
∴△AMN的面积S|AB||y1﹣y2||y1﹣y2|∈（0，）．
∴△AMN的面积S的取值范围是（0，）．
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日期：2019/12/27 12:17:02；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265