2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p为（　　）
A．∀x∈R，f（x）≥2 B．∀x∈R，f（x）＜2
C．∃x0∈R，f（x）≤2 D．∃x0∈R，f（x）＜2
2．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（　　）
A．a＜2b B．ab＜b2 C． D．a3＜b3
3．（5分）等比数列{an}中，首项是a1，公比是q，则q＞1是数列{an}单调递增的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）不等式的解集是（　　）
A．（﹣3，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，0）
C．（﹣3，0） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
5．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2+……+a10＝30，则a5+a6＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（5分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（　　）

A．2b＝a+c B．b2＝ac C．a＝b+c D．2b＝ac
7．（5分）已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A．e B．﹣e C． D．
8．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
9．（5分）已知平面α内有一个点A（2，﹣1，2），α的一个法向量为（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　）
A．（1，﹣1，1） B． C． D．
10．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn+nan}为常数列，则an＝（　　）
A． B．
C． D．
11．（5分）下列命题正确的是（　　）
①若23，则与、共面；
②若23，则M、P、A、B共面；
③若，则A、B、C、D共面；
④若，则P、A、B、C共面．
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（5分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）＝g（b），则b﹣a的最小值为（　　）
A．21 B．e2 C．2﹣ln2 D．2+ln2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y取得最大值时的最优解为　 　
14．（5分）平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|＝6+|PB|，则|PB|的最小值为　 　．
15．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是　 　米．

16．（5分）记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S4﹣2S2＝2，则S6﹣S4的最小值为　 　．
三、解答题：本大題共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}为单调递增数列，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2﹣2Sn﹣1+1（n≥2，n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC（acosB+bcosA）．
（1）求角C；
（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．
19．（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

20．（12分）在△MAB中，点A（﹣1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点D（﹣2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，∠PDQ是否可能为直角，并说明理由．
21．（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，．
（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；
（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．

22．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在区间（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

2018-2019学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p为（　　）
A．∀x∈R，f（x）≥2 B．∀x∈R，f（x）＜2
C．∃x0∈R，f（x）≤2 D．∃x0∈R，f（x）＜2
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以，命题p：∃x0∈R，f（x0）≥2，则￢p为：∀x∈R，f（x）＜2．
故选：B．
2．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（　　）
A．a＜2b B．ab＜b2 C． D．a3＜b3
【解答】解：a，b∈R，若a＜b，
对A，a＜b，若b＝0，则b＝2b；b＞0，则b＜2b；b＜0，则b＞2b，故A错误；
对B，若b＝0，则ab＝b2；若b＞0，则ab＜b2；若b＜0，则ab＞b2，故B错误；
对C，a，b＞0，则，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；
对D，y＝x3在R上递增，可得a3＜b3，故D正确．
故选：D．
3．（5分）等比数列{an}中，首项是a1，公比是q，则q＞1是数列{an}单调递增的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若a1＜0，q＞1时，{an}递减，∴数列{an}单调递增不成立．
若数列{an}单调递增，当a1＜0，0＜q＜1时，满足{an}递增，但q＞1不成立．
∴“公比q＞1”是“数列{an}单调递增”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
4．（5分）不等式的解集是（　　）
A．（﹣3，﹣2）∪（0，+∞） B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，0）
C．（﹣3，0） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）
【解答】解：不等式等价于 0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为 （﹣3，﹣2）∪（0，+∞），
故选：A．

5．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2+……+a10＝30，则a5+a6＝（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：在等差数列{an}中，由an＞0，且a1+a2+…+a10＝30，
得（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）＝30，
即5（a5+a6）＝30，∴a5+a6＝6．
故选：B．
6．（5分）某些首饰，如手镯，项链吊坠等都是椭圆形状，这种形状给人以美的享受，在数学中，我们把这种椭圆叫做“黄金椭圆”，其离心率．设黄金椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系是（　　）

A．2b＝a+c B．b2＝ac C．a＝b+c D．2b＝ac
【解答】解：因为离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，
所以是方程e2+e﹣1＝0的正跟，
即有（）21＝0，
可得c2+ac﹣a2＝0，又c2＝a2﹣b2，
所以b2＝ac．
即b是a，c的等比中项．
故选：B．
7．（5分）已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（　　）
A．e B．﹣e C． D．
【解答】解：设切点坐标为（a，lna），
∵y＝lnx，∴y′，
切线的斜率是，
切线的方程为y﹣lna（x﹣a），
将（0，0）代入可得lna＝1，∴a＝e，
∴切线的斜率是；
故选：C．
8．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）
C．（﹣3，6） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，
∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；
又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，
∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；
故a＞6或a＜﹣3；
故选：B．
9．（5分）已知平面α内有一个点A（2，﹣1，2），α的一个法向量为（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　）
A．（1，﹣1，1） B． C． D．
【解答】解：由题意可知符合条件的点P应满足，
选项A，（2，﹣1，2）﹣（1，﹣1，1）＝（1，0，1），
3×1+1×0+2×1＝5≠0，故不在平面α内；
同理可得：选项B，（1，﹣4，），0，故在平面α内；
选项C，（1，2，），6≠0，故不在平面α内；
选项D，（3，﹣4，），12≠0，故不在平面α内；
故选：B．
10．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn+nan}为常数列，则an＝（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，
∴S1+1×a1＝1+1＝2，
∵{Sn+nan}为常数列，∴由题意知，Sn+nan＝2，
当n≥2时，（n+1）an＝（n﹣1）an﹣1，
从而，
∴，当n＝1时上式成立，
∴．
故选：B．
11．（5分）下列命题正确的是（　　）
①若23，则与、共面；
②若23，则M、P、A、B共面；
③若，则A、B、C、D共面；
④若，则P、A、B、C共面．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：对于①，若23，则由平面向量基本定理知与、共面，①正确；
对于②，若23，则、、共面，所以M、P、A、B四点共面，②正确；
对于③，若，则，这里系数﹣1﹣1﹣1＝﹣3，A、B、C、D不共面，③错误；
对于④，若，则1，所以P、A、B、C共面，④正确．
综上所述，正确的命题序号是①②④，共3个．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝ln，对任意a∈R存在b∈（0，+∞）使f（a）＝g（b），则b﹣a的最小值为（　　）
A．21 B．e2 C．2﹣ln2 D．2+ln2
【解答】解：令 y＝ea，则 a＝lny，令y＝ln，可得 b＝2，
则b﹣a＝2lny，∴（b﹣a）′＝2．
显然，（b﹣a）′是增函数，观察可得当y时，（b﹣a）′＝0，故（b﹣a）′有唯一零点．
故当y时，b﹣a取得最小值为2lny＝2ln2+ln2，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分
13．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y取得最大值时的最优解为　（4，2）　
【解答】解：画出约束条件的可行域，如图：由z＝2x﹣y得：y＝2x﹣z，
显然直线过B（4，2）时，z最大，
所以最优解为：（4，2）
故答案为：（4，2）．

14．（5分）平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|＝6+|PB|，则|PB|的最小值为　2　．
【解答】解：平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|＝6+|PB|，即|PA|﹣|PB|＝6，
则点P在以（±5，0）为焦点，实轴长为6的双曲线的右支上，
a＝3，c＝5．
因此|PB|的最小值为c﹣a＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
15．（5分）如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是　　米．

【解答】解：设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，
从而有，
在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝60°+30°+15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°
由正弦定理可得，
可得，
则x＝10
故答案为：
16．（5分）记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S4﹣2S2＝2，则S6﹣S4的最小值为　8　．
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，∵S4﹣2S2＝2，
a4+a3﹣（a2+a1）＝2，
a1（q3+q2﹣q﹣1）＝2，
可得：a10．解得q＞1．
则S6﹣S4＝a5+a6＝a1（q4+q5）2[q2﹣12]≥28，当且仅当q时取等号．
∴S6﹣S4的最小值为8．
故答案为：8．
三、解答题：本大題共有6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}为单调递增数列，a1＝1，其前n项和为Sn，且满足2Sn＝an2﹣2Sn﹣1+1（n≥2，n∈N+）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列bn其前n项和为Tn，若Tn成立，求n的最小值．
【解答】解：（1）2Sn＝an2﹣2Sn﹣1+1（n≥2，n∈N+），
可得n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣12﹣2Sn﹣2+1，
相减可得2an＝an2﹣2Sn﹣1+1﹣an﹣12﹣2Sn﹣2﹣1
＝an2﹣an﹣12﹣2an﹣1，
即为2（an+an﹣1）＝（an﹣an﹣1）（an+an﹣1），
数列{an}为单调递增数列，即an+an﹣1≠0，
可得an﹣an﹣1＝2，{an}为首项为1，公差为2的等差数列，
可得an＝2n﹣1；
（2）bn（），
可得前n项和为Tn（1）
（1），
Tn即，
解得n＞9，即n的最小值为10．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC（acosB+bcosA）．
（1）求角C；
（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．
【解答】解：（1）ctanC（acosB+bcosA），
由正弦定理可得：sinCtanC（sinAcosB+sinBcosA）sin（A+B）sinC．
∴tanC，C∈（0，π）．
∴C．
（2）由余弦定理可得：12＝c2＝a2+b2﹣2abcosC≥2ab﹣ab＝ab，
可得ab≤12，当且仅当a＝2时取等号．
∴△ABC面积的最大值3．
19．（12分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料A（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．
（1）若要求圆柱体罐子的侧面积最大，应如何截取？
（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？

【解答】解：（1）连接OC，设BC＝x，则AB＝2，（其中0＜x＜30），
∴S＝2x2 x2+（900﹣x2）＝900，
当且仅当x2＝900﹣x2，即x＝15时，S取最大值900；
∴取BC＝15cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为900cm2．
（2）设圆柱底面半径为r，高为x，
则AB＝22πr，解得r，
∴V＝πr2h（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；
∴V′（900﹣3x2），令V′（x）＝0，得x＝10；
因此V（x）（900x﹣x3）在（0，10 ）上是增函数，在（10，30）上是减函数；
∴当x＝10时，V（x）取得最大值V（10），
∴取BC＝10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．

20．（12分）在△MAB中，点A（﹣1，0），B（1，0），且它的周长为6，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点D（﹣2，0），过点B的直线与E交于不同的两点P、Q，∠PDQ是否可能为直角，并说明理由．
【解答】（1）解：由题意得，|MA|+|MB|+|AB|＝6，
∴|MA|+|MB|＝4＞|AB|，则M的轨迹E是以A（﹣1，0），B（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，
又由M，A，B三点不共线，∴y≠0．
∴E的方程为（y≠0）；
（2）证明：设直线PQ的方程为x＝my+1，代入3x2+4y2＝12，
得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．
∴（my1+1）（my2+1）+2（my1+1+my2+1）+4+y1y2
＝（m2+1）y1y2+3m（y1+y2）+90．
∴∠PDQ不可能为直角．
21．（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，．
（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；
（2）求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值．

【解答】证明：（1）连接MD，FD．
∵四边形BDEF为菱形，且∠FBD＝60°，
∴△DBF为等边三角形．
∵M为BF的中点，∴DM⊥BF．
∵AB⊥BC，，又D是AC的中点，
∴BD⊥AC．
∵平面BDEF∩平面ABC＝BD，平面ABC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥平面BDEF．
又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF．
由DM⊥BF，AC⊥BF，DM∩AC＝D，
∴BF⊥平面AMC；
解：（2）设线段EF的中点为N，连接DN．易证DN⊥平面ABC．以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，﹣1，0），，，B（1，0，0），C（0，1，0）．
∴，，，．
设平面AEF，平面BCF的法向量分别为，．
由．
解得．
取z1＝﹣2，∴．
又由解得．
取z2＝1，∴．
∵．
∴平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为．


22．（12分）已知函数，．
（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）在区间（0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝ax+（a﹣1），
①当，即时，0＜x＜1时，f'（x）＜0，x＞1时，f'（x）＞0，
所以f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增；
②当，即时，和x＞1时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间上单调递减，在区间和（1，+∞）上单调递增；
③当，即时，0＜x＜1和时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，
所以f（x）在区间上单调递减，在区间（0，1）和上单调递增；
④当，即时，f'（x）≥0，所以f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
综上：①当时，f（x）在区间上单调递减，在区间（0，1）和上单调递增；
②当时，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
③当时，f（x）在区间上单调递减，在区间和（1，+∞）上单调递增；
④当时，f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x），
原问题等价于h（x）≥0在区间（0，1]上恒成立，可见，
要想h（x）≥0在区间（0，1]上恒成立，首先必须要h'（1）≤0，
而，
另一方面当时，，由于x∈（0，1]，可见h''（x）＞0，
所以h'（x）在区间（0，1]上单调递增，故h'（x）≤h'（1）≤0，所以h（x）在区间（0，1]上单调递减，
∴h（x）≥h（1）＝0成立，故原不等式成立．
综上，若f（x）≥g（x）在区间（0，1]上恒成立，则实数a的取值范围为
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