2018-2019学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．c2＞bcB．a2＞b2C．a+b＞cD．bc（a﹣c）＞0
2．（5分）命题“任意向量，，|•|≤||||”的否定为（ ）
A．任意向量，，|•|＞||||B．存在向量，，|•|＞||||
C．任意向量，，|•|≥||||D．存在向量，，|•|≤||||
3．（5分）已知直线l，m和平面α，β满足l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
4．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知等差数列{an}前17项和为34，若a3＝﹣10，则a99＝（ ）
A．180B．182C．﹣178D．﹣180
6．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．
A．2B．4C．4D．2
7．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．4B．8C．16D．32
8．（5分）关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．（5，6]B．（5，6）C．（2，3]D．（2，3）
9．（5分）设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则mn的最小值为（ ）
A．3﹣2B．23C．1D．1
10．（5分）不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞5B．a≥5C．﹣5＜a＜5D．﹣5≤a≤5
11．（5分）已知F1，F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线的右支交于点P，若|PF2|＝|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．5D．10
12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣6，g（x）＝x+4，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈（﹣∞，﹣1]，使f（x1）≤g（x2），则实数a的最大值为（ ）
A．6B．4C．3D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是 ．
14．（5分）已知条件p：x＜a2﹣3a，条件q：向量（2，﹣1，﹣3），（3，x，2）的夹角为锐角．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 ．
15．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和侧棱长相等，D为A1A的中点，则直线BD与B1C所成的角为 ．
16．（5分）毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到511个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝8，an+1＝Sn+8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a1•a2•a3…an＞1000成立的正整数n的最小值．
18．（12分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1，AA1⊥平面ABC，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝2A1C1＝2，，点M，N分别为CC1，A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面AB1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣N的余弦值．
19．（12分）已知{an}是公差为3等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝3，（an+1）bn＝nbn+1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝BCAD＝2，AP⊥平面PCD，且AP＝PC，点E为AD中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值．
21．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．
（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．
22．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点B为椭圆的上顶点，过椭圆内一点M（0，m）的直线l交椭圆于C，D两点，若△BMC与△BMD的面积比为2：1，求实数m的取值范围．
2018-2019学年山东省威海市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．c2＞bcB．a2＞b2C．a+b＞cD．bc（a﹣c）＞0
【解答】解：不妨令a＝3，b＝2，c＝1，则c2＝1＜bc＝2由此排除A；
令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，则a+b＝﹣3＝c，由此排除C；则a2＝1＜b2＝4由此排除B
故选：D．
2．（5分）命题“任意向量，，|•|≤||||”的否定为（ ）
A．任意向量，，|•|＞||||B．存在向量，，|•|＞||||
C．任意向量，，|•|≥||||D．存在向量，，|•|≤||||
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，
命题“任意向量，，|•|≤||||”的否定是存在向量，，|•|＞||||．
故选：B．
3．（5分）已知直线l，m和平面α，β满足l⊥α，m⊂β．给出下列命题：①α⊥β⇒l∥m；②α∥β⇒l⊥m；③l⊥m⇒α∥β；④l∥m⇒α⊥β，其中正确命题的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【解答】解：
如图可否定①，排除选项A，C；
②中，∵α∥β，l⊥α，
∴l⊥β，
∵m⊂β，
∴l⊥m，
故②正确，
故选：D．
4．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：对于两条直线：直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0，对a分类讨论：
a＝﹣1时，两条直线不平行，舍去．
a≠﹣1时，由，解得a＝1．
∴“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣4＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的充要条件．
故选：C．
5．（5分）已知等差数列{an}前17项和为34，若a3＝﹣10，则a99＝（ ）
A．180B．182C．﹣178D．﹣180
【解答】解：∵等差数列{an}前17项和为34，a3＝﹣10，
∴，
解得a1＝﹣14，d＝2，
∴a99＝﹣14+98×2＝182．
故选：B．
6．（5分）如图是抛物线形拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降2米后（水足够深），水面宽（ ）米．
A．2B．4C．4D．2
【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，
将A（2，﹣2）代入x2＝my，
得m＝﹣2
∴x2＝﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0＝2 ，
故水面宽为4m．
故选：B．
7．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为，离心率为．过点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【解答】解：∵1，又b2＝12，∴a2＝16，∴a＝4，
△ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝16．
故选：C．
8．（5分）关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（ ）
A．（5，6]B．（5，6）C．（2，3]D．（2，3）
【解答】解：关于x的不等式x2﹣（m+2）x+2m＜0可化为
（x﹣m）（x﹣2）＜0，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
∴不等式的解集为{x|2＜x＜m}，且5＜m≤6；
即实数m的取值范围是（5，6]．
故选：A．
9．（5分）设m，n为正实数，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则mn的最小值为（ ）
A．3﹣2B．23C．1D．1
【解答】解：由直线与圆相切可知|m+n|，整理得（m﹣1）（n﹣1）＝2，
∴m+n＝mn﹣1≥2，
∴1，
∴mn≥3+2
当且仅当m＝n时等号成立，
∴mn的最小值是3+2．
故选：B．
10．（5分）不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞5B．a≥5C．﹣5＜a＜5D．﹣5≤a≤5
【解答】解：根据题意，设f（x）＝x2﹣2（a﹣2）x+a，
若x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则f（x）＜0在区间（1，5）上恒成立，
必有，即，
解可得：a≥5；
故选：B．
11．（5分）已知F1，F2分别是双曲线1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线的右支交于点P，若|PF2|＝|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．5D．10
【解答】解：直线PF1与圆x2+y2＝a2相切，切点设为M，连接OM，
可得OM⊥PF1，且|OM|＝a，
由PF2|＝|F1F2|＝2c，取PF1的中点为N，连接NF2，
可得|NF2|＝2a，
|NF1|2b＝8，
|PF1|＝2|NF1|＝16，
由双曲线的定义可得2a＝|PF1|﹣|PF2|＝16﹣2c，
即a+c＝8，c2﹣a2＝16，
解得c＝5，a＝3，即2c＝10．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+ax﹣6，g（x）＝x+4，若对任意x1∈（0，+∞），存在x2∈（﹣∞，﹣1]，使f（x1）≤g（x2），则实数a的最大值为（ ）
A．6B．4C．3D．2
【解答】解：问题转化为f（x）max≤g（x）max，
f（x）＝﹣x2+ax﹣6＝﹣（x2﹣ax）﹣66，
对称轴x0即a≤0时，f（x）在（0，+∞）递减，
f（x）max＝f（0）＝﹣6，
0即a＞0时，f（x）max＝f（）6，
g（x）＝x+4在（﹣∞，﹣1]递增，故g（x）max＝g（﹣1）＝3，
故或，解得：a≤6，
故a的最大值是6，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0，则过点M（1，1）的最短弦所在的直线方程是 x+2y﹣3＝0 ．
【解答】解：根据题意：弦最短时，则圆心与点M的连线与直线l垂直，
∴圆x2+y2﹣4x﹣6y＝0即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝13，圆心为：O（2，3），
∴kl．
由点斜式整理得直线方程为：x+2y﹣3＝0．
故答案为：x+2y﹣3＝0．
14．（5分）已知条件p：x＜a2﹣3a，条件q：向量（2，﹣1，﹣3），（3，x，2）的夹角为锐角．若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 0＜a＜3 ．
【解答】解：由向量（2，﹣1，﹣3），（3，x，2）的夹角为锐角．
得：2×3+（﹣1）x+（﹣3）×2＞0，解得：x＜0，
又p是q的充分不必要条件，
所以a2﹣3a＜0，
即0＜a＜3，
故答案为：0＜a＜3．
15．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和侧棱长相等，D为A1A的中点，则直线BD与B1C所成的角为 90° ．
【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和侧棱长相等，D为A1A的中点，
以A为原点，在平面ABC中过点A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和侧棱长都是2，
则B（，1，0），D（0，0，1），B1（），C（0，2，0），
（，1），（，1，﹣2），
0，∴BD⊥B1C，
∴直线BD与B1C所成的角为90°．
故答案为：90°．
16．（5分）毕达哥拉斯的生长程序如图所示：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到511个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为 ．
【解答】解：设初始正方形个数为a1＝1，依次得到a2＝2，a3＝4，
每一个正方形都可以得到2个正方形，
∴满足2，是以首项为1，公比为2的等比数列，
∴正方形个数的和为Sn2n﹣1＝511，
即2n＝512解得n＝9，
第一个正方形的边长设为b1＝1，然后满足，
∴数列{bn}是以1为首项，公比为的等比数列，
∴b9＝（）8，
∴最小的正方形的边长为．
故答案为：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝8，an+1＝Sn+8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式a1•a2•a3…an＞1000成立的正整数n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a2＝S1+8＝16；
当n≥2时，an＝Sn﹣1+8，
所以an+1﹣an＝Sn﹣Sn﹣1＝an，
即an+1＝2an，，
因为a2＝16，
∴，
所以数列{an}为等比数列，
所以．
（Ⅱ），
由，
即
化简得n2+5n﹣20≥0，
因为函数y＝x2+5x﹣20在[1，+∞）单调递增，
所以，正整数n的最小值为3．
18．（12分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1，AA1⊥平面ABC，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝2A1C1＝2，，点M，N分别为CC1，A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面AB1C；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣N的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取B1C1的中点F，连接NF，FM，∵点M，N分别为CC1，A1B1的中点，
∴FM∥B1C，NF∥A1C1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
又AC∥A1C1，∴NF∥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∵FM∩NF＝F，∴平面MNF∥平面AB1C，﹣﹣﹣（5分）
∵MN⊂平面MNF，∴MN∥平面AB1C．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）由题意知AB，AC，AA1两两垂直，以A为原点，
分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
设平面BCN的法向量为n＝（x，y，z），由，
令x＝1，解得，
所以平面BCN的一个法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
因为AA1⊥平面ABC，可得平面ABC的一个法向量为n1＝（0，0，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴，
所以二面角A﹣BC﹣N的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
19．（12分）已知{an}是公差为3等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝3，（an+1）bn＝nbn+1．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，（a1+1）b1＝b2，解得a1＝b2﹣1＝2，
由已知可得an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
将an代入（an+1）bn＝nbn+1，整理可得，
所以数列{bn}为等比数列，
公比q＝3，由b1＝1，可得；
（Ⅱ），
（1）
（2）
（1）﹣（2）可得，
所以，
即．
20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝BCAD＝2，AP⊥平面PCD，且AP＝PC，点E为AD中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面APC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD．﹣﹣﹣﹣（1分）
∵E为AD中点，AD∥BC，∴DE＝BC且DE∥BC，
∴四边形BEDC为平行四边形，﹣（2分）
∴BE∥CD，∴AP⊥BE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵AB＝AE＝BC且AE∥BC，
∴四边形ABCE为菱形，∴AC⊥BE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∵AC∩AP＝A，∴BE⊥平面APC．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
解：（Ⅱ）在等腰梯形ABCD中，∵，∴AD＝2CD＝4，
∵BE⊥平面APC，BE∥CD，∴CD⊥平面APC，∴CD⊥AC，
∴Rt△ACD中，，又AP⊥平面PCD，AP＝PC，
∴PO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵BE⊥平面APC，∴BO⊥OP，BO⊥OC，
∵AP＝PC，O为AC中点，∴PO⊥OC，∴OB，OC，OP两两垂直，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
以O为原点，分别以OB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
则，
，，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
设（x，y，z）为平面APD的法向量，
则，∴，令z＝1，得（），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
设直线AB与平面PAD所成角为α，
∴，
∴直线AB与平面PAD所成角的正弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
21．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．
（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；
（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，即，
所以双曲线方程为x2﹣3y2＝3b2，
将点（2，1）代入双曲线方程，可得b2＝3，
所以双曲线的标准方程为，
c2＝a2+b2＝12，所以，
所以抛物线的方程为．
（Ⅱ）由题意知，l1，l2与坐标轴不平行，
设直线l1的方程为，
，整理可得，
△＞0恒成立，∴，
因为直线l1，l2互相垂直，可设直线l2的方程为，
同理可得，
．
当且仅当k＝±1时取等号，所以|AB|+|DE|的最小值为．
22．（12分）已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点B为椭圆的上顶点，过椭圆内一点M（0，m）的直线l交椭圆于C，D两点，若△BMC与△BMD的面积比为2：1，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设|PF1|＝p，|PF2|＝q，
由题意可得，pq＝2，p2+q2＝12，
，
所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，
所求椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）因为△BMC与△BMD的面积比为2：1，所以|CM|＝2|DM，
由题意知，直线l的斜率必存在，设为k（k≠0），
设直线l的方程为y＝kx+m，C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1＝﹣2x2，
联立，整理得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△＞0得4k2﹣m2+1＞0，，，
由x1＝﹣2x2可求得，
可得，
整理得，
由k2＞0，4k2﹣m2+1＞0可得，m2＜1，
解得或．
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日期：2019/12/27 12:29:43；用户：13029402512；邮箱：13029402512；学号：24164265