2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科），共52页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2018秋•辽宁期末）如果﹣1＜a＜b＜0，则有（　　）
A．b2＜a2 B．a2＜b2
C．b2＜a2 D．a2＜b2
2．（5分）（2016•抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有ea≥1成立”，则￢p为（　　）
A．∃a≤0，有ea≤1成立 B．∃a≤0，有ea≥1成立
C．∃a＞0，有ea＜1成立 D．∃a＞0，有ea≤1成立
3．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知各项均为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，a4a6＝64，则a1＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（5分）（2018秋•舟山期末）已知平面α的法向量为（2，﹣2，4），（﹣1，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（　　）
A．AB⊥α B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
5．（5分）（2018秋•辽宁期末）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（　　）
A．y＝x B．y＝sinx（0）
C．y D．y＝ex2
6．（5分）（2018秋•辽宁期末）方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞4 C．m＞3或m＜﹣2 D．m＞4或m＜﹣1
7．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知x，y满足，则（x+3）2+y2的最小值为（　　）
A． B． C．8 D．10
8．（5分）（2018秋•辽宁期末）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知平面α内的角∠MON＝60°，线段OP是平面α的斜线段且OP，∠POM＝∠PON＝60°，那么点P到平面α的距离是（　　）
A．2 B． C． D．1
10．（5分）（2018•黔东南州一模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r．点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）＝（　　）
A．40 B．30 C．25 D．20
11．（5分）（2018秋•辽宁期末）知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣8，（3n﹣5）an+1＝（3n﹣2）an﹣9n2+2ln﹣10，若n，m∈N*，n＞m，则Sn﹣Sm的最大值为（　　）
A．10 B．15 C．18 D．26
12．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N．若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y＝± B．y C．y＝±2x D．y
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2018秋•辽宁期末）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是　 　．
14．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝（n+1）an，则an＝　 　
15．（5分）（2018•张掖一模）如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为　 　．

16．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知椭圆：l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（2018秋•辽宁期末）命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a＝2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）（2019•资阳模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝8，a3+a8＝2a5+2．
（1）求an；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．
19．（12分）（2018秋•辽宁期末）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅱ）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程．
20．（12分）（2018秋•辽宁期末）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
21．（12分）（2018•丹东一模）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1BC为锐角，底面ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，AC⊥BC1．
（1）证明：平面ABC⊥平面BB1C1C；
（2）若直线BB1与底面ABC成角为60°，AB1⊥BC1，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．

22．（12分）（2018秋•辽宁期末）如图，已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky＝0交椭圆E于C，D两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线l上；
（3）是否存在实数k，使得S△BDM＝3S△ACM？若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．


2018-2019学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）（2018秋•辽宁期末）如果﹣1＜a＜b＜0，则有（　　）
A．b2＜a2 B．a2＜b2
C．b2＜a2 D．a2＜b2
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】取a，b，分别计算出，，b2，a2，由此能够判断出，，b2，a2的大小．
【解答】解：取a，b，分别计算出
3
2，
b2
a2
由此能够判断出，，b2，a2的大小．
故选：A．
【点评】本题考查不等式的性质和应用，解题时要合理地选取特殊值，能够有效地简化运算．
2．（5分）（2016•抚顺一模）已知命题p：“∀a＞0，有ea≥1成立”，则￢p为（　　）
A．∃a≤0，有ea≤1成立 B．∃a≤0，有ea≥1成立
C．∃a＞0，有ea＜1成立 D．∃a＞0，有ea≤1成立
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】5L：简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则￢p：∃a＞0，有ea＜1成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知各项均为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，a4a6＝64，则a1＝（　　）
A．2 B．1 C． D．
【考点】88：等比数列的通项公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等比数列的通项公式列出方程能求出首项．
【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}中，公比q＝2，a4a6＝64，
∴（）（）＝64，
解得a1．
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）（2018秋•舟山期末）已知平面α的法向量为（2，﹣2，4），（﹣1，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（　　）
A．AB⊥α B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α
【考点】MB：空间点、线、面的位置．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5H：空间向量及应用．
【分析】根据平面的法向量与空间向量的共线关系，即可判断直线AB与平面α垂直．
【解答】解：平面α的法向量为（2，﹣2，4），（﹣1，1，﹣2），
∴，
∴∥，
∴⊥α，
即直线AB与平面α垂直．
故选：A．
【点评】本题考查了平面的法向量与空间向量共线问题，是基础题．
5．（5分）（2018秋•辽宁期末）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（　　）
A．y＝x B．y＝sinx（0）
C．y D．y＝ex2
【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用．
【分析】直接利用排除法和基本不等式的应用和函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：对于选项A、
当①x＞0时，y＝x，
②当x＜0时，y＝x2，
故错误．
对于选项B、
由于：，
函数的最小值取不到2，
当x时，函数的最小值为2，
故错误．
对于选项C函数的关系式转换为：
y，
故错误．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换和基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．
6．（5分）（2018秋•辽宁期末）方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞4 C．m＞3或m＜﹣2 D．m＞4或m＜﹣1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先计算方程表示双曲线的充要条件，再求出它的一个真子集即可．
【解答】解：若方程1表示双曲线，则（2+m）（m﹣3）＞0
∴m＜﹣2或m＞3，
∴要求“方程1表示双曲线”的一个充分不必要条件，则需要找出它的一个真子集即可，
∵m＞4时，m＜﹣2或m＞3，结论成立，反之不成立
∴“方程1表示双曲线”的一个充分不必要条件是m＞4，
故选：B．
【点评】本题考查的重点是充要条件，解题的关键是计算方程表示双曲线的充要条件，属于基础题．
7．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知x，y满足，则（x+3）2+y2的最小值为（　　）
A． B． C．8 D．10
【考点】7C：简单线性规划；IR：两点间的距离公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝（x+3）2+y2表示（﹣3，0）到可行域的距离的平方，只需求出（﹣3，0）到可行域的距离的最小值即可
【解答】解：根据约束条件画出可行域

z＝（x+3）2+y2表示（﹣3，0）到可行域的距离的平方，
当点B（0，1）时，距离最小，
即最小距离为 ．
则（x+2）2+y2的最小值是 10．
故选：D．
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．
8．（5分）（2018秋•辽宁期末）等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．
【分析】根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和公式进行转化即可．
【解答】解：在等差数列中•
•••••，
故选：B．
【点评】本题主要考查等差数列性质的应用，结合等差数列的前n项和公式以及性质是解决本题的关键．
9．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知平面α内的角∠MON＝60°，线段OP是平面α的斜线段且OP，∠POM＝∠PON＝60°，那么点P到平面α的距离是（　　）
A．2 B． C． D．1
【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由题意知cos∠POM＝cos∠POH•cos∠MOH，进而求得cos∠POH，利用同脚三角函数基本关系求得sin∠POH，进而在△PHO中利用PH＝PO•sin∠POH求得答案．
【解答】解：∵平面α内的角∠MON＝60°，线段OP是平面α的斜线段且OP，∠POM＝∠PON＝60°，
∴∠MOH＝30°，cos∠POM＝cos∠POH•cos∠MOH，
∴cos∠POH．
∴cos∠POH．
∴sin∠POH．
∴PH＝PO•sin∠POH2．
故选：A．

【点评】本题主要考查了点到面的距离计算．在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
10．（5分）（2018•黔东南州一模）过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，以线段AB为直径的圆的圆心为O1，半径为r．点O1到C的准线l的距离与r之积为25，则r（x1+x2）＝（　　）
A．40 B．30 C．25 D．20
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】可得点O1到C的准线l的距离为5，又点O1到C的准线l的距离为，可得x1+x2＝8，故r（x1+x2）＝40．
【解答】解：由抛物线的性质知，点O1到C的准线l的距离为，
依题意得r2＝25⇒r＝5，又点O1到C的准线l的距离为，
则有x1+x2＝8，故r（x1+x2）＝40．
故选：A．
【点评】考查了抛物线的定义与简单几何性质，属于中档题．
11．（5分）（2018秋•辽宁期末）知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝﹣8，（3n﹣5）an+1＝（3n﹣2）an﹣9n2+2ln﹣10，若n，m∈N*，n＞m，则Sn﹣Sm的最大值为（　　）
A．10 B．15 C．18 D．26
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】由条件可得1，结合等差数列的定义和通项公式，以及数列的各项特点，求得最大值．
【解答】解：（3n﹣5）an+1＝（3n﹣2）an﹣9n2+2ln﹣10，
即为（3n﹣5）an+1﹣（3n﹣2）an＝﹣（3n﹣5）（3n﹣2），
可得1，
设bn，即bn+1﹣bn＝﹣1，
可得{bn}是4为首项、﹣1为公差的等差数列，
可得bn＝4﹣（n﹣1）＝5﹣n，
即an＝（3n﹣5）（5﹣n），
可得an：﹣8，3，8，7，0，﹣13，﹣32，﹣57，﹣88，…，（n＞5，各项递减，且为负的），
由n，m∈N*，n＞m，
则Sn﹣Sm的最大值为（﹣8+3+8+7+0）﹣（﹣8）＝18．
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式，注意运用构造等差数列，考查数列的前n项和的最值，注意分析各项的特点，考查运算能力，属于中档题．
12．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知双曲线C：1的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点．P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N．若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为（　　）
A．y＝± B．y C．y＝±2x D．y
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由题意，根据双曲线的定义和余弦定理，可得a与c的关系，再求出a与b关系即可求出渐近线方程
【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，
由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，
∴ca，
∴ba．
∴，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x
故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）（2018秋•辽宁期末）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0的解集是　（﹣1，3）　．
【考点】73：一元二次不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4O：定义法；59：不等式的解法及应用．
【分析】根据不等式ax﹣b＜0的解集得出a＜0且a＝b，把不等式（ax+b）（x﹣3）＞0化为（x+1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．
【解答】解：关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（1，+∞），
∴a＜0，且a＝b；
∴关于x的不等式（ax+b）（x﹣3）＞0可化为（x+1）（x﹣3）＜0，
﹣1＜x＜3，
∴所求不等式的解集是（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
14．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝（n+1）an，则an＝　n　
【考点】8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
【分析】利用数列的递推关系式，推出数列{}是等比数列，然后求解通项公式．
【解答】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝（n+1）an，可知2Sn﹣1＝nan﹣1，n≥2，
两式作差可得：（n﹣1）an＝nan﹣1，可得{}是等比数列，首项为1，公比为1的等比数列，
所以1，即an＝n．
故答案为：n．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力．
15．（5分）（2018•张掖一模）如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，且BD1∥平面B1CE，则异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为　　．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】连结BC1，交B1C于点O，连结OE，由BD1∥平面B1CE，得到E是棱C1D1的中点，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出异面直线BD1与CE所成成角的余弦值．
【解答】解：连结BC1，交B1C于点O，连结OE，
∵E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1上的一点，
∴BCC1B1是正方形，∴O是BC1中点，
∵BD1∥平面B1CE，∴BD1∥OE，
∴E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱C1D1的中点，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则B（2，2，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），E（0，1，2），
（﹣2，﹣2，2），（0，﹣1，2），
设异面直线BD1与CE所成成角为θ，
cosθ．
∴异面直线BD1与CE所成成角的余弦值为．
故答案为：．

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．
16．（5分）（2018秋•辽宁期末）已知椭圆：l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在一点P使得|PF1|e|PF2|，则该椭圆的离心率e的取值范围是　[，1]　．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】由椭圆的定义可得解得x，由题意可得﹣aa，解不等式求得离心率e的取值范围．
【解答】解：设点P的横坐标为x，∵|PF1|e|PF2|，则由椭圆的定义可得 e（x）e•e（x），
∴x，由题意可得﹣aa，
∴﹣11，
∴，∴e＜1，则该椭圆的离心率e的取值范围是[，1），
故答案为：[，1）．
【点评】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得 e（x）e•e（x）是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）（2018秋•辽宁期末）命题p：实数x满足x2﹣3ax+2a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a＝2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）由p∧q为真得p真q真，解一元二次不等式组求出p、q为真的范围，取交集即可；
（Ⅱ）由已知得A⊊B，得等价不等式组，解得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵x2﹣3ax+2a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0，
又a＞0，∴a＜x＜2a，a＝2时，2＜x＜4，
即命题p为真命题时，实数x的取值范围为：2＜x＜4，
∵，∴，∴1＜x≤3，
即命题q为真命题时，实数x的取值范围为：1＜x≤3，
∴p∧q为真，实数x的取值范围为（2，3]；
（Ⅱ）￢q是￢p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件，
设A＝（a，2a），B＝（1，3]，∴A⊊B，∴，∴1≤a．
∴实数a的取值范围为：[1，]．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（12分）（2019•资阳模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝8，a3+a8＝2a5+2．
（1）求an；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．
【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（1）利用已知条件求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，再利用放缩法求出结果．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
由题意知：，
解得a1＝3，d＝2．
所以an＝2n+1．
（2）由（1），an＝2n+1，
则有．
则．
所以Tn，
．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19．（12分）（2018秋•辽宁期末）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A、B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点；
（Ⅱ）直线AB在绕着定点转动的过程中，求弦AB中点M的轨迹方程．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及由2，可得直线AB过定点（2，0）；
（Ⅱ）设出A，B的坐标，代入抛物线方程，利用点差法把AB的斜率用AB中点的坐标表示，代入直线方程可得弦AB中点M的轨迹方程．
【解答】解：（Ⅰ）设直线AB的方程为：x＝my+n，点A（x1，y1），B（x2，y2），由2，可得x1x2+y1y2＝2，①，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上可得x1＝y12，x2＝y22，②
由①②可得y1y2＝﹣2或1（舍去），
由可得y2﹣my﹣n＝0
根据韦达定理有y1•y2＝﹣n＝﹣2，
∴直线AB过定点（2，0）；
（Ⅱ）设M（x，y），由，相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）＝x1﹣x2，
当x1≠x2时，（y1+y2）＝1，
又直线AB恒过点（2，0），
∴且y1+y2＝2y，
∴y2x﹣1，
当x1＝x2时，M（2，0）满足上式，
故所求的轨迹方程为y2x﹣1．

【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用点差法求与中点弦有关的问题，是中档题．
20．（12分）（2018秋•辽宁期末）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．
【分析】（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；
（2）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，等价于x＞25时，ax有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．
【解答】解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8）x≥25×8，
整理得t2﹣65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50（x2﹣600）x有解，
等价于x＞25时，ax有解．
由于x≥2 10，当且仅当，即x＝30时等号成立，所以a≥10.2．
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．
21．（12分）（2018•丹东一模）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠B1BC为锐角，底面ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，AC⊥BC1．
（1）证明：平面ABC⊥平面BB1C1C；
（2）若直线BB1与底面ABC成角为60°，AB1⊥BC1，求二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（1）推导出AC⊥平面BB1C1C．从而平面ABC⊥平面BB1C1C．
（2）在平面BB1C1C内作B1D⊥BC，垂足为D，则B1D⊥平面ABC．以D为坐标原点，为x轴正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值．
【解答】证明：（1）因为AC⊥BC，BC1，BC∩BC1＝B，
所以AC⊥平面BB1C1C．
因为AC⊂平面ABC，
所以平面ABC⊥平面BB1C1C．…………（4分）
解：（2）因为ABC∩平面BB1C1C＝BC，
在平面BB1C1C内作B1D⊥BC，垂足为D，
所以B1D⊥平面ABC．
因为BB1与底面ABC成角为60°，所以∠B1BD＝60°．…………（6分）
因为AC⊥BC1，AB1⊥BC1，所以BC1⊥平面AB1C，
所以BC1⊥B1C，四边形BB1C1C是菱形．
因为∠B1BC为锐角，所以BD，于是D是BC中点．…………（8分）
设BC＝2，以D为坐标原点，为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．
则A（1，2，0），B（1，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，），
（0，﹣2，0），（﹣1，﹣2，），（1，0，）．
设（x，y，z）是平面CAB1的一个法向量，
则，取z＝1，得（）．
设（x，y，z）是平面A1AB的一个法向量，
则，取z＝1，得（，1）．
因为cos，二面角C﹣AB1﹣A1平面角是钝角，
故二面角C﹣AB1﹣A1的余弦值是． …………（12分）

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
22．（12分）（2018秋•辽宁期末）如图，已知椭圆E：1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky＝0交椭圆E于C，D两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线l上；
（3）是否存在实数k，使得S△BDM＝3S△ACM？若存在，求出k的值．若不存在，说明理由．

【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由焦点可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，求出a，b，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，即可得证；
（3）联立直线方程和椭圆方程，消去x，解得C的纵坐标，再由面积关系，得到方程，解出即可．
【解答】（1）解：左焦点F（，0），则c，
离心率为，则，即有a＝2，b＝1，
则椭圆方程y2＝1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）
设直线AB：y＝k（x），
消去y，得（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4＝0，
所以x1+x2，x0，
y0＝k（x0），
因为0，所以点M在直线l上；
（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
因△BDM的面积是△ACM面积的3倍，所以DM＝3CM，又|OD|＝|OC|，
于是M是OC的中点，
设点C的坐标为（x3，y3） 则y0，
因为，解得y3，
于是，解得k2，
所以k．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
3．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．

【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（　　）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．

典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．

【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
4．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．

【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p与q＝a+b的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣qa﹣b（b2﹣a2），
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B

方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（　　）
A． B． C． D．
解：由指数函数的单调性可知，，
由幂函数的单调性可知，，
则，
故，
故选：B．
5．一元二次不等式及其应用
【概念】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【特征】
当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）
当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．
当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
【实例解析】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．
解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案为：（﹣2，3）．
这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．

【一元二次不等式的常见应用类型】
①一元二次不等式恒成立问题：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等价条件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等价条件是：a＜0且△＜0．

②分式不等式问题：
0⇔f（x）•g（x）＞0；

0⇔f（x）•g（x）＜0；

0⇔；

0⇔．
6．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．

（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
7．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x•（8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为　　
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
10．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1•qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
11．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：

③几个常用数列的求和公式：

（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．

（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．

【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
12．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1•a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
13．两点间的距离公式
【知识点的知识】
（1）两点间的距离公式：
点与点的空间距离即为两点的距离，我们设A点的坐标为（x1，y1），B点的坐标为（x2，y2），那么这两点的距离公式为d．
（2）点到直线的距离公式：；
（3）平行直线间的距离公式：．
14．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在x轴上
（a＞b＞0）
中心在原点，焦点在y轴上
图形


顶点
A（a，0），A′（﹣a，0）
B（0，b），B′（0，﹣b）
A（b，0），A′（﹣b，0）
B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b
焦点在长轴长上
焦点
F1（﹣c，0），F2（c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
|F1F2|＝2c（c＞0）
c2＝a2﹣b2
离心率
e（0＜e＜1）
e（0＜e＜1）
准线
x＝±
y＝±
15．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
16．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

17．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
18．直线与圆锥曲线的综合
【概述】
直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点，比方说求封闭面积，求距离，求他们的关系等等，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解．
【实例解析】
例：已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率．
（1）求圆锥曲线C的方程；
（2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使的值是常数．
解：（1）依题意，设曲线C的方程为（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程为．
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
从而，，
设P（t，0），则

当，
解得
此时对∀k∈R，；
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x＝1，
xA＝xB＝1，，
对，，
即存在x轴上的点，使的值为常数．
这是一道符合高考命题思维的题型，一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式；第二问在求证某种特殊的关系，像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式．我们看看解答思路，第一问就是求a、b、c中的两个值即可；第二问先是联立方程，然后把我们要证的这个关系转化为根与系数的关系，这也是常用的方法．
【考点分析】
必考题，也是难题，希望大家多总结，尽量去总结一下各种题型和方法，在考试的时候，如果运算量大可以适当的放到最后做．
19．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

20．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
21．空间点、线、面的位置
【知识点的知识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类

（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
22．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
23．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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日期：2019/4/17 23:34:48；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265