2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科），共49页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）向量，若，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3
2．（5分）（2014秋•清远期末）已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．10
4．（5分）（2015•湖南一模）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
收入x
12.3
14.5
15.0
17.0
19.8
20.6
支出Y
5.63
5.75
5.82
5.89
6.11
6.18
根据统计资料，则（　　）
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
5．（5分）（2019•乌鲁木齐一模）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）点集Ω＝{（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A＝{（x，y）|y≥ex，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）下列说法错误的是（　　）
A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件．
B．已知A，B，C不共线，若，则P是△ABC的重心．
C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．
D．命题“若α，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．
8．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）若双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）设函数f（x）x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（0，3]
12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是　 　．
14．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）由动点P向圆x2+y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝120°，则动点P的轨迹方程为　 　．
15．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值是　 　．

16．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）
17．（10分）（2017秋•习水县期末）已知过抛物线y2＝8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．
（1）求线段AB的长度；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
18．（12分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知关于x的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A＝{﹣1，1，2}和B＝{﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
19．（12分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2
（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；
（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．

20．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
21．（12分）（2018•中山市一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
22．（12分）（2018•铁东区校级二模）设函数
（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．
（2）设g（x）＝f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．
（A）求实数a的取值范围；
（B）求证：．

2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）向量，若，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．3
【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵向量，，
∴4+4x﹣8＝0，
解得x＝3．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）（2014秋•清远期末）已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】64：导数的加法与减法法则．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】求f′（1）需要先求出函数f（x）＝x+lnx的导数，由解析式的形式可以看出，需要用和的求导公式求导数
【解答】解：∵f（x）＝x+lnx，
∴f′（x）＝1
∴f′（1）＝12
故选：B．
【点评】本题考查导数加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握导数的加法与减法法则以及对数的求导公式，导数以其工具性在高考中的应用越来越广泛，在高考中的地位近几年稳步提高，应加强对其运算公式的掌握，提高应用的熟练程度．
3．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．10
【考点】B3：分层抽样方法．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果．
【解答】解：设高一学生有x人，则高三有2x，高二有x+300，
∵高一、高二、高三共有学生3500人，
∴x+2x+x+300＝3500，
∴x＝800，
∵按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，
∴应抽取高一学生数为8
故选：A．
【点评】本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现．
4．（5分）（2015•湖南一模）某公司在2014年上半年的收入x（单位：万元）与月支出y（单位：万元）的统计资料如下表所示：
月份
1月份
2月份
3月份
4月份
5月份
6月份
收入x
12.3
14.5
15.0
17.0
19.8
20.6
支出Y
5.63
5.75
5.82
5.89
6.11
6.18
根据统计资料，则（　　）
A．月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B．月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C．月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D．月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
【考点】BG：变量间的相关关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5I：概率与统计．
【分析】月收入的中位数是16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系．
【解答】解：月收入的中位数是16，收入增加，支出增加，故x与y有正线性相关关系，
故选：C．
【点评】本题考查变量间的相关关系，考查学生的计算能力，比较基础．
5．（5分）（2019•乌鲁木齐一模）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案
【解答】解：设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，
从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，
根据题设其中Ab，Ac，Bc是胜局共三种可能，
则田忌获胜的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查等可能事件的概率，涉及用列举法列举基本事件，注意按一定的顺序，做到不重不漏．
6．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）点集Ω＝{（x，y）|0≤x≤e，0≤y≤e}，A＝{（x，y）|y≥ex，（x，y）∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a，则a∈A的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4G：演绎法；52：导数的概念及应用．
【分析】由题意首先求得面积值，然后利用几何概型计算公式整理计算即可求得最终结果．
【解答】解：点集Ω表示的平面区域的面积为：，
集合A所表示的平面区域如图所示，其面积为：，
结合几何概型计算公式可得所求的概率值为：．
故选：B．

【点评】本题考查了几何概型的计算，定积分及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
7．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）下列说法错误的是（　　）
A．“函数f（x）的奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件．
B．已知A，B，C不共线，若，则P是△ABC的重心．
C．命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”．
D．命题“若α，则cos”的逆否命题是：“若cos，则”．
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑．
【分析】由奇函数的性质：函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，
则f（0）＝0，结合充分必要条件的定义，即可判断A；
运用向量的中点表示，结合三角形的重心，即可判断B；
由特称命题的否定为全称命题，即可判断C；
由原命题的逆否命题的形式，即可判断D．
【解答】解：对于A，函数f（x）为奇函数，若f（0）有意义，则f（0）＝0，
则“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的非充分非必要条件，故A错误；
对于B，已知A，B，C不共线，若，可得2，（D为AB的中点），
即有P在AB的中线上，同理P也在BC的中线上，在CA的中线上，则P是△ABC的重心，故B正确；
对于C，命题“∃x0∈R，sinx0≥1”的否定是：“∀x∈R，sinx＜1”，由命题的否定形式，可得C正确；
对于D，由逆否命题的形式可得，命题“若α，则cosα”的逆否命题为“若cosα，则α”，
故D正确．
故选：A．
【点评】本题考查命题的真假判断，主要是充分必要条件的判断和三角形的重心的向量表示，以及命题的否定和命题的逆否命题，考查分析问题和判断能力，属于基础题．
8．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）过双曲线的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为直角三角形，则此双曲线离心率的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出双曲线的右焦点，令x＝c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，△ABD为直角三角形，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可．
【解答】解：设双曲线的右焦点F2（c，0），
令x＝﹣c，可得y＝±，可得A（c，），B（c，），
又设D（0，b），
△ABD为直角三角形，可得∠DBA＝90°，即b或∠BDA＝90°，即0，
解：b可得a＝b，c，所以e；
由0，可得：（c，）（c，）＝0，
可得c2+b20，可得e4﹣4e2+2＝0，e＞1，可得e，
综上，e或．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
9．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）若双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据题意，双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，解可得m，即可得双曲线的方程，由渐近线方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线x2+my2＝m（m∈R）的焦距4，
可得2c＝4，
解可得m＝﹣3，
则双曲线的方程为：，
其渐近线方程为：y＝±x；
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的标准方程、渐近线方程，注意焦距为2c以及m的符号．
10．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．
【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，
在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，
则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，
∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线面角问题，求线面角关键由题意过线上一点作出面的垂线，再求线面角的正弦值，是基础题．
11．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）设函数f（x）x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．[4，+∞） C．（﹣∞，2] D．（0，3]
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；52：导数的概念及应用．
【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．
【解答】解：∵f（x）x2﹣9lnx，
∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）＝x，
∵x＞0，∴由f′（x）＝x0，得0＜x＜3．
∵函数f（x）x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，
∴，解得1＜a≤2．
故选：A．
【点评】此题是个中档题．考查学生掌握利用导数研究函数的单调性，以及分析解决问题的能力．
12．（5分）（2014•新课标Ⅱ）设函数f（x）sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．菁优网版权所有
【专题】57：三角函数的图象与性质．
【分析】由题意可得，f（x0）＝±，且 kπ，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 m2+3，由此求得m的取值范围．
【解答】解：由题意可得，f（x0）＝±，即 kπ，k∈z，即 x0m．
再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，
∴m2 m2+3，∴m2＞4．
求得 m＞2，或m＜﹣2，
故选：C．
【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是　[﹣2，2]　．
【考点】2I：存在量词和特称命题；2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x2+2ax+1≥0，根据命题否定是真命题，利用△≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，
命题否定是真命题，
∴△＝（﹣a）2﹣4≤0
∴﹣2≤a≤2．
实数a的取值范围是：[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，解题的关键是利用命题的否定与原命题的对立关系，写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况．
14．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）由动点P向圆x2+y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，若∠APB＝120°，则动点P的轨迹方程为　x2+y2　．
【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】根据切线的性质可得OP，从而得出P点的轨迹方程．
【解答】解：连接OP，AB，OA，OB，
∵PA，PB是单位圆O的切线，
∴PA＝PB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OPA＝∠OPB∠APB＝60°，
又OA＝OB＝1，∴OP，
∴P点轨迹为以O为圆心，以为半径的圆，
∴P点轨迹方程为x2+y2．
故答案为：x2+y2．

【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值是　　．

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．
【分析】根据程序框图转化为一个关系式，利用特殊角的三角函数值化简，可得出所求的结果．
【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S＝sinsinsin的值，
由于sin，k∈Z的取值周期为6，且2017＝336×6+1，
所以S＝sinsinsin336×（sinsinsin）+sin．
故答案为：．
【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，循环结构，以及特殊角的三角函数值，认清程序框图，找出规律是解本题的关键，属于基础题．
16．（5分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x+1（e为自然对数的底数），若f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2，则实数x的取值范围为　（﹣1，3）　．
【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意，令g（x）＝f（x）﹣1＝ex﹣e﹣x，分析可得g（x）为奇函数且为增函数，对f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2变形分析可得g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），结合g（x）的单调性分析可得2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，令g（x）＝f（x）﹣1＝ex﹣e﹣x，
有g（﹣x）＝f（﹣x）﹣1＝e﹣x﹣ex＝﹣g（x），则g（x）为奇函数，
对于g（x）＝ex﹣e﹣x，其导数g′（x）＝ex+e﹣x＞0，则g（x）为增函数，
且g（0）＝e0﹣e0＝0，
f（2x﹣1）+f（4﹣x2）＞2⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣f（4﹣x2）+1⇒f（2x﹣1）﹣1＞﹣[f（4﹣x2）﹣1]⇒g（2x﹣1）＞g（x2﹣4），
又由函数g（x）为增函数，
则有2x﹣1＞x2﹣4，即x2﹣2x﹣3＜0
解可得：﹣1＜x＜3，
即实数x的取值范围为（﹣1，3）；
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查函数的奇偶性．单调性的综合应用，关键是分析函数g（x）＝f（x）﹣1的奇偶性与单调性．
三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其余各题各12分，共70分）
17．（10分）（2017秋•习水县期末）已知过抛物线y2＝8x的焦点，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．
（1）求线段AB的长度；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意求得焦点坐标，得到直线方程，和抛物线方程联立，利用弦长公式求得p，则抛物线方程可求；
（2）由（1）求出A，B的坐标结合，求出C的坐标，代入抛物线方程求得λ值
【解答】解：（1）直线AB的方程是y＝2 （x﹣2），与y2＝8x联立，消去y得x2﹣5x+4＝0，
由根与系数的关系得x1+x2＝5．
由抛物线定义得|AB|＝x1+x2+p＝9，
（2）由x2﹣5x+4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A（1，﹣2），B（4，4）．
设（x3，y3）＝（1，﹣2）+λ（4，4）＝（4λ+1，4λ﹣2），
又y2＝8x3，
即[2（2λ﹣1）]2＝8（4λ+1），
即（2λ﹣1）2＝4λ+1，
解得λ＝0或λ＝2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法，训练了向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．
18．（12分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知关于x的二次函数f（x）＝ax2﹣4bx+1．
（Ⅰ）设集合A＝{﹣1，1，2}和B＝{﹣2，﹣1，1}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
【考点】3V：二次函数的性质与图象；7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5I：概率与统计；5T：不等式．
【分析】（Ⅰ）利用函数的单调性，推出a，b的关系，求出（a，b）的取法总数，是增函数的个数，然后求解概率即可．
（Ⅱ）画出可行域，求出可行域的面积，利用（Ⅰ）中的a、b关系，求出面积，通过几何概型求解即可．
【解答】解：要使函数y＝f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，需a＞0且，即a＞0且2b≤a．
（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为3×3＝9个．
满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1）共5个，
所以所求概率．
（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．
由，求得．所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．
所以所求概率．

【点评】本题考查线性规划的应用，几何概型以及古典概型的应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（12分）（2017秋•龙凤区校级期末）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，E为AB的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2
（1）在棱PD上求一点F，使AF∥平面PEC；
（2）求二面角D﹣PE﹣A的余弦值．

【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出F为PD中点，使AF∥平面PEC．
（2）求出平面PEA的法向量和平面PED的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣PE﹣A的余弦值．
【解答】解：（1）以BD为x轴，CA为y轴，AC与BD的交点为O，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系．
A（0，1，0），，C（0，﹣1，0），，P（0，1，2），
设，，，
则（）．
设平面PEC的法向量为（x，y，z），，，
则，∴，取y＝﹣1，得（，﹣1，1）．
∵AF∥平面PEC，
∴3λ+λ+2﹣2λ＝0，解得，
∴F为PD中点．
（2）（，，0），（，，0），
设平面PEA的法向量（x，y，z），
则，取x，得平面PEA的法向量（，﹣3，0），
设平面PED的法向量（x，y，z），
则，取x，得（），
cos，
由二面角D﹣PE﹣A为锐二面角，
因此，二面角D﹣PE﹣A的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20．（12分）（2013•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求导函数，利用导数的几何意义及曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4，建立方程，即可求得a，b的值；
（Ⅱ）利用导数的正负，可得f（x）的单调性，从而可求f（x）的极大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ex（ax+b）﹣x2﹣4x，
∴f′（x）＝ex（ax+a+b）﹣2x﹣4，
∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4
∴f（0）＝4，f′（0）＝4
∴b＝4，a+b＝8
∴a＝4，b＝4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝4ex（x+1）﹣x2﹣4x，
f′（x）＝4ex（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（ex），
令f′（x）＝0，得x＝﹣ln2或x＝﹣2
∴x∈（﹣∞，﹣2）或（﹣ln2，+∞）时，f′（x）＞0；x∈（﹣2，﹣ln2）时，f′（x）＜0
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，﹣2），（﹣ln2，+∞），单调减区间是（﹣2，﹣ln2）
当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
21．（12分）（2018•中山市一模）已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．
【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2＝2，利用点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，可得b＝|OM|＝1，从而可得椭圆的方程；
（II）①当直线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，进而可得直线AN，BN的斜率，即可求得结论；②当直线l的斜率存在时，直线l的方程为：y＝k（x﹣1），代入，利用韦达定理及斜率公式可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2＝2，
∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，
∴b＝|OM|＝1，
∴．…（3分）
∴椭圆的方程为．…（4分）
（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．
设，，则为定值．…（5分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1）．
将y＝k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3＝0．…（6分）
依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．…（7分）
又y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
所以

．．…．…（13分）
综上得k1+k2为常数2..…．…（14分）
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查分类讨论的数学思想，联立方程，利用韦达定理是关键．
22．（12分）（2018•铁东区校级二模）设函数
（1）当x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围．
（2）设g（x）＝f（x）﹣x在[1，e2]上有两个极值点x1，x2．
（A）求实数a的取值范围；
（B）求证：．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．
【分析】（1）转化不等式为．令，求出．通过①当a≤0时，②当0＜a＜2时，③当a＞2时，④当a＝2时，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的最值，即可得到a的范围；
（2）化简，x∈[1，e2]．取得导函数g'（x）＝lnx﹣ax．通过求解，
（A）利用①当时，②当a≥1时，③当时，判断函数的单调性，求解最值，得到a的范围；
（B）证明：由已知lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，推出lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2）．不妨设x1＜x2，则，令，（0＜x＜1）．利用函数的导数判断单调性，转化推出结果即可．
【解答】解：（1）∵，且x＞0，
∴．
令，则．
①当a≤0时，U'（x）＞0，U（x）在（1，+∞）上为单调递增函数，
∴x＞1时，U（x）＞U（1）＝0，不合题意．
②当0＜a＜2时，时，U'（x）＞0，U（x）在上为单调递增函数，
∴，U（x）＞U（1）＝0，不合题意．
③当a＞2时，，U'（x）＜0，U（x）在上为单调递减函数．
∴时，U（x）＞U（1）＝0，不合题意．
④当a＝2时，x∈（0，1），U'（x）＞0，U（x）在（0，1）上为单调递增函数．
x∈（1，+∞），U'（x）＜0，U（x）在（1，+∞）上为单调递减函数．
∴U（x）≤0，符合题意．
综上，a＝2．
（2），x∈[1，e2]．g'（x）＝lnx﹣ax．
令h（x）＝g'（x），则
由已知h（x）＝0在（1，e2）上有两个不等的实根．
（A）①当时，h'（x）≥0，h（x）在（1，e2）上为单调递增函数，不合题意．
②当a≥1时，h'（x）≤0，h（x）在（1，e2）上为单调递减函数，不合题意．
③当时，，h'（x）＞0，，h'（x）＜0，
所以，h（1）＜0，，h（e2）＜0，解得．
（B）证明：由已知lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，
∴lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2）．
不妨设x1＜x2，则，
则
．
令，（0＜x＜1）．
则，∴G（x）在（0，1）上为单调递增函数，
∴
即，
∴，
∴，
∴，
由（A），
∴ae＜1，2ae＜2，
∴．
【点评】本题考查函数与导数的应用，考查方式讨论，转化思想的应用，二次求导，判断单调性函数的最值，难度比较大．

考点卡片
1．存在量词和特称命题
【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∃
特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．


【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．
“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．
命题
全称命题x∈M，p（x）
特称命题x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在∃x0∈M，使p（x0）成立
②对一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立
③对每一个x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④对任给一个x∈M，使p（x）成立
④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，则p（x）成立
⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立
解题方法点拨：由于全称量词的否定是存在量词，而存在量词的否定又是全称量词；因此，全称命题的否定一定是特称命题；特称命题的否定一定是全称命题．命题的“否定”与一个命题的“否命题”是两个不同的概念，对命题的否定是否定命题所作的判断，而否命题是对“若p 则q”形式的命题而言，既要否定条件，也要否定结论．

常见词语的否定如下表所示：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
词语
且
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
词语的否定
或
一个也没有
至多有n﹣1个
至少有两个
存在一个x不成立
命题方向：本考点通常与全称命题的否定，多以小题出现在填空题，选择题中．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．

【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝　　．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x）⇒a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
4．二次函数的性质与图象
【二次函数】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【二次函数的性质】
二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．
这里面略谈一下他的一些性质．
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1•x2；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
【命题方向】
熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点．
5．导数的加法与减法法则
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）

【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（　　）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．

题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（　　）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．

【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
10．分层抽样方法
【知识点的认识】
1．定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”．
2．三种抽样方法比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的
从总体中逐个抽取

总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
【解题方法点拨】
分层抽样方法操作步骤：
（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；
（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；
（3）确定各层应抽取的样本容量；
（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本．
【命题方向】
（1）区分分层抽样方法
例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（　　）
A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法
分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
解答：总体由男生和女生组成，比例为500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故选D
点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题．
（2）求抽取样本数
例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（　　）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数．
解答：每个个体被抽到的概率等于，549，427．
故从一班抽出9人，从二班抽出7人，
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．
例2：某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（　　）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．
解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，
所以样本容量为15．
故选C．
点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值．
11．变量间的相关关系
【知识点的知识】
1、变量之间的相关关系
两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．

2、线性相关和非线性相关：
两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．

3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系
（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．
（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
12．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．

【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（　　）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D

典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级
1
2
3
4
5
频率
0.05
m
0.15
0.35
n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
13．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
14．程序框图
【知识点的知识】
1．程序框图
（1）程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形；
（2）构成程序框的图形符号及其作用
程序框
名称
功能


起止框
表示一个算法的起始和结束，是任何算法程序框图不可缺少的．

输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置．

处理框
赋值、计算．算法中处理数据需要的算式、公式等，它们分别写在不同的用以处理数据的处理框内．

判断框
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”．

流程线
算法进行的前进方向以及先后顺序

连结点
连接另一页或另一部分的框图

注释框
帮助编者或阅读者理解框图

（3）程序框图的构成．
一个程序框图包括以下几部分：实现不同算法功能的相对应的程序框；带箭头的流程线；程序框内必要的说明文字．
15．正弦函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
16．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
17．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e（0＜e＜1）
e（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
18．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

19．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
20．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
21．空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系
公共点个数
符号表示
图示
直线在平面内
有无数个公共点
a⊂α

直线和平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A

直线和平面平行
无
a∥α

22．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
23．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
24．空间向量的夹角与距离求解公式
【知识点的认识】
1．空间向量的夹角公式
设空间向量（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），
cos
注意：
（1）当cos1时，与同向；
（2）当cos1时，与反向；
（3）当cos0时，⊥．
2．空间两点的距离公式
设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则

dA，B＝||．
【解题思路点拨】
1．求空间两条直线的夹角
建系→写出向量坐标→利用公式求夹角
2．求空间两点的距离
建系→写出点的坐标→利用公式求距离．
【命题方向】
（1）利用公式求空间向量的夹角
例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
分析：由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos，可得答案．
解答：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），
所以 ，
所以═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且||＝3，||，
所以cos，，
∴的夹角为60°
故选C．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题．
（2）利用公式求空间两点的距离
例：已知空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），则A，B两点间的距离是（　　）
A.3 B. C. D.5
分析：求出AB对应的向量，然后求出AB的距离即可．
解答：因为空间直角坐标系中两点A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），
所以（﹣3，0，﹣4），所以5．
故选D．
点评：本题考查空间两点的距离求法，考查计算能力．

25．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/4/17 23:57:10；用户：17888821690；邮箱：17888821690；学号：24433374