2017-2018学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科），共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）命题p：，命题q：方程x2﹣x+1＝0无实根，则（　　）
A．命题p∧q为真 B．命题p∨q为真
C．命题￢p为假 D．命题￢q为真
3．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）抛物线y2＝4x上一点P到其焦点距离为6，则点P到y轴距离为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）

A．8 B．9 C．27 D．36
6．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为，则其瞬时速度为1米/秒的时刻为（　　）
A．t＝0 B．t＝1 C．t＝3 D．t＝1和t＝3
8．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知数列{an}的前n项和，则a2018＝（　　）
A．2018 B．2019 C．4035 D．4036
9．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知△ABC的角A、B、C所对边的边为a，b，c，acosA＝bcosB，则该三角形现状为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形或等腰三角形
10．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝9，则S12＝（　　）
A．15 B．16 C．9 D．6
11．（5分）（2006•福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
12．（5分）（2017•辽宁模拟）函数f（x）的定义域是（0，），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tanx•f′（x）＞0在定义域内恒成立，则（　　）
A．f（）f（） B．sin1•f（1）＞f（）
C．f（）f（） D．f（）f（）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值与最小值之差为　 　．
14．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）设函数f（x）＝alnx，（x＞0），若函数f（x）在x＝1处与直线y相切，则a＝　 　．
15．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，已知∠A＝60°，，则b＝　 　．
16．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣x+k在[﹣1，1]上有两个零点，则k的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若，b＝2，求△ABC的面积S．
18．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号a，b
1
2
3
4
5
储蓄存款a＝14（千亿元）
5
6
7
8
10
（I）求y关于t的回归方程t；
（II）用所求回归方程预测该地区2019年（t＝7）的人民币储蓄存款．
附：回归方程b＝2中．
19．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a1+a2＝6，a4﹣a2＝12．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
20．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）（理科）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．
（文科）若AB＝2，求三棱锥A﹣SBC的体积．

21．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，当直线l与椭圆C有唯一公共点M时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），若|MH||OM|，求k的值．
22．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝excosx．
（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若对任意，不等式xsinx≤f（x）﹣m恒成立，求实数m的取值范围．

2017-2018学年广西南宁三中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5T：不等式．
【分析】根据题意，原不等式变形为（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，⇒（x﹣1）（x﹣2）≤0且x﹣2≠0，
解可得：1≤x＜2，
即不等式的解集为{x|1≤x＜2}，
故选：D．
【点评】本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．
2．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）命题p：，命题q：方程x2﹣x+1＝0无实根，则（　　）
A．命题p∧q为真 B．命题p∨q为真
C．命题￢p为假 D．命题￢q为真
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】命题p：由于e，即可判断出真假；命题q：根据△＝1﹣4＝﹣3＜0，可得方程x2﹣x+1＝0解的情况．进而判断出命题的真假．
【解答】解：命题p：∵e，∴，是假命题；
命题q：∵△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程x2﹣x+1＝0无实根，是真命题．
∴p假q真，
故选：B．
【点评】本题考查了方程解的判定方法、不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
4．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）抛物线y2＝4x上一点P到其焦点距离为6，则点P到y轴距离为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件求解点P到y轴距离．
【解答】解：由抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，
抛物线y2＝4x上一点P到其焦点距离为6，故点P的横坐标为5．
则点P到y轴距离为5．
故选：A．
【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．
5．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（　　）

A．8 B．9 C．27 D．36
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当k＝0时，满足进行循环的条件，故S＝0，k＝1，
当k＝1时，满足进行循环的条件，故S＝1，k＝2，
当k＝2时，满足进行循环的条件，故S＝9，k＝3，
当k＝3时，不满足进行循环的条件，
故输出的S值为9，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
6．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】任取两个数字组成两位数共有12种可能，能被5整除的只有15、25、35三种，由此能求出组成的两位数是5的倍数的概率．
【解答】解：任取两个数字组成两位数共有12种可能，
能被5整除的只有15、25、35三种，
∴从1、2、3、5四个数中任取两个数组成两位数，
则组成的两位数是5的倍数的概率为p．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）一质点做直线运动，其位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间关系式为，则其瞬时速度为1米/秒的时刻为（　　）
A．t＝0 B．t＝1 C．t＝3 D．t＝1和t＝3
【考点】61：变化的快慢与变化率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】根据题意，由S与t的关系，求导可得S'＝t2﹣4t+4，结合导数的定义可得S'＝1，即t2﹣4t+3＝0，解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，质点的位移S与时间t满足，
则S'＝t2﹣4t+4，
令S'＝1，即t2﹣4t+3＝0，
解可得：t＝1或t＝3；
故选：D．
【点评】本题考查导数的定义以及变化率的计算，关键是掌握导数的定义．
8．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知数列{an}的前n项和，则a2018＝（　　）
A．2018 B．2019 C．4035 D．4036
【考点】82：数列的函数特性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据数列项和前n项和的关系进行求解即可．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和，
∴，
故a2018＝2×2018﹣1＝4035，
法2：a2018＝S2018﹣S2017＝20182﹣20172＝（2018+2017）（2018﹣2017）＝4035，
故选：C．
【点评】本题主要考查数列通项公式的应用，根据项和和之间的关系进行转化是解决本题的关键．
9．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知△ABC的角A、B、C所对边的边为a，b，c，acosA＝bcosB，则该三角形现状为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形或等腰三角形
【考点】HP：正弦定理．菁优网版权所有
【专题】58：解三角形．
【分析】acosA＝bcosB，利用正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，利用倍角公式可得sin2A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，即可得出．
【解答】解：∵acosA＝bcosB，
由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∴2A＝2B或2A+2B＝π，
化为A＝B或A+B．
∴哎三角形为直角三角形或等腰三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、正弦函数的单调性，属于基础题．
10．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S6＝9，则S12＝（　　）
A．15 B．16 C．9 D．6
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列的性质推导出S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列，由此能求出S12．
【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S6＝9，
S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9成等差数列，
∴S6﹣S3＝3，S9﹣S6＝0，S12﹣S9＝﹣3，
∴S12＝6．
故选：D．
【点评】本题考查数列的前12项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
11．（5分）（2006•福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．
【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴，离心率e2，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
12．（5分）（2017•辽宁模拟）函数f（x）的定义域是（0，），f′（x）是它的导函数，且f（x）+tanx•f′（x）＞0在定义域内恒成立，则（　　）
A．f（）f（） B．sin1•f（1）＞f（）
C．f（）f（） D．f（）f（）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】f（x）+tanx•f′（x）＞0在定义域内恒成立，可知cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0，可构造函数g（x）＝sinx•f（x），求导判断其单调性，即可得到sin1•f（1）＞f（）．
【解答】解：∵x∈（0，），
∴由f（x）+tanx•f′（x）＞0，得cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
令g（x）＝sinx•f（x），则g′（x）＝cosx•f（x）+sinx•f′（x）＞0．
∴g（x）在（0，）上为增函数，
∴g（1）＞g（），即sin1•f（1）＞sin•f（）．
∴sin1•f（1）•f（）．
则sin1•f（1）＞f（）．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，由已知构造函数是关键，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值与最小值之差为　7　．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，
联立，解得A（2，3），
可得B（0，2）
化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，
由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为9．
当直线y＝﹣3x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，
z有最小值为2．
则z＝3x+y的最大值与最小值之差为：7．
故答案为：7．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）设函数f（x）＝alnx，（x＞0），若函数f（x）在x＝1处与直线y相切，则a＝　1　．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率，列出方程求解即可．
【解答】解：，
由题意函数f（x）在x＝1处与直线y相切，
知y＝f（x）在x＝1处导数值为0，
解之得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想的应用．
15．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，已知∠A＝60°，，则b＝　1或3　．
【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；49：综合法；58：解三角形．
【分析】由已知及余弦定理即可解得b的值．
【解答】解：∵∠A＝60°，，
∴由余弦定理得13＝b2+16﹣8bcos60°，可得：b2﹣4b+3＝0，
∴解之得b＝1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
16．（5分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣x+k在[﹣1，1]上有两个零点，则k的取值范围是　[﹣1，﹣1）　．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】设g（x）＝k，h（x）＝x﹣ex，则f（x）＝ex﹣x+k在[﹣1，1]上有两个零点等价于g（x），h（x）在[﹣1，1]内有两个交点．利用函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后提出k的范围．
【解答】解：设g（x）＝k，h（x）＝x﹣ex，则f（x）＝ex﹣x+k在[﹣1，1]上有两个零点等价于g（x），h（x）在[﹣1，1]内有两个交点．
令h'（x）＝1﹣ex＝0⇒x＝0，故h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
∴h（x）max＝h（0）＝﹣1，，易知h（﹣1）＞h（1）
故当h（﹣1）≤k＜f（0）时，满足题意．故．
故答案为：[﹣1，﹣1）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值已经函数的单调区间的判断，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+bcosA＝0．
（1）求角A的大小；
（2）若，b＝2，求△ABC的面积S．
【考点】HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用余弦定理求出c的值，然后求解三角形的面积．
【解答】解：（1）∵asinB+bcosA＝0，
∴sinAsinB+sinBcosA＝0即sinB（sinA+cosA）＝0，
由于B为三角形内角，
所以sinA+cosA＝0，
∴而A为三角形内角，
∴；
（2）在△ABC中，由余弦定理得a2＝c2+b2﹣2cbcosA，
即，解得（舍）或，
∴．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．
18．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号a，b
1
2
3
4
5
储蓄存款a＝14（千亿元）
5
6
7
8
10
（I）求y关于t的回归方程t；
（II）用所求回归方程预测该地区2019年（t＝7）的人民币储蓄存款．
附：回归方程b＝2中．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．
【分析】（I）由表中数据计算平均数，求出回归系数，写出回归方程；
（Ⅱ）将t＝7代入回归方程，计算的值即可．
【解答】解：（I）由表中数据计算（1+2+3+4+5）＝3，
（5+6+7+8+10）＝7.2；
1.2，
∴7.2﹣1.2×3＝3.6；
∴y关于t的回归方程为1.2t+3.6；
（Ⅱ）将t＝7代入回归方程得，
1.2×7+3.6＝12；
可预测该地区2019年的人民币储蓄存款为12（千亿元）．
【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题．
19．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a1+a2＝6，a4﹣a2＝12．
（I）求{an}的通项公式；
（II）设bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【考点】8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1＝2，q＝2，由此能求出{an}的通项公式．
（II）求出，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和．
【解答】解：（I）∵正项等比数列{an}中，a1+a2＝6，a4﹣a2＝12．
∴由已知得：，…．（2分）
解得a1＝2，q＝2…．（4分）
故．（6分）
（II）∵ …．（8分）
∴数列{bn}的前n项和：
Sn＝2+2•22+3•23+…+n•2n，①
，②…．（10分）
①﹣②，得：﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
n•2n+1
＝（1﹣n）•2n+1﹣2，…．（11分）
∴．…．（12分）
【点评】本题考查数列通项公式、数列的前n项和的求法，考等比数列、错位相减求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC中点．
（1）证明：SO⊥平面ABC；
（2）（理科）求二面角A﹣SC﹣B的余弦值．
（文科）若AB＝2，求三棱锥A﹣SBC的体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）由题设知AB＝AC＝SB＝SC＝SA，连结OA，推导出SO⊥BC，SO⊥AO，由此能证明SO⊥平面ABC．
（2）（理科）几何法：取SC的中点M，连结AM，OM，则OM⊥SC，AM⊥SC，∠OMA为二面角A﹣SC﹣B的平面角，由此能求出二面角A﹣SC﹣B的余弦值．
向量法：以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣SC﹣B的余弦值．
（2）（文科）三棱锥A﹣SBC的体积VA﹣SBC＝VS﹣ABC．
【解答】证明：（1）由题设知AB＝AC＝SB＝SC＝SA，
连结OA，△ABC为等腰直角三角形，
∴OA＝OB＝OCSA，且AO⊥BC，
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且SOSA，
从而OA2+SO2＝SA2．
∴△SOA为直角三角形，SO⊥AO．
又AO∩BO＝O．
∴SO⊥平面ABC．
解：（2）（理科）（法一：几何法）：取SC的中点M，连结AM，OM，
由（1）知SO＝OC，SA＝AC．得OM⊥SC，AM⊥SC．
∴∠OMA为二面角A﹣SC﹣B的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O得AO⊥平面SBC．
∴AO⊥OM．
又AMSA，
故sin∠AMO，cos∠AMO，
∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．
（法二：向量法）：以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB＝2，则A（0，，0），B（，0，0），C（，0，0），S（0，0，），
（0，），（），（），
设平面SAB的法向量（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，1，1），
设平面SBC的法向量（0，1，0），
设二面角A﹣SC﹣B的平面角为θ，
则cosθ．
∴二面角A﹣SC﹣B的余弦值为．
（2）（文科）∵AB＝2，∴2，
SOSA，
∴三棱锥A﹣SBC的体积：
VA﹣SBC＝VS﹣ABC．

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方思想、数形结合思想，是中档题．
21．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知椭圆C：1（a＞b＞0），右焦点为F（c，0），A（0，2），且|AF|，椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l的方程为y＝kx+m，当直线l与椭圆C有唯一公共点M时，作OH⊥l于H（O为坐标原点），若|MH||OM|，求k的值．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；34：方程思想；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由已知|AF|，可得，求得c，再由椭圆离心率求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设M为（x0，y0），由|MH||OM|，利用勾股定理得|OH||OM|，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0可得m与k的关系，并求出M的坐标，得到|OM|，再由点到直线的距离公式求得|OH|，代入|OH||OM|即可求得k值．
【解答】解：（1）由F（c，0），A（0，2），且|AF|，得
，解得c，
又，∴a＝2，则b2＝a2﹣c2＝1，
故椭圆C的标准方程为：；
（2）设M（x0，y0），由|MH||OM|，知|OH||OM|，
联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．
令△＝64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0，得m2＝1+4k2，
且，，
∴，
由点到直线距离公式可得|OH|．
则，
由|OH||OM|，得|OH|2|OM|2，即16k4﹣8k2+1＝0，
解得：，k．

【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
22．（12分）（2017秋•兴宁区校级期末）已知函数f（x）＝excosx．
（I）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（II）若对任意，不等式xsinx≤f（x）﹣m恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（I）求出f（0）＝1，f'（x）＝excosx﹣exsinx，f'（0）＝1，利用导数性质能求出曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（II）对任意，不等式xsinx≤f（x）﹣m恒成立，等价于对任意，m≤（excosx﹣xsinx）min，设h（x）＝excosx﹣xsinx，，则h′（x）＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，利用导数性质能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（I）∵f（x）＝excosx，∴f（0）＝1…（2分）
f'（x）＝excosx﹣exsinx，f'（0）＝1…（4分）
∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+1．…（5分）
（II）对任意，不等式xsinx≤f（x）﹣m恒成立，
等价于对任意，m≤（excosx﹣xsinx）min…（6分）
设h（x）＝excosx﹣xsinx，
则h′（x）＝excosx﹣exsinx﹣sinx﹣xcosx＝（ex﹣x）cosx﹣（ex+1）sinx，…（8分）
∵，∴（ex﹣x）cosx≥0，（ex+1）sinx≤0，…（10分）
∴h′（x）＞0，故h（x）在单调递增，
∴，∴，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．…（12分）
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查实数的取值范围的求不法，考查导数性质、导数的几何意义、函数的单调区间、函数的最值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）

【典例例题分析】
典例1：一质点的运动方程是s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（　　）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过1秒种的位移与经过1+△t秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．
解：，
故选D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式：．注意平均速度与瞬时速度的区别．

典例2：一质点运动的方程为s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在t＝1时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为当△t趋向于0时求极限即可获得解答；求导法：t＝1时的瞬时速度即s＝8﹣3t2在t＝1处的导数值，故只需求t＝1时函数s＝8﹣3t2的导函数值即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为：．

（2）定义法：质点在t＝1时的瞬时速度为．
求导法：质点在t时刻的瞬时速度v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当t＝1时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．

【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．
②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：
①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f（x）在点x0处不可导或无导数．
②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．
③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：
f′（x0）或f′（x0）
导函数的特点：
①导数的定义可变形为：f′（x）；
②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④并不是所有函数都有导函数．
⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．
⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

10．数列的函数特性
【知识点的认识】
1、等差数列的通项公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
2、等比数列的通项公式：an＝a1qn﹣1；前n项和公式Sn（q≠1）
3、用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列，
an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），当d≠0时，an是n的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点．当d＞0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0时，函数是减函数，对应的数列是递减函数．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列：
an＝a1qn﹣1．可用指数函数的性质来理解．
当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，等比数列是递增数列；
当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是递减数列．
当q＝1时，是一个常数列．
当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．

【典型例题分析】
典例1：数列{an}满足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是（　　）
A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）
解：an＝n2+kn+2，
∵不等式an≥a4恒成立，
∴，
解得﹣9≤k≤﹣7，
故选：B．

典例2：设等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（　　）
A．310 B．212 C．180 D．121
解：∵等差数列{an}满足a1＝1，an＞0（n∈N*），设公差为d，则an＝1+（n﹣1）d，
其前n项和为Sn，
∴，
1，，，
∵数列{}也为等差数列，
∴，
∴1，
解得d＝2．
∴Sn+10＝（n+10）2，
（2n﹣1）2，
∴，
由于为单调递减数列，
∴112＝121，
故选：D．
11．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
12．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
13．线性回归方程
【概念】
线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．
【实例解析】
例：对于线性回归方程，则
解：，因为回归直线必过样本中心（），
所以．
故答案为：58.5．
方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求．这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式．
【考点点评】
这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．
14．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
15．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能


起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．

输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．

处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．

判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．

流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点
连接另一页或另一部分的框图

注释框
帮助编者或阅读者理解框图

（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
16．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA，sinB，sinC；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA，
cosB，
cosC
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa•ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A，sin B，sin C；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A，
cos B，
cos C
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa•ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
19．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
21．直线与椭圆的综合
v．
22．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
23．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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日期：2019/4/17 16:39:35；用户：15295542135；邮箱：15295542135；学号：21780078