2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合M＝{x|x2﹣x≥0}，N＝{x|x≥2}，则M∩N＝（ ）
A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x≥2}D．{x|x≥1或x≤0}
2．（4分）设a＝ln10，b＝ln100，c＝（ln10）2，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
3．（4分）曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处切线的倾斜角为α，则tanα＝（ ）
A．2B．-43C．﹣1D．0
4．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f（x）不一定存在零点的是（ ）
A．（1，2）B．[1，3]C．[2，5）D．（3，5）
5．（4分）已知函数f（x）＝（ex+e﹣x）ln1-x1+x，若f（a）＝1，则f（﹣a）＝（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．3
6．（4分）在y＝2x，y＝lg2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
7．（4分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣e﹣x+12在（0，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，1e)B．(-1e，e)C．(-∞，e)D．(-e，1e)
8．（4分）函数f（x）＝ln（x+a）-xx+1存在两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围是（ ）
A．(34，1)∪(1，+∞)B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）D．(-∞，34)
9．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a，则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣x+1，记f1（x）＝f（x），当n≥2时，fn（x）＝fn﹣1（f（x）），则对于下列结论正确的是（ ）
A．f5（x）在(12，+∞)单调递增
B．f5（x）在(12，+∞)单调递减
C．f5（x）在(12，1)单调递减，（1，+∞）单调递增
D．f5（x）在(12，1)单调递增，（1，+∞）单调递减
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）i是虚数单位，设z=1-i1+i+2i，则z＝ ，|z|＝ ．
12．（6分）已知函数f（x）=3x+2，x＜12x，x≥1，则f（0）＝ ，f（f（0））＝ ．
13．（6分）设条件p：|x|≤m（m＞0），q：﹣1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为 ，若p是q的必要条件，则m的最小值为 ．
14．（6分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1，设x＝1是f（x）的极值点，则a＝ ，f（x）的单调增区间为 ．
15．（4分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），则f（2019）＝ ．
16．（4分）函数f（x）=x2，x≥0-x2，x＜0，若对于在意实数x∈[﹣1，1]，f（x+a）≥4f（x），则实数a的取值范围为 ．
17．（4分）已知函数f（x）＝sinx，若方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0在(0，5π6)内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）记函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域为M，g（x）＝lg[（x+a+2）（﹣x﹣a+1）]的定义域为N．（1）求M；（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．
19．（15分）f（x）＝3x2﹣2（1+a）x+a．
（1）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为3，求a的值；
（2）设函数f（x）在[0，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
20．（15分）已知函数f(x)=13x3+12．
（1）求曲线y＝f（x）在点P(1，56)处的切线与x轴和y轴围成的三角形面积；
（2）若过点（2，a）可作三条不同直线与曲线y＝f（x）相切，求实数a的取值范围．
21．（15分）已知函数f（x）＝ex-12ax2-b．
（1）当a＝1，b＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的值域；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求a+b的最大值．
22．（15分）已知a＞0，函数f（x）＝ex+3ax2﹣2ex﹣a+1，
（1）若函数f（x）在[0，1]上单调递减，求a的取值范围；
（2）|f（x）|≤1对任意x∈[0，1]恒成立，求a的取值范围．
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）已知集合M＝{x|x2﹣x≥0}，N＝{x|x≥2}，则M∩N＝（ ）
A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x≥2}D．{x|x≥1或x≤0}
【解答】解：M＝{x|x≤0，或x≥1}；
∴M∩N＝{x|x≥2}．
故选：C．
2．（4分）设a＝ln10，b＝ln100，c＝（ln10）2，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【解答】解：∵2＜ln10；
∴ln10＜ln100＝2ln10＜（ln10）2；
∴c＞b＞a．
故选：D．
3．（4分）曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处切线的倾斜角为α，则tanα＝（ ）
A．2B．-43C．﹣1D．0
【解答】解：y＝x3﹣x的导数为y′＝3x2﹣1，
曲线y＝x3﹣x在点（1，0）处切线的斜率为3﹣1＝2，
即tanα＝2．
故选：A．
4．（4分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在下列区间中，函数f（x）不一定存在零点的是（ ）
A．（1，2）B．[1，3]C．[2，5）D．（3，5）
【解答】解：由图表可知，f（1）＝3，f（2）＝﹣1，f（3）＝2，f（5）＝0．
由f（1）•f（2）＜0，可知函数f（x）在（1，2）上一定有零点；
则函数f（x）在[1，3]上一定有零点；
由f（2）•f（3）＜0，可知函数f（x）在（2，3）上一定有零点，
则函数f（x）在[2，5）上一定有零点；
由f（3）＞0，f（5）＝0，可知f（x）在（3，5）上不一定有零点．
∴函数f（x）不一定存在零点的是（3，5）．
故选：D．
5．（4分）已知函数f（x）＝（ex+e﹣x）ln1-x1+x，若f（a）＝1，则f（﹣a）＝（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．3
【解答】解：f(a)=(ea+e-a)ln1-a1+a=1；
∴f(-a)=(e-a+ea)ln1+a1-a=-(e-a+ea)ln1-a1+a=-1．
故选：B．
6．（4分）在y＝2x，y＝lg2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立的函数的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解答】解：对于y＝2x有f(x1+x22)=2x1+x22
f(x1+x2)2=2x1+x22=2x1+x2-1
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1+x22＞x1+x2-1
∴f(x1+x22)＞f(x1+x2)2恒成立
对于y＝lg2x有f(x1+x22)=lg2(x1+x22)，f(x1+x2)2=lg2(x1+x2)2=lg2x1+x2
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1+x22＜x1+x2，
∴f(x1+x22)＜f(x1+x2)2
故选：B．
7．（4分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣e﹣x+12在（0，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，1e)B．(-1e，e)C．(-∞，e)D．(-e，1e)
【解答】解：当a＞0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
要使函数f（x）在（0，+∞）上存在零点，则f（0）＝lna-12＜0，即0＜a＜e；
当a≤0时，函数f（x）在（﹣a，+∞）上单调递增，
此时函数f（x）的值域（﹣∞，+∞），则f（x）在（0，+∞）上存在零点．
综上可得，a∈（﹣∞，e）．
故选：C．
8．（4分）函数f（x）＝ln（x+a）-xx+1存在两个不同的极值点x1，x2，则实数a的取值范围是（ ）
A．(34，1)∪(1，+∞)B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）D．(-∞，34)
【解答】解：f（x）的定义域是（﹣a，+∞），
f′（x）=1x+a-x+1-x(x+1)2=1x+a-1(x+1)2=x2+x+1-a(x+a)(x+1)2，
令h（x）＝x2+x+1﹣a，
若函数f（x）存在两个不同的极值点x1，x2，
则x2+x+1﹣a＝0在（﹣a，+∞）有2个不同的根，
∴a2﹣a+1﹣a＞0 ①
-12＞-a②
1﹣4（1﹣a）＞0 ③
①②③联立得34＜a＜1或a＞1．
故选：A．
9．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+a，则“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1，则函数f（x）的值域为[a﹣1，+∞），
且f（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）为增函数，
∵f（f（x））的值域与f（x）的值域相同，
∴a﹣1≤1，
解得a≤2，
故“a＜0”是“f（f（x））的值域与f（x）的值域相同”的充分不必要条件，
故选：B．
10．（4分）已知函数f（x）＝x2﹣x+1，记f1（x）＝f（x），当n≥2时，fn（x）＝fn﹣1（f（x）），则对于下列结论正确的是（ ）
A．f5（x）在(12，+∞)单调递增
B．f5（x）在(12，+∞)单调递减
C．f5（x）在(12，1)单调递减，（1，+∞）单调递增
D．f5（x）在(12，1)单调递增，（1，+∞）单调递减
【解答】解：根据题意，函数f1（x）＝f（x）＝x2﹣x+1＝（x-12）2+34，在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，且f（x）≥34；
对于f2（x）＝f（f（x）），令t＝f（x），则t≥34，则f2（x）在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，
对于f3（x）＝f2（f（x）），则f3（x）＝f2（t），
t＝f（x），在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，且t≥34，
而f2（x）在（12，+∞）递增，
则f3（x）在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，
对于f4（x）＝f3（f（x）），则f4（x）＝f3（t），
t＝f（x），在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，且t≥34，
而f3（x）在（12，+∞）递增，
则f4（x）在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，
对于f5（x）＝f4（f（x）），则f5（x）＝f4（t），
t＝f（x），在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，且t≥34，
而f4（x）在（12，+∞）递增，
则f5（x）在（﹣∞，12）上递减，在（12，+∞）递增，
故选：A．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．
11．（6分）i是虚数单位，设z=1-i1+i+2i，则z＝ i ，|z|＝ 1 ．
【解答】解：∵z=1-i1+i+2i=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=i，
∴|z|＝1．
故答案为：i；1．
12．（6分）已知函数f（x）=3x+2，x＜12x，x≥1，则f（0）＝ 2 ，f（f（0））＝ 4 ．
【解答】解：函数f（x）=3x+2，x＜12x，x≥1，
∴f（0）＝3×0+2＝2，
f（f（0））＝f（2）＝22＝4．
故答案为：2，4．
13．（6分）设条件p：|x|≤m（m＞0），q：﹣1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为 1 ，若p是q的必要条件，则m的最小值为 4 ．
【解答】解：条件p：|x|≤m，可得：﹣m≤x≤m．条件q：﹣1≤x≤4，
若p是q的充分条件，则﹣m≥﹣1，且m≤4，解得0＜m≤1，
则m最大值为1，
p是q的必要条件，则﹣m≤﹣1且m≥4，解得m≥4，
则m的最小值为4，
故答案为：1，4
14．（6分）已知函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1，设x＝1是f（x）的极值点，则a＝ 1e ，f（x）的单调增区间为 （1，+∞） ．
【解答】解：∵函数f（x）＝aex﹣lnx﹣1．
∴x＞0，f′（x）＝aex-1x，
∵x＝1是f（x）的极值点，
∴f′（1）＝ae﹣1＝0，解得a=1e，
∴f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝ex﹣1-1x，
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）单调递增，
故答案为：1e，（1，+∞）．
15．（4分）已知偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），则f（2019）＝ 0 ．
【解答】解：∵f（x）是偶函数，对f（x+6）﹣f（x）＝2f（3），取x＝﹣3得，f（3）﹣f（﹣3）＝2f（3）；
∴f（3）＝0；
∴f（x+6）＝f（x）；
∴f（x）的周期为6；
∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝0．
故答案为：0．
16．（4分）函数f（x）=x2，x≥0-x2，x＜0，若对于在意实数x∈[﹣1，1]，f（x+a）≥4f（x），则实数a的取值范围为 [1，+∞） ．
【解答】解：当x≥0时，f（x）为增函数，且f（x）≥0，
当x＜0时，f（x）为增函数，且f（x）＜0，
综上f（x）在R上为增函数，
且4f（x）＝f（2x），
则不等式f（x+a）≥4f（x）等价为f（x+a）≥f（2x），
即x+a≥2x在x∈[﹣1，1]，上恒成立，
即a≥x在x∈[﹣1，1]，上恒成立，
∵﹣1≤x≤1，
∴a≥1，
即实数a的取值范围是[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）
17．（4分）已知函数f（x）＝sinx，若方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0在(0，5π6)内有两个不同的解，则实数m的取值范围为 0＜m＜112或﹣2＜m＜-14 ．
【解答】解：令t＝f（x）＝sinx，
则方程 等价为3t2﹣t+m＝0，
即m＝﹣3t2+t＝﹣3（t-16）2+112，
由t＝f（x）＝sinx得当t＝1或0＜t≤12时，t＝sinx只有一个根，
当12＜t＜1时，t＝sinx有两个不同的根，
若t＝1，此时m＝﹣3+1＝﹣2，
此时方程3t2﹣t﹣2＝0得（t﹣1）（3t+2）＝0，得t＝1或t=-23，当t=-23时，t＝sinx无解，此时方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0在(0，5π6)内只有一个解不满足条件．
若方程3（f（x））2﹣f（x）+m＝0在(0，5π6)内有两个不同的解，
等价为①当0＜t≤12时，m＝﹣3t2+t＝﹣3（t-16）2+112有两个不同的交点，
即0＜m＜112，
或者②当12＜t＜1时，m＝﹣3t2+t＝﹣3（t-16）2+112有1个交点，
∵t=12时，m=-14，t＝1时，m＝﹣2，
∴此时﹣2＜m＜-14，
综上0＜m＜112或﹣2＜m＜-14，
故答案为：0＜m＜112或﹣2＜m＜-14．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（14分）记函数f（x）＝ln（1﹣x2）的定义域为M，g（x）＝lg[（x+a+2）（﹣x﹣a+1）]的定义域为N．（1）求M；（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得1﹣x2＞0，
解得：﹣1＜x＜1，
故M＝（﹣1，1），
（2）由（x+a+2）（﹣x﹣a+1）＞0，
解得：﹣a﹣2＜x＜﹣a+1，
故N＝（﹣a﹣2，﹣a+1），
若M⊆N，
则-a-2≤-1-a+1≥1，
解得：﹣1≤a≤0．
19．（15分）f（x）＝3x2﹣2（1+a）x+a．
（1）若函数f（x）在[0，2]上的最大值为3，求a的值；
（2）设函数f（x）在[0，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
【解答】解：（1）当 1+a3≤1，即a≤2时，f（x）max＝f（2）＝8﹣3a＝2解得a＝2符合；
当1+a3＞1，即a＞2时，f（x）max＝f（0）＝a，不合题意；
综上a＝2．
（2）①当1+a3≤0，即 a≤﹣1时，f（x）在[0，2]上递减，∴f（x）min＝g（a）＝f（2）＝8﹣3a；
②当1+a3≥2即a≥5时，f（x）在[0，2]上递增，∴f（x）min＝g（a）＝f（0）＝a；
③当0＜1+a3＜2，即﹣1＜a＜5时，f（x）min＝g（a）＝f（1+a3）=-a2+a-13，
综上得g（a）=8-3a，a≤-1-a2+a-13，-1＜a＜5a，a≥5．
20．（15分）已知函数f(x)=13x3+12．
（1）求曲线y＝f（x）在点P(1，56)处的切线与x轴和y轴围成的三角形面积；
（2）若过点（2，a）可作三条不同直线与曲线y＝f（x）相切，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f(x)=13x3+12的导数为f′（x）＝x2，
曲线y＝f（x）在点P(1，56)处的切线斜率为1，
可得切线方程为y-56=x﹣1即y＝x-16，
切线与x轴和y轴的交点为（16，0），（0，-16），
可得切线与x轴和y轴围成的三角形面积为12×16×16=172；
（2）f（x）=13x3+12，则f′（x）＝x2，
设切点为（m，13m3+12），则f′（m）＝m2．
可得过切点处的切线方程为y-13m3-12=m2（x﹣m），
把点（2，a）代入得a-13m3-12=m2（2﹣m），
整理得4m3﹣12m2﹣3+6a＝0，
若过点（2，a）可作三条直线与曲线y＝f（x）相切，
则方程4m3﹣12m2﹣3+6a＝0有三个不同根．
令g（x）＝4x3﹣12x2﹣3，
则g′（x）＝12x2﹣24x＝12x（x﹣2），
当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，g′（x）＞0；当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，
则g（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）；单调减区间为（0，2）．
可得当x＝0时，g（x）有极大值为g（0）＝﹣3；当x＝2时，g（x）有极小值为g（2）＝﹣19．
由﹣19＜﹣6a＜﹣3，得12＜a＜196．
则实数n的取值范围是（12，196）．
21．（15分）已知函数f（x）＝ex-12ax2-b．
（1）当a＝1，b＝1时，求f（x）在[﹣1，1]上的值域；
（2）若对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，求a+b的最大值．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝1时，
f（x）＝ex-12x2﹣1．
f′（x）＝ex﹣x＝g（x）．
g′（x）＝ex﹣1．
可得：﹣1≤x≤0，则g′（x）＜0；0＜x≤1时，则g′（x）＞0．
∴x＝0时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（0）＝1＞0．
∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．
∴f（x）min＝f（﹣1）=1e-32，f（x）max＝f（1）＝e-32．
∴f（x）在[﹣1，1]上的值域为[1e-32，e-32]．
（2）对于任意实数x，f（x）≥0恒成立，即b≤ex-12ax2．亦即a+b≤ex-12ax2+a在R上恒成立．
令h（x）＝ex-12ax2+a，x∈R．
h′（x）＝ex﹣ax．
a≥0时，不成立舍去．
a＜0时，令ex﹣ax＝0，x＜0．
解得ex0=ax0．
可得函数h（x）在x＝x0处取得极小值即最小值．
∴h（x）min=ex0-12ax02+a=ex0-x0ex02+ex0x0=ex0(1-x02+1x0)，
令u（x）＝ex(1-x2+1x)，x＜0．
则u′（x）＝ex•(x-1)(2+x)(2-x)2x2．
可得x=-2时，函数u（x）取得极大值即最大值．
u（-2）=e-2．
∴a+b的最大值是e-2．
22．（15分）已知a＞0，函数f（x）＝ex+3ax2﹣2ex﹣a+1，
（1）若函数f（x）在[0，1]上单调递减，求a的取值范围；
（2）|f（x）|≤1对任意x∈[0，1]恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝ex+3ax2﹣2ex﹣a+1，
f′（x）＝ex+6ax﹣2e，
由函数f（x）在[0，1]上单调递减，得ex+6ax﹣2e≤0在[0，1]上恒成立．
当x＝0时，对于任意正实数a，上式恒成立；
当x∈（0，1]时，则a≤2e-ex6x，
令g（x）=2e-ex6x，则g′（x）=-6xex-12e+6ex36x2，
令h（x）＝﹣6xex﹣12e+6ex，则h′（x）＝﹣6ex﹣6xex+6ex＝﹣6xex＜0，
则h（x）在（0，1]上单调递减，∴h（x）＜h（0）＜0．
∴g′（x）＜0，
则g（x）在（0，1]上单调递减，
则g（x）≥g(1)=e6．
∴0＜a≤e6；
（2）∵|f（x）|≤1，
∴|f(0)|=|2-a|≤1|f(1)|=|2a-e+1|≤1，
解得：1≤a≤3e-22≤a≤e2，
故a∈[1，e2]，
由（1）知f′（x）在[0，1]递增，
且f′（0）＝1﹣2e＜0，f′（1）＝6a﹣e＞0，
∴f（x）max＝max{f（0），f（1））}，
设x＝t（0＜t＜1）时，f′（x）＝0，
即et+6at﹣2e＝0，
则f（x）在[0，t]递减，在（t，1]递增，
故f（x）min＝f（t），
若|f（x）|≤1，只需f（t）+f（x）max≥0即可，
又﹣1≤f（t）≤1，故﹣1≤f（x）max≤1，
当2﹣a≥2a﹣e+1即a≤e+13时，﹣1≤2﹣a≤1，解得：1≤a≤e+13，
当2﹣a＜2a﹣e+1即a＞e-13时，﹣1≤2a﹣e+1≤1，解得：e-13＜a≤e2，
综上，a∈[1，e2]．
x
1
2
3
5
f（x）
3
﹣1
2
0
x
1
2
3
5
f（x）
3
﹣1
2
0