2017-2018学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科），共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2017秋•辽源期末）已知集合，则（∁RP）∩Q＝（　　）
A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]
2．（5分）（2017秋•城厢区校级期末）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣1）i＞0，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
3．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）（2019•新疆模拟）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
5．（5分）（2018•长沙一模）若函数f（x）的图象如图所示，则m的范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
6．（5分）（2016•衡水万卷模拟）设F1、F2是双曲线x21的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（）•0（ O为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
7．（5分）（2018•安徽模拟）F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
9．（5分）（2017•天心区校级学业考试）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
10．（5分）（2012•张掖模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是（　　）

A． B． C． D．
11．（5分）（2016•宜宾模拟）设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（　　）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）＜g（x）
C．f（x）＝g（x）
D．f（x）与g（x）的大小不确定
12．（5分）（2018•漳州模拟）已知函数f（x）＝ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，+∞）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2018秋•泰州期末）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是　 　．
14．（5分）（2017秋•城厢区校级期末）（x2+x）dx＝　 　．
15．（5分）（2017秋•城厢区校级期末）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是　 　．
16．（5分）（2014•浙江）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　 　．
17．（5分）（2015•金家庄区校级模拟）已知函数f（x）x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则实数t的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（12分）（2017秋•城厢区校级期末）已知f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求f（x）＞x的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m在上解集非空，求m的取值范围．
19．（12分）（2015•天津校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．

20．（13分）（2017春•泉州期末）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4．
（Ⅰ）若f（x）在x＝2处取得极值，且关于x的方程f（x）＝m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．
21．（14分）（2017秋•济宁期末）如图，点是圆内的一个定点，点P是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．

22．（14分）（2018•永定区模拟）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．

2017-2018学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（5分）（2017秋•辽源期末）已知集合，则（∁RP）∩Q＝（　　）
A．（0，1） B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：P＝{x|x≤1}，Q＝{x|}＝{x|}＝{x|0＜x≤2}，
则∁RP＝{x|x＞1}，
则（∁RP）∩Q＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．
2．（5分）（2017秋•城厢区校级期末）已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2﹣1）i＞0，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】由m+（m2﹣1）i＞0，得，求解得到m的值，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵m+（m2﹣1）i＞0，
∴，解得：m＝1．
则．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
4．（5分）（2019•新疆模拟）若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】根据空间线面位置关系的判定或定义进行判断．
【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；
若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；
若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；
若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，属于中档题．
5．（5分）（2018•长沙一模）若函数f（x）的图象如图所示，则m的范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）
【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；44：数形结合法；51：函数的性质及应用．
【分析】根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．
【解答】解：∵当x＞0时，f（x）＞0，∴2﹣m＞0，故m＜2．
f′（x）．
∵f（x）有两个绝对值大于1的极值点，∴m﹣x2＝0有两个绝对值大于1的解，
∴m＞1．
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，奇偶性，特殊点，极限等方面进行判断．
6．（5分）（2016•衡水万卷模拟）设F1、F2是双曲线x21的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点 P，使（）•0（ O为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】设点P（，m），由 0解出 m，根据双曲线的第二定义得e，求出|PF2|的值，再利用第一定义求出|PF1|的值，即得λ值．
【解答】解：由题意得 a＝1，b＝2，∴c，F1（，0），F2 （，0），e．
设点P（，m），∵（，m）•（，m）
＝15+m2＝0，m2，m＝±．
由双曲线的第二定义得 e，∴|PF2|＝2，
∴|PF1|＝2a+|PF2|＝4，∴λ2，
故选：A．
【点评】本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．
7．（5分）（2018•安徽模拟）F1、F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．
【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，
A为双曲线上一点，F1A﹣F2A＝F1A﹣AB＝F1B＝2a，
B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，
由∠ABF2＝60°，则∠F1BF2＝120°，
在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，
得c2＝7a2，则e2＝7，解得e．
故选：D．

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
8．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣5，﹣3] B．[﹣6，] C．[﹣6，﹣2] D．[﹣4，﹣3]
【考点】3R：函数恒成立问题；7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】分x＝0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
【解答】解：当x＝0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a，
令f（x），则f′（x）（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max＝f（1）＝﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min＝f（﹣1）＝﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
9．（5分）（2017•天心区校级学业考试）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所成角的余弦值．
【解答】解：以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，
令AB＝1，则B（1，1，2），E（1，0，1），C（0，1，2），D1（0，0，0），
（0，﹣1，﹣1），（0，﹣1，﹣2），
∴|cos，|＝||．
∴异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．
故选：C．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
10．（5分）（2012•张掖模拟）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点，则点A1到平面DBC1的距离是（　　）

A． B． C． D．
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点，知（），（0，4，2），，设平面BDC1的法向量为，由，，知，由此能求出点A1到平面DBC1的距离．
【解答】解：以AC为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝AA1＝4，点D是AA1的中点，
∴B（2，2，0），C1（0，4，4），D（0，0，2），A1（0，0，4），
∴（），（0，4，2），，
设平面BDC1的法向量为，
∵，，
∴，∴，
∴点A1到平面DBC1的距离d．
故选：A．

【点评】本题考查空间中点、线、面间距离的计算，解题时要认真审题，合理地运用向量法进行求解，向量法求点到面的距离是向量的一个重要运用．
11．（5分）（2016•宜宾模拟）设函数，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f（x）与g（x）的大小关系是（　　）
A．f（x）＞g（x）
B．f（x）＜g（x）
C．f（x）＝g（x）
D．f（x）与g（x）的大小不确定
【考点】4N：对数函数的图象与性质；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】f（x）与x轴的交点（1，0）在g（x）上，所以a+b＝0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出a与b的值，令h（x）＝f（x）﹣g（x），然后利用导数研究该函数在（1，+∞）上的单调性，从而得到正确选项．
【解答】解：f（x）与x轴的交点′（1，0）在g（x）上，
所以a+b＝0，在此点有公切线，即此点导数相等，
f′（x），g′（x）＝a，
以上两式在x＝1时相等，即1＝a﹣b，
又因为a+b＝0，
所以a，b，
即g（x），f（x）＝lnx，
定义域{x|x＞0}，
令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx，
对x求导，得h′（x）
∵x＞1
∴h′（x）＜0
∴h（x）在（1，+∞）单调递减，即h（x）＜0
∴f（x）＜g（x）
故选：B．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的基本性质，同时考查分析问题的能力，属于中档题．
12．（5分）（2018•漳州模拟）已知函数f（x）＝ex（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4M：构造法；53：导数的综合应用．
【分析】求出f′（x），问题转化为b在[，2]恒成立，令g（x），x∈[，2]，求出b的范围即可．
【解答】解：∵f（x）＝ex（x﹣b），
∴f′（x）＝ex（x﹣b+1），
若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
则若存在x∈[，2]，使得ex（x﹣b）+xex（x﹣b+1）＞0，
即存在x∈[，2]，使得b成立，
令g（x），x∈[，2]，
则g′（x）0，
g（x）在[，2]递增，
∴g（x）最大值＝g（2），
故b，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）（2018秋•泰州期末）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是　若ab≠0，则a≠0　．
【考点】21：四种命题．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；5L：简易逻辑．
【分析】根据命题的逆否命题 书写即可
【解答】解：∵：“若a＝0，则ab＝0”
∴逆否命题：若ab≠0，则a≠0
故答案为：若ab≠0，则a≠0
【点评】本题简单的考查了四个命题的概念，准确书写即可．
14．（5分）（2017秋•城厢区校级期末）（x2+x）dx＝　　．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；52：导数的概念及应用．
【分析】利用定积分的法则分步积分以及几何意义解答
【解答】解：dx表示图阴影部分的面积为S＝21π×22；
：（x2+x）dx＝（x3x2）（）﹣（），
故（x2+x）dx．
故答案为：．

【点评】本题考查定积分的计算，利用积分法则分步计算，后半部分结合定积分的几何意义解答，考查学生的计算能力，比较基础
15．（5分）（2017秋•城厢区校级期末）椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，则△AFB的面积是　4　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，AF⊥BF，可得AO＝2，求出A的纵坐标，即可求出三角形△AFB的面积．
【解答】解：椭圆中a＝4，b＝2，c＝2，
∵椭圆上的一点A关于原点的对称点为B，F为它的右焦点，若AF⊥BF，
∴AO＝BO＝OF＝2，
设A（x，y），则x2+y2＝12，
∵椭圆，联立消去x，化简可得|y|，
∴三角形△AFB的面积是224，
故答案为：4．

【点评】本题考查三角形△AFB的面积，考查椭圆的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
16．（5分）（2014•浙江）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是　[]　．
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】59：不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．
【解答】解：由约束条件作可行域如图，
联立，解得C（1，）．
联立，解得B（2，1）．
在x﹣y﹣1＝0中取y＝0得A（1，0）．
要使1≤ax+y≤4恒成立，
则，解得：1．
∴实数a的取值范围是．

解法二：令z＝ax+y，
当a＞0时，y＝﹣ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，
可得，即1≤a；
当a＜0时，y＝﹣ax+z，在C点取得最大值，
①a＜﹣1时，在B点取得最小值，可得，解得0≤a（不符合条件，舍去）
②﹣1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得，解得1≤a（不符合条件，舍去）
综上所述即：1≤a；
故答案为：．

【点评】本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．
17．（5分）（2015•金家庄区校级模拟）已知函数f（x）x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调，则实数t的取值范围是　（0，1）　．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．
【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x﹣3，再由“函数f（x）x2﹣3x+4lnx在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x﹣30在区间（t，t+1）上有解”从而有0在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．
【解答】解：∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx，
∴f′（x）＝﹣x﹣3，
∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，
∴f′（x）＝﹣x﹣30在（t，t+1）上有解
∴0在（t，t+1）上有解
∴g（x）＝x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，
由x2+3x﹣4＝0得：x＝1，或x＝﹣4（舍），
∴1∈（t，t+1），
即t∈（0，1），
故实数t的取值范围是（0，1），
故答案为：（0，1）．
【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．
三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（12分）（2017秋•城厢区校级期末）已知f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）求f（x）＞x的解集；
（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m在上解集非空，求m的取值范围．
【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间时的不等式的解集，取并集即可；
（2）把不等式f（x）≥x2﹣x+m在上解集非空，转化为m≤f（x）﹣x2+x在上解集非空，求出h（x）＝f（x）﹣x2+x在上的最大值即可得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|，
∵f（x）＞x，
∴x＜﹣1时，﹣x+2＞x，解得：x＜﹣1，
﹣1≤x时，﹣3x＞x，解得：x＜0，故﹣1≤x＜0，
x时，x﹣2＞x，无解，
综上，不等式的解集是{x|x＜0}；
（2）不等式f（x）≥x2﹣x+m⇔m≤f（x）﹣x2+x．
由（1）知，f（x），
设h（x）＝f（x）﹣x2+x，则h（x），
∴当﹣1≤x时，h（x）max＝1，
∵不等式f（x）≥x2﹣x+m在上解集非空，
∴m≤1．
【点评】本题考查分段函数的应用，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．
19．（12分）（2015•天津校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，AA1＝3，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．

【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；
（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．
【解答】证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD
∵BCC1B1是矩形，
∴O是B1C的中点．
又D是AC的中点，
∴OD∥AB1．（2分）
∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，
∴AB1∥面BDC1．（4分）
解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则
C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），
D（1，3，0）（5分）
设（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则

即，令x＝1
则（1，，）．（6分）
易知（0，3，0）是面ABC的一个法向量．
∴cos，．（8分）
∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．（9分）
（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．
则，即
∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）

【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．
20．（13分）（2017春•泉州期末）已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4．
（Ⅰ）若f（x）在x＝2处取得极值，且关于x的方程f（x）＝m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若存在x0∈（0，+∞），使得不等式f（x0）＞0成立，求实数a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出导函数，f（x）在x＝2处取得极值，求出a，然后求解函数的极值，通过关于x的方程f（x）＝m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，求解实数m的取值范围；
（Ⅱ）求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合a的取值讨论，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣3x2+2ax由题意得f′（2）＝0，解得a＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
经检验a＝3满足条件﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
f（x）＝﹣x3+3x2﹣4，则f′（x）＝﹣3x2+6x﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
令f′（x）＝0，则x＝0，x＝2（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
﹣1
（﹣1，0）
0
（0，1）
1
f′（x）

﹣
0
+

f（x）
0
↘
﹣4
↗
﹣2
﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
∵关于x的方程f（x）＝m在[﹣1，1]上恰有两个不同的实数根，
∴﹣4＜m≤﹣2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
（Ⅱ）由题意得，f（x）max＞0即可
f（x）＝﹣x3+ax2﹣4，f′（x）＝﹣3x2+2ax＝﹣3x（xa）
①若a≤0，则当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减．
∵f（0）＝﹣4＜0∴当x＞0时，f（x）＜﹣4＜0
∴当a≤0时，不存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
②当a＞0时f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，a）
a
（a，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↗
4
↘
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）max＝f（a）4
由4＞0得a＞3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
综上得a＞3．
另：第2小题可以分离参数，可按步得分．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大．
21．（14分）（2017秋•济宁期末）如图，点是圆内的一个定点，点P是圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆A上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）点E（2，0），F（0，1），直线QE与y轴交于点M，直线QF与x轴交于点N，求|EN|•|FM|的值．

【考点】J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5B：直线与圆．
【分析】（1）直接利用定义求出椭圆的方程．
（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果
【解答】解：（1）因为点Q在BP的垂直平分线上，所以|QB|＝|QP|，
∴|QA|+|QB|＝|QA|+|QP|＝4，
从而点Q的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
这时，a＝2，，
∴b＝1，
所以曲线C的方程为．
（2）由题设知，直线的斜率存在．
设直线QE的方程为y＝k（x﹣2），Q（x1，y1），E（x2，y2），
由，
得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4＝0，
因为，x2＝2，
所以，
所以，
因为点F，N，Q共线，
kFN＝kFQ，
所以，
即，
又直线QE与y轴的交点纵坐标为yM＝﹣2k，
所以，
|FM|＝|1﹣yM|＝|1+2k|，
所以|EN|•|FM|＝4．
【点评】本题考查的知识要点：椭圆的方程的求法及应用，直线与曲线的位置关系式的应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．
22．（14分）（2018•永定区模拟）已知常数a＞0，函数f（x）＝ln（1+ax）．
（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；
（2）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ln（1+ax），x∈（0，+∞），
∴f′（x），
∵（1+ax）（x+2）2＞0，∴当1﹣a≤0时，即a≥1时，f′（x）≥0恒成立，
则函数f（x）在（0，+∞）单调递增，
当0＜a≤1时，由f′（x）＝0得x＝±，
则函数f（x）在（0，）单调递减，在（ ，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，当a≥1时，f′（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．
因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜1，
又f（x）的极值点值可能是x1，x2，
且由f（x）的定义域可知x且x≠﹣2，
∴且2，解得a，
则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，
∴f（x1）+f（x2）
＝ln[1+ax1]ln（1+ax2）
＝ln[1+a（x1+x2）+a2x1x2]
＝ln（2a﹣1）2
＝ln（2a﹣1）22．
令2a﹣1＝x，由0＜a＜1且a得，
当0＜a时，﹣1＜x＜0；当a＜1时，0＜x＜1．
令g（x）＝lnx22．
（i）当﹣1＜x＜0时，g（x）＝2ln（﹣x）2，
∴g′（x）0，
故g（x）在（﹣1，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣1）＝﹣4＜0，
∴当0＜a时，f（x1）+f（x2）＜0；
（ii）当0＜x＜1．g（x）＝2lnx2，g′（x）0，
故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）＝0，
∴当a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；
综上所述，a的取值范围是（，1）．
【点评】本题主要考查学生对含有参数的函数的单调性及极值的判断，考查利用导数判断函数的单调性及求极值的能力，考查分类讨论思想及转化划归思想的运用和运算能力，逻辑性综合性强，属难题．

考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求补律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．

【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．四种命题
【知识点的认识】
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
【解题方法点拨】
理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．

【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．
3．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
4．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．

【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．

解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
5．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
⇒a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
6．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】

7．定积分、微积分基本定理
【定积分】
　定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．

【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．

例1：定积分
解：
∫12|3﹣2x|dx

＝（3x﹣x2）|（x2﹣3x）|

通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
8．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
9．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
10．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
11．不等式恒成立的问题
v．
12．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
13．其他不等式的解法
【知识点的知识】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
．
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．

（4）指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

15．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
16．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
17．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
18．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

19．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α

20．平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
两平面平行
无
α∥β

两平面相交
有一条公共直线
α∩β＝l

21．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
22．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
23．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
24．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


25．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|﹣a＜x＜a}
∅
∅
|x|＞a
{x|x＞a，或x＜﹣a}
{x|x≠0}
R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c⇔﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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