2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科），共50页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017秋•天心区校级期末）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（　　）
A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈A
C．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A
2．（3分）（2010•湖南）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（　　）
A．10x+200 B．10x+200 C．10x﹣200 D．10x﹣200
3．（3分）（2013•日照二模）设复数z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，则在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（3分）（2018秋•菏泽期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）

A． B． C． D．0
6．（3分）（2014•湖北）若二项式（2x）7的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．（3分）（2017秋•天心区校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）（2012•临沂一模）设椭圆1和双曲线x2＝1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为
（　　）
A．3 B． C． D．
9．（3分）（2014春•许昌期末）在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（　　）
A．b4+b8＞b5+b7 B．b5+b7＞b4+b8
C．b4+b7＞b5+b8 D．b4+b5＞b7+b8
10．（3分）（2017秋•天心区校级期末）若a，b，c均为正实数，则三个数（　　）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
11．（3分）（2013•桃城区校级一模）函数f（x）＝﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）＝﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．3
12．（3分）（2011•沈阳校级模拟）若函数f（x）＝x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）
A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3
C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k
13．（3分）（2017秋•天心区校级期末）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（　　）
A． B． C． D．
14．（3分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（　　）
A．152 B．126 C．90 D．54
15．（3分）（2017•新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
16．（3分）（2016•奉贤区二模）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有　 　．（用数字作答）
17．（3分）（2017春•濮阳期末）在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成成立；在五边形ABCDE中，不等式成立．猜想在n边形中，不等式　 　成立．
18．（3分）（2018秋•芮城县期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为　 　．

19．（3分）（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　 　．
20．（3分）（2017秋•天心区校级期末）已知函数，g（x）＝ex﹣2，若g（m）＝f（n）成立，则n﹣m的最小值为　 　．
三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.
21．（8分）（2017秋•天心区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
22．（8分）（2017秋•天心区校级期末）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
23．（8分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

24．（8分）（2017秋•天心区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．
（1）求p；
（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2＝﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．
25．（8分）（2018•普宁市模拟）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．
（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）（2017秋•天心区校级期末）与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是（　　）
A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∈A
C．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A
【考点】25：四种命题间的逆否关系．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】根据逆否命题的等价性进行求解即可．
【解答】解：由于逆否命题是等价命题，
则与命题“若a∈A，则b∉A”的真假性相同的命题是若b∈A，则a∉A，
故选：D．
【点评】本题主要考查逆否命题的应用，根据逆否命题的等价性是解决本题的关键．
2．（3分）（2010•湖南）某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（　　）
A．10x+200 B．10x+200 C．10x﹣200 D．10x﹣200
【考点】BP：回归分析．菁优网版权所有
【专题】21：阅读型．
【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．
【解答】解：由x与y负相关，
可排除B、D两项，
而C项中的10x﹣200＜0不符合题意．
故选：A．
【点评】两个相关变量之间的关系为正相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为正；
两个相关变量之间的关系为负相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为负．
3．（3分）（2013•日照二模）设复数z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i，则在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．菁优网版权所有
【分析】根据复数的除法将化成a+bi的形式然后再利用复数与坐标平面的点的对应可知有序数对（a，b）即为在复平面内对应的点．
【解答】解：∵z1＝1﹣3i，z2＝3﹣2i
∴（）i
∴在复平面内对应的点为（，）且此点为第四象限
故选：D．
【点评】本题主要考察了复数的除法运算，属常考题，较易．解题的关键是熟记复数的除法运算法则即分子分母同时除以分母的共轭复数，同时此题也考察了复数与坐标平面的点的对应！
4．（3分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5L：简易逻辑．
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．
5．（3分）（2018秋•菏泽期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）

A． B． C． D．0
【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用．
【分析】以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos，，可得答案．
【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）
∴（﹣1，0，﹣1），（1，﹣1，﹣1）
设异面直线A1E与GF所成角的为θ，
则cosθ＝|cos，|＝0，
故选：D．
【点评】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．
6．（3分）（2014•湖北）若二项式（2x）7的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）
A．2 B． C．1 D．
【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有
【专题】5P：二项式定理．
【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．
【解答】解：二项式（2x）7的展开式即（2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，
所以Tr+1，
令﹣7+2r＝﹣3，解得r＝2，
代入得：，
解得a＝1，
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．
7．（3分）（2017秋•天心区校级期末）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在（a，b）内的极大值点共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；34：方程思想；53：导数的综合应用．
【分析】利用导函数的图象及其取得极大值的充分条件即可得出．
【解答】解：导函数f'（x）在（a，b）内的图象如图所示，
可得：函数f（x）在（a，b）内的极大值点为A，C，共有2个．
故选：B．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（3分）（2012•临沂一模）设椭圆1和双曲线x2＝1的公共焦点分别为F1，F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为
（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】先根据椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，确定m的值，再利用椭圆、双曲线的定义，即可求得|PF1|•|PF2|的值．
【解答】解：∵椭圆和双曲线的公共焦点分别为F1、F2，
∴m﹣2＝3+1
∴m＝6
∴|PF1|+|PF2|＝2，||PF1|﹣|PF2||＝2
两式平方相减可得，4|PF1|•|PF2|＝12
∴|PF1|•|PF2|＝3
故选：A．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的综合，考查椭圆与双曲线定义，正确运用定义是关键．
9．（3分）（2014春•许昌期末）在等差数列{an}中，若an＞0，公差d＞0，则有a4•a6＞a3•a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn＞0，q＞1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（　　）
A．b4+b8＞b5+b7 B．b5+b7＞b4+b8
C．b4+b7＞b5+b8 D．b4+b5＞b7+b8
【考点】87：等比数列的性质；F3：类比推理．菁优网版权所有
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】类比等差数列{an}与等比数列{bn}均为各项为正数的递增数列，等差数列中的“和”运算类比等比数列中“积”运算，由此即可得到答案．
【解答】解：在等差数列{an}中，an＞0，公差为d＞0，所以{an}为各项为正数的递增数列，
由于4+6＝3+7时有a4•a6＞a3•a7，
而在等比数列{bn}中，bn＞0，q＞1，则{bn}为各项为正数的递增数列，
由于4+8＝5+7，所以应有b4+b8＞b5+b7，
∴b4+b8＞b5+b7．
故选：A．
【点评】本题考查类比推理，考查学生的观察、分析、类比能力，考查推理论证能力，属中档题．
10．（3分）（2017秋•天心区校级期末）若a，b，c均为正实数，则三个数（　　）
A．都不大于2 B．都不小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
【考点】72：不等式比较大小．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．
【解答】解：由题意，∵a，b均为正实数，
∴
当且仅当a＝b时，取“＝”号
若，则结论不成立，
∴，至少有一个不小于2
∴至少有一个不小于2
故选：D．
【点评】本题的考点是不等式的大小比较，考查基本不等式的运用，考查了反证法思想，难度不大
11．（3分）（2013•桃城区校级一模）函数f（x）＝﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）＝﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．3
【考点】69：定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先将两函数联立求得两图象的交点坐标，以确定积分区间，再根据图象和定积分的几何意义确定被积函数为f（x）﹣g（x），最后利用微积分基本定理计算定积分即可得面积
【解答】解：由得和
∴函数f（x）＝﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）＝﹣x的图象所围成的封闭图形的面积S＝∫13（f（x）﹣g（x））dx＝∫13（﹣2x2+8x﹣6）dx
＝（x3+4x2﹣6x）|13＝（﹣18+36﹣18）﹣（4﹣6）
故选：C．
【点评】本题考查了定积分的几何意义和运算性质，微积分基本定理及其应用
12．（3分）（2011•沈阳校级模拟）若函数f（x）＝x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（　　）
A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3
C．﹣2＜k＜2 D．不存在这样的实数k
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】由题意得，区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．
【解答】解：由题意得，f′（x）＝3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，
而f′（x）＝3x2﹣12＝0的根为±2，区间（k﹣1，k+1）的长度为2，
故区间（k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．
∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，
∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根．
13．（3分）（2017秋•天心区校级期末）假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】5I：概率与统计．
【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案．
【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；
以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，
小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：
由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．
根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，
所以P（A），
故选：C．

【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出X、Y，将（X，Y）以及事件A在平面直角坐标系中表示出来．
14．（3分）（2010•湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（　　）
A．152 B．126 C．90 D．54
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33＝18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22＝3×2×3×2＝36种；
2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22＝72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72＝126种，
故选：B．
【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，进而按一定顺序分情况讨论．
15．（3分）（2017•新课标Ⅰ）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案
【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，
直线l2与C交于D、E两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l2过点（1，0），
则直线l2的方程为y＝x﹣1，
联立方程组，则y2﹣4y﹣4＝0，
∴y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
∴|DE|•|y1﹣y2|8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，
方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为 θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|
|DE|
∴|AB|+|DE|，
∵0＜sin22θ≤1，
∴当θ＝45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
故选：A．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
16．（3分）（2016•奉贤区二模）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有　34　．（用数字作答）
【考点】D5：组合及组合数公式；D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意，选用排除法；分3步，①计算从7人中，任取4人参加某个座谈会的选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，
③由事件间的关系，计算可得答案．
【解答】解：分3步来计算，
①从7人中，任取4人参加某个座谈会，分析可得，这是组合问题，共C74＝35种情况；
②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，
③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1＝34种；
故答案为34．
【点评】本题考查组合数公式的运用，解本题采用排除法较为简单．
17．（3分）（2017春•濮阳期末）在△ABC中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成成立；在五边形ABCDE中，不等式成立．猜想在n边形中，不等式　　成立．
【考点】F1：归纳推理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．
【分析】观察分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，即可得到答案
【解答】解：在△ABC中，不等式成立；
在四边形ABCD中，不等式成成立；
在五边形ABCDE中，不等式成立．
…
归纳可得：在n边形A1A2A3…An中，；
故答案为：；
【点评】本题考查归纳推理，考查不等式的证明，其中根据已知分析分子与多边形边的关系及分母中π的系数与多边形边的关系，是解答本题的关键．
18．（3分）（2018秋•芮城县期末）如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为　　．

【考点】MK：点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．
【分析】由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．
【解答】解：由条件，知，．
所以222
＝62+42+82+2×6×8cos120°＝68
所以CD＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．
19．（3分）（2017•新课标Ⅰ）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为　　．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx+ay＝0的距离为：bcos30°，
可得：，即，可得离心率为：e．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
20．（3分）（2017秋•天心区校级期末）已知函数，g（x）＝ex﹣2，若g（m）＝f（n）成立，则n﹣m的最小值为　ln2　．
【考点】3H：函数的最值及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由g（m）＝f （n），求出m的表达式，从而得出n﹣m的表达式，设h（x），求得导数，求出单调区间和极小值，也为最小值，进而求出n﹣m的最小值．
【解答】解：根据题意，g（m）＝f （n）
即em﹣2＝ln，
∴m＝2+ln（ln），
∴n﹣m＝n﹣2﹣ln（ln），
＝lnen﹣2﹣ln（ln），
＝ln，
设h（x），
则h′（x），
令h′（x）＝0，得ln0，
由x＞0，可得ln递增，
当x＝2时，h′（x）＝0，
x＞2时，h′（x）＞0，h（x）递增；
0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）递减．
可得x＝2处取得极小值且为最小值h（2）＝2，
则n﹣m的最小值为ln2．
故答案为：ln2．
【点评】本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目．
三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.
21．（8分）（2017秋•天心区校级期末）已知椭圆1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可知：b＝4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．
【解答】解：（1）由椭圆C：1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b＝4，
椭圆离心率为e，则a＝5，
∴C的方程为1；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y（x﹣3），
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8＝0，
解得：x1，x2，
∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0，
y0（x1+x1﹣6），
即中点为（，）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
22．（8分）（2017秋•天心区校级期末）设曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（其中，a，b∈R，e是自然对数的底数）．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．
【分析】（1），依题可得：，f（1）═b，解得a，b．
（2），，令f′（x）＝0，解得x＝0或2．利用单调性即可得出极值与最值．
【解答】解：（1），
依题可得：，∴a＝3．
又，∴b＝0．
∴a＝3，b＝0．
（2），，
令f′（x）＝0，解得x＝0或2．
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
故f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值为max{f（﹣3），f（2）}＝f（﹣3）＝27e3，
最小值为min{f（0），f（3）}＝f（0）＝0．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值及其切线方程、方程与不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
23．（8分）（2017•新课标Ⅰ）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．
【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA＝AB＝2a，则AD．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD＝P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
（2）解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA＝PD，∠APD＝90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA＝AB＝2a，则AD．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则：D（），B（），P（0，0，），C（）．
，，．
设平面PBC的一个法向量为，
由，得，取y＝1，得．
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，PA∩AB＝A，
∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．
∴cos．
由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，
∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．
24．（8分）（2017秋•天心区校级期末）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，倾斜角为45°的直线l过点F与抛物线C交于A，B两点，△OAB的面积为（O为坐标原点）．
（1）求p；
（2）设点E为直线与抛物线C在第一象限的交点，过点E作C的斜率分别为k1，k2的两条弦EM，EN，如果k1+k2＝﹣1，证明直线MN过定点，并求出定点坐标．
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）求得抛物线的焦点，以及直线l的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，解方程可得p；
（2）设M（x3，y3），N（x4，y4），求得EM的方程，代入抛物线的方程可得y3，同理可得y4，求得MN的方程，运用直线恒过定点，可得所求．
【解答】解：（1）y2＝2px（p＞0）的焦点为，
则直线l的方程为，代入抛物线方程得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝3p，
根据抛物线定义，，
所以|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝4p．
坐标原点O到直线l的距离，
所以△OAB的面积为，
解得p＝2；
（2）证明：抛物线方程为y2＝4x，直线，即x＝1，解得E（1，2）．
设M（x3，y3），N（x4，y4）．根据题意，显然k1，k2都不等于零，
直线EM：y﹣2＝k1（x﹣1），即，
代入抛物线方程得．
由于点E（1，2）在抛物线上，依据根与系数的关系得，
所以．同理．
而直线MN的方程为，
因为M，N也在抛物线上，所以，，
代入上述方程并整理得，
，
．
令，则y3+y4＝﹣4t﹣4，y3y4＝4（6t+1），
代入MN的方程得，
整理得t（y+6）+（x+y+1）＝0，
若上式对任意变化的t恒成立，则，解得．
故直线MN经过定点（5，﹣6）．
【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，注意运用定义法，以及联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
25．（8分）（2018•普宁市模拟）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．
（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式（其中e为自然数对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得在（0，+∞）上恒成立．分离参数a，求出g（x）的最小值得答案；
（2）依题意得，对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）＝2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0且h（﹣2）≥0求得m的范围，可得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立的必要条件为m∈（1，e2]．进一步证明当m∈（1，e2]时，h（a）＞0即可．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
依题意：在（0，+∞）上恒成立．
即：在（0，+∞）上恒成立．
∴．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，]；
（2）依题意：对任意的a∈（﹣2，0]，不等式都成立，
即对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立，
记h（a）＝2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2，由h（0）＞0⇒2m＞2⇒m＞1，
且．
∴对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2mea（a+1）﹣a2﹣4a﹣2＞0都成立的必要条件为m∈（1，e2]．
又h'（a）＝2mea（a+1）+2mea﹣2a﹣4＝2（a+2）（mea﹣1），
由h'（a）＝0，得a＝﹣2或a＝﹣lnm．
∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，
①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），
且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，
∴h（a）min＝h（﹣lnm）＝lnm•（2﹣lnm）＞0，
∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞0恒成立；
②当m＝e2时，h'（a）＝2（a+2）（ea+2﹣1），
∵a∈（﹣2，0]，∴h'（a）＞0，
此时h（a）单调递增，且h（﹣2）＝2e2e﹣2（﹣1）﹣4+8﹣2＝0，
∴a∈（﹣2，0]时，h（a）＞h（﹣2）＝0成立．
综上，m的取值范围是（1，e2]．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题．

考点卡片
1．四种命题间的逆否关系
【知识点的认识】
基本概念：
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条
件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否
定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结
论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
四种命题的关系：


【解题方法点拨】
由于本处命题主要是概念型与理解型的题，准确理解概念；注意原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假．原命题与逆否命题同真假，为解题提供逆向思维的方法，反证法的应用．

【命题方向】近几年的高考主要是考察对四命题的理解以及命题之间互为逆否关系的理解，通常以小题为主．又可以与充要条件联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例1：定积分|sinx|dx的值是．
解：|sinx|dx
＝﹣cosxcosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．

【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积


2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为

3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
5．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．

2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．

3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．

4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．


【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．不等式比较大小
【知识点的知识】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；
（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．

【典型例题分析】
方法一：作差法
典例1：若a＜0，b＜0，则p与q＝a+b的大小关系为（　　）
A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q
解：p﹣qa﹣b（b2﹣a2），
∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，
若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，
综上p≤q，
故选：B

方法二：利用函数的单调性
典例2：三个数，，的大小顺序是（　　）
A． B． C． D．
解：由指数函数的单调性可知，，
由幂函数的单调性可知，，
则，
故，
故选：B．
10．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．

例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝　　．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
11．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z0且z≠0．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

13．回归分析
【知识点的知识】
1、回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线． 记为：x．求回归直线方程的一般步骤：
①作出散点图（由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系），若存在线性相关关系；
②求回归系数；
③写出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预测说明．

2、回归分析：
对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
建立回归模型的基本步骤是：
①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（线性关系）．
③由经验确定回归方程的类型．
④按一定规则估计回归方程中的参数 （最小二乘法）；
⑤得出结论后在分析残差图是否异常，若存在异常，则检验数据是否有误，模型是否合适等．
14．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A⊆Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
15．组合及组合数公式
【考点归纳】
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．
2．组合数公式：．m，n∈N+，且m≤n．
3．组合数的性质：
性质1
性质2 ．
16．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
17．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n∁niai•bn﹣i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝　1.105　．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
18．归纳推理
【知识点的认识】
1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．
推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，An，…}，

2．特点：
（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；
（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；
（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
3．作用：
（1）获取新知，发现真理；
（2）说明和论证问题．
【解题技巧点拨】
归纳推理一般步骤：
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；
（2）提出带有规律性的结论，即猜想；
（3）检验猜想．
【命题方向】
归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．
（1）考查对归纳推理理解
掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．
例1：下列表述正确的是（　　）
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤
分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．
解答：归纳推理是由部分到整体的推理，
演绎推理是由一般到特殊的推理，
类比推理是由特殊到特殊的推理．
故①③⑤是正确的
故选D
点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．
例2：下列推理是归纳推理的是（　　）
A．A，B为定点，动点P满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．
解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．
B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．
C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．
D选项用的是演绎推理，不符合要求．
故选B．
点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．
（2）考查归纳推理的运用
做题的关键是读懂题意．
例：对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：
22＝1+3　 　
32＝1+3+5　　
42＝1+3+5+7
23＝3+5　 　
33＝7+9+11 　　
43＝13+15+17+19
根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，则m+n＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3的分解中最小的正整数是21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n的值．
解答：：m2＝1+3+5+…+1136，
∴m＝6
∵23＝3+5，33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
∴53＝21+23+25+27+29，
∵n3的分解中最小的数是21，
∴n3＝53，n＝5
∴m+n＝6+5＝11
故选B．
点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n的值是解题的关键．
19．类比推理
【知识点的认识】
1．类比推理：根据两个（或两类）对象在一些属性上相同或相似，从而推出它们在其他属性上也相同或相似的推理形式．
2．类比推理的形式：

3．特点：类比推理是一种主观的不充分的似真推理，要确认猜想的正确性，需经过严格的逻辑论证．一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，则类比得出的命题就越可靠．
【解题技巧点拨】
类比推理的步骤：
（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．
例：请用类比推理完成下表：

解：本题由已知前两组类比可得到如下信息：
①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；
②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；
③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；
④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；
⑤三角形的面积公式中的“二分之一”，与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象．
由以上分析可知：

故第三行空格应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一．
【命题方向】
一般以选择题、填空题的形式出现，是高考的重要内容．常见题型有：
（1）升级类比：平面到空间的类比；
（2）同级类比：圆锥曲线之间的类比；
（3）运算类比：等差与等比的类比．
20．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
21．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
23．圆锥曲线的共同特征
【知识点的知识】
圆锥曲线的共同特征：
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到定直线的距离之比为定值e．当0＜e＜1时，圆锥曲线是椭圆；当e＞1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．其中定点是圆锥曲线的一个焦点，定直线是相应于这个交点的准线．
24．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

25．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
26．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
27．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


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日期：2019/4/17 21:46:44；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267