2017-2018学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2017-2018学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科），共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）设i是虚数单位，如果复数（a+1）+（﹣a+7）i的实部与虚部相等，那么实数a的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（5分）（2017秋•马鞍山期末）下列四个命题中错误的是（　　）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
3．（5分）命题p：“，使得”；命题q：“的最小值为4”．则四个命题p∧q，（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q）中，正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）“t＝﹣1”是“直线x+（2t﹣1）y+2＝0与直线（t+4）x+y+3＝0垂直”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分又不必要 D．充要
5．（5分）设棱长为1的正方体AC1中的8个顶点所成集合为M，向量的集合，则P中模长为的向量的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（5分）若构成空间的一组基底，则（　　）
A． B．
C． D．
7．（5分）如图所示，在正方体AC1中，棱长为2，点M在DD1上，点N在面ABCD上，MN＝2，点P为MN的中点，则点P的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
8．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
9．（5分）过抛物线y2＝8x焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|PQ|＝（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
10．（5分）已知椭圆（a＞0，b＞0）的长轴为8，离心率为．则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（5分）（2015•深圳一模）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C的离心率是（　　）
A．1 B． C．1 D．1
12．（5分）（2019•天河区二模）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则的共轭复数是　 　．
14．（5分）命题p：“∃x0∈R，lnx0﹣x0＜0”，则﹁p为　 　．
15．（5分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的体积为　 　．
16．（5分）已知直线l与抛物线y＝x2交于A，B两点，且|AB|＝2，设线段AB的中点为M，当直线l运动时，则点M的轨迹方程为　 　．
三、解答题（本大题共6小题，其中第17题满分70分，第18～22题每题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）设命题p：函数f（x）在R上单调递减，命题q：函数g（x）＝x2﹣2x﹣1在[0，a]上的值域为[﹣2，﹣1]．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．求实数a的取值范围．
18．（12分）（2018秋•汕头期中）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，1），AB边所在直线的方程为x﹣2y﹣4＝0，点T（﹣1，0）在AD边所在直线上．
（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；
19．（12分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2．
（I）求线段BC1的长度；
（II）异面直线BC1与DC所成角的余弦值．

20．（12分）（2017春•晋中期末）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CNBC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M为EF中点．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．

21．（12分）已知F1、F2分别是椭圆y2＝1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，3）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA
（Ⅰ）求抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P（﹣1，﹣1），求△PMN面积的最小值．

2017-2018学年安徽省马鞍山二中高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）设i是虚数单位，如果复数（a+1）+（﹣a+7）i的实部与虚部相等，那么实数a的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】直接由已知列关于a的方程求解．
【解答】解：∵复数（a+1）+（﹣a+7）i的实部与虚部相等，
∴a+1＝﹣a+7，即a＝3．
故选：B．
【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）（2017秋•马鞍山期末）下列四个命题中错误的是（　　）
A．若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D．两条异面直线不可能垂直于同一个平面
【考点】LJ：平面的基本性质及推论；LN：异面直线的判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．
【解答】解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选：C．
【点评】本题考查了的内容多，涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．
3．（5分）命题p：“，使得”；命题q：“的最小值为4”．则四个命题p∧q，（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q）中，正确命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】对于命题p：根据sinθ≤1，即可判断出真假．对于命题q：由于x＜0时，f（x）＜0，即可判断出真假，再根据复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：∵sinθ≤1，∴“，使得”，是假命题；
命题q：∵x＜0时，f（x）＜0，因此“的最小值为4”，是假命题．
则四个命题p∧q，（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q）中，正确命题为：（￢p）∨q，p∨（￢q），（¬p）∧（￢q），个数为3．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的值域、函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）“t＝﹣1”是“直线x+（2t﹣1）y+2＝0与直线（t+4）x+y+3＝0垂直”的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．既不充分又不必要 D．充要
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：当t＝﹣1时，两直线为x﹣3y+2＝0与3x+y+3＝0，此时两直线垂直．
若直线x+（2t﹣1）y+2＝0与直线（t+4）x+y+3＝0垂直，
则t+4+2t﹣1＝0，
解得t＝﹣1．
∴“t＝﹣1”是“直线x+（2t﹣1）y+2＝0与直线（t+4）x+y+3＝0垂直”的充要条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，要熟练掌握直线垂直的充要条件，是基础题．
5．（5分）设棱长为1的正方体AC1中的8个顶点所成集合为M，向量的集合，则P中模长为的向量的个数为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【考点】91：向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5H：空间向量及应用．
【分析】P中模长为的向量的为，，，，，，，，从而集合P中模长为的向量的个数为8．
【解答】解：∵棱长为1的正方体AC1中的8个顶点所成集合为M，
向量的集合，
则P中模长为的向量的为：
，，，，，，，，
∴集合P中模长为的向量的个数为8．
故选：D．

【点评】本题考查满足条件的向量的个数的求法，考查正方体的性质、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（5分）若构成空间的一组基底，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】M8：空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；5A：平面向量及应用；5H：空间向量及应用．
【分析】由构成空间的一组基底，根据空间向量基本定理、平面向量共面定理即可判断出结论．
【解答】解：根据构成空间的一组基底，则B，D中的向量为共面向量．
对于C．由x（）+yz（），可得，解得x＝y＝﹣z，存在非零解，
因此（），，共面，不正确．
对于A．由x（）+y（）+z，可得，解得x＝y＝z＝0，不存在非零解，
因此，，不共面，正确．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量基本定理、平面向量共面定理、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（5分）如图所示，在正方体AC1中，棱长为2，点M在DD1上，点N在面ABCD上，MN＝2，点P为MN的中点，则点P的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．
【分析】不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1，从而P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的，由此能求出结果
【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，
根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半，
得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的．
其体积Vπ×13．
故选：B．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
8．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】5B：直线与圆．
【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1＝0的斜率，然后求出a的值即可．
【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2＝5的方程，所以P在圆上，
又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，
所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1＝0平行，
所以直线ax﹣y+1＝0的斜率为：a2．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．
9．（5分）过抛物线y2＝8x焦点的直线l交抛物线于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，若x1+x2＝4，则|PQ|＝（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线方程，算出焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2．利用抛物线的定义，得到|PF|+|QF|＝（x1+x2）+4，结合条件，计算可得所求弦长．
【解答】解：由抛物线方程为y2＝8x，可得2p＝8，即2，
∴抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2．
根据抛物线的定义，得|PF|＝x1x1+2，|QF|＝x2x2+2，
∴|PF|+|QF|＝（x1+2）+（x2+2）＝（x1+x2）+4，
又∵PQ经过焦点F，且x1+x2＝4，
∴|PQ|＝|PF|+|QF|＝（x1+x2）+4＝4+4＝8．
故选：B．
【点评】本题考查经过抛物线的焦点的弦PQ，在已知P、Q横坐标之和的情况下求PQ的长．着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．
10．（5分）已知椭圆（a＞0，b＞0）的长轴为8，离心率为．则C的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由已知可得：2a＝8，，a2＝b2+c2，联立解出即可得出．
【解答】解：由已知可得：2a＝8，，a2＝b2+c2，
联立解得：a＝4，c＝3，b2＝7．
∴椭圆C的方程为：1．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程组的解法，考查了推理能力计算能力，属于中档题．
11．（5分）（2015•深圳一模）已知F1，F2分别是双曲线C：1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1＝F1F2，则C的离心率是（　　）
A．1 B． C．1 D．1
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到．
【解答】解：可设F1F2＝2c，则PF1＝2c，
在直角三角形PF1F2中，PF22c，
由双曲线的定义可得，PF2﹣PF1＝2a，
即2（1）c＝2a，
则e1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2019•天河区二模）如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：
①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．
其中正确的结论个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】L3：棱锥的结构特征；LN：异面直线的判定；LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直．菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】几何体的展开图，复原出几何体，利用异面直线的定义判断①，②的正误；
利用直线与平面平行的判定定理判断③的正误；
利用直线与平面垂直的判定定理判断④的正误；
【解答】解：画出几何体的图形，如图，
由题意可知，①直线BE与直线CF异面，不正确，
因为E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，
所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；
②直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．
③直线EF∥平面PBC；由E，F是PA与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以判断是正确的．
④因为△PAB与底面ABCD的关系不是垂直关系，BC与平面PAB的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正确．
故选：C．

【点评】本题是基础题，考查空间图形中直线与直线、平面的位置关系，考查异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z＝1+i（i是虚数单位），则的共轭复数是　2+4i　．
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把z＝1+i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵z＝1+i，
∴．
∴的共轭复数是2+4i．
故答案为：2+4i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
14．（5分）命题p：“∃x0∈R，lnx0﹣x0＜0”，则﹁p为　∀x∈R，lnx﹣x≥0　．
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．
【分析】直接写出特称命题的否定即可．
【解答】解：∵命题p：“∃x0∈R，lnx0﹣x0＜0”，
∴﹁p：“∀x∈R，lnx﹣x≥0”．
故答案为：∀x∈R，lnx﹣x≥0．
【点评】本题考查命题的否定，关键是明确特称命题的否定为全称命题，是基础题．
15．（5分）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的体积为　　．
【考点】L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5U：球．
【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，由此能求出球的体积．
【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，
根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，
延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
根据平面几何中的射影定理可得PA2＝PF•PE，
∵AE，
∴侧棱长PA，PF＝2R，
∴6＝2R×2，解得R，
∴该球的体积为VπR3．
故答案为：．

【点评】本题考查球的体积的求法，考查球的内接几何体问题等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16．（5分）已知直线l与抛物线y＝x2交于A，B两点，且|AB|＝2，设线段AB的中点为M，当直线l运动时，则点M的轨迹方程为　为y＝x2　．
【考点】J3：轨迹方程；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的斜率存在，设为k，直线AB的方程为y＝kx+t，代入抛物线的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，中点坐标公式，化简整理可得所求方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的斜率存在，设为k，直线AB的方程为y＝kx+t，
代入y＝x2，可得x2﹣kx﹣t＝0，
可得△＝k2+4t＞0，x1+x2＝k，x1x2＝﹣t，
由|AB|＝2，即•
•2，
可得t，
可得中点M（，t），
即有x，y＝t，
消去k，t，可得y，
化为y＝x2，
故答案为：y＝x2．
【点评】本题考查抛物线的方程和运用，注意联立方程组，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，其中第17题满分70分，第18～22题每题满分均为12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）设命题p：函数f（x）在R上单调递减，命题q：函数g（x）＝x2﹣2x﹣1在[0，a]上的值域为[﹣2，﹣1]．若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．求实数a的取值范围．
【考点】2E：复合命题及其真假．菁优网版权所有
【专题】51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．
【分析】若命题p为真命题，根据指数函数的单调性可得：．若命题q为真命题，则g（x）＝（x﹣1）2﹣2在[0，a]上的值域为[﹣2，﹣1]，数形结合由二次函数图象可得a的求值范围．根据“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．可得命题p和q 为一真一假．即可得出．
【解答】解：若命题p为真命题，则，即．
若命题q为真命题，则g（x）＝（x﹣1）2﹣2在[0，a]上的值域为[﹣2，﹣1]，数形结合由二次函数图象可知，1≤a≤2．
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题．∴命题p和q 为一真一假．
若p为真q为假，则，即得到；
若q为真p为假，则，即得到．
综上所述，a的取值范围是．

【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）（2018秋•汕头期中）矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，1），AB边所在直线的方程为x﹣2y﹣4＝0，点T（﹣1，0）在AD边所在直线上．
（Ⅰ）求AD边所在直线的方程；
（Ⅱ）求矩形ABCD外接圆的方程；
【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】（ I）AB边所在直线的方程为x﹣2y﹣4＝0，且AD与AB垂直，直线AD的斜率为﹣2．又点T（﹣1，0）在直线AD上，利用点斜式即可得出．
（ II）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．M为矩形外接圆的圆心．可得|AM|．从而矩形ABCD外接圆的方程．
【解答】解：（ I）∵AB边所在直线的方程为x﹣2y﹣4＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为﹣2．又∵点T（﹣1，0）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y﹣0＝﹣2（x+1）．即2x+y+2＝0．
（ II）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
∴M为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形ABCD外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝13．
【点评】本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．（12分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2．
（I）求线段BC1的长度；
（II）异面直线BC1与DC所成角的余弦值．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有
【专题】41：向量法；5G：空间角．
【分析】（I）以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），即可求解（0，2，0），（﹣2，﹣2，2），||＝2，可得线段BC1的长度；
（ II）由（I）可知，（0，2，0），（﹣2，﹣2，2），利用向量的夹角公式即可求解．
【解答】解：（I）以D为坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），
∴（0，2，0），（﹣2，﹣2，2），||＝2，．
（II）由（I）可知，（0，2，0），（﹣2，﹣2，2）
∴cos，．
∴异面直线DC与BC1所成的角的余弦值为．

【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12分）（2017春•晋中期末）如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CNBC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M为EF中点．
（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；
（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．
【分析】（1）如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直的性质与判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．
【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，
∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB＝EF，
∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，
因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC＝4．
M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），
B（2，，0），F（﹣1，0，0）．
（0，0，），（﹣1，，0），
（1，0，），（3，，0）．
设平面A′MN的法向量为（x，y，z），
则，即，
取．
同理可得平面A′BF的法向量．
∵3﹣3+0＝0，∴，
∴平面A′MN⊥平面A′BF．
（2）解：由（1）可得平面A′BF的法向量．
取平面EA′F的法向量（0，1，0）．
则cos，
由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，
∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为．

【点评】本题考查了利用平面法向量的夹角求出二面角的方法、向量夹角公式、数量积运算性质、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）已知F1、F2分别是椭圆y2＝1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，，求点P的坐标；
（Ⅱ）设过定点M（0，3）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（I）由椭圆方程可得a，b，c，F1（，0），F2（，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），由向量的数量积的坐标表示，解方程组可得所求P的坐标；
（II）显然x＝0不满足题意，所直线的斜率存在，可设l的方程为y＝kx+3，联立椭圆方程，可得判别式大于0和韦达定理，又∠AOB为锐角，即•0，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求斜率范围．
【解答】解：（I）因为椭圆y2＝1，知a＝2，b＝1，c，
可得F1（，0），F2（，0），设P（x，y）（x＞0，y＞0），
则，
又x2+4y2＝4，
联立，解得，∴；
（II）显然x＝0不满足题意，所直线的斜率存在，可设l的方程为y＝kx+3，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，
∴，
且△＝（24k）2﹣4•32•（4k2+1）＞0∴k2＞2，
又∠AOB为锐角，∴•0，
x1x2+y1y2＞0，∴x1x2+（kx1+3）（kx2+3）＞0，
∴，
∴，
∴，∴．
【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线斜率的范围，考查向量的数量积的运用，考查联立方程组运用韦达定理和判别式大于0，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
22．（12分）已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，C1，C2交于O，A两点（O为坐标原点），且F1F2⊥OA
（Ⅰ）求抛物线C2的方程；
（Ⅱ）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，点P（﹣1，﹣1），求△PMN面积的最小值．
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出，联立，解得A点坐标，由此能求出C2的方程．
（Ⅱ）设过点O的直线为y＝kx，联立y2＝4x得M（，），联立x2＝4y得N（4k，4k2）且k＜0，由此利用点到直线的距离公式，能求出△PMN面积取得最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设有，
由题意可知，
∴，
又∵F1F2⊥OA
∴，，
解得py1＝2x1
联立可解出x1＝4，y1＝4，
所以（4分）
（Ⅱ）设过点O的直线为y＝kx
联立y2＝4x得M（，），
联立x2＝4y得N（4k，4k2）且k＜0，
P（﹣1，﹣1）在直线y＝x上，设点M到直线y＝x的距离为d1，
点N到直线y＝x的距离为d2，
则S△PMN•|OP|•（|d1|+|d2|）…（8分）
•（）
＝2（||+|k﹣k2|）
＝2（k+k2）…（10分）
≥28，
当且仅当k＝﹣1时，“＝”成立，即当过原点直线为y＝﹣x时，…（11分）
△PMN面积取得最小值8．…（12分）

【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用

考点卡片
1．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．

【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．

【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．复合命题及其真假
【知识点的认识】
含有逻辑连接词“或”“且”“非”的命题不一定是复合命题．若此命题的真假满足真值表，就是复合命题，否则就是简单命题．逻辑中的“或”“且”“非”与日常用语中的“或”“且”“非”含义不尽相同．判断复合命题的真假要根据真值表来判定．【解题方法点拨】
能判断真假的、陈述句、反诘疑问句都是命题，而不能判断真假的陈述句、疑问句以及祈使句都不是命题．能判断真假的不等式、集合运算式也是命题．写命题P的否定形式，不能一概在关键词前、加“不”，而要搞清一个命题研究的对象是个体还是全体，如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可．如果命题研究的对象不是一个个体，就不能简单地将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”，而要分清命题是全称命题还是存在性命题（所谓全称命题是指含有“所有”“全部”“任意”这一类全称量诃的命题；所谓存在性命题是指含有“某些”“某个”“至少有一个”这一类存在性量词的命题，全称命题的否定形式是存在性命题，存在性命题的否定形式是全称命题．因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，常见关键词及其否定形式附表如下：
关
键
词

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



没
有


至
多
有
一
个
至
少
有
一
个
至
少
有
n
个
至
多
有
n
个
任 意 的
任 两 个
P
且
Q
P
或
Q
否 定 词
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
个
至
少
有
两
个
一
个
都
没
有
至
多
有
n﹣1
个
至
少
有
n+1
个

某
个
某
两
个
¬P
或
¬Q
¬P
且
¬Q
若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．
3．命题的否定
【知识点的认识】
命题的否定就是对这个命题的结论进行否认．（命题的否定与原命题真假性相反）命题的否命题就是对这个命题的条件和结论进行否认．（否命题与原命题的真假性没有必然联系）．¬P不是命题P的否命题，而是命题P的否定形式．对命题“若P则Q“来说，¬P是“若P则非Q”；P的否命题是“若非P则非Q”
注意两个否定：“不一定是”的否定是“一定是”；
“一定不是”的否定是“一定是”．

【解题方法点拨】若p则q，那么它的否命题是：若¬p则¬q，命题的否定是：若p则¬q．注意两者的区别．
全（特）称命题的否定命题的格式和方法；要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．将量词“∀”与“∃”互换，同时结论否定．

【命题方向】命题存在中学数学的任意位置，因此命题的范围比较广，涉及知识点多，多以小题形式出现，是课改地区常考题型．
4．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
5．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则

6．直线的一般式方程与直线的性质
【直线的一般式方程】
直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0．
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
7．直线的一般式方程与直线的垂直关系
【知识点的知识】
1、两条直线平行与垂直的判定
对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：
（1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1∥l2⇔k1•k2＝﹣1．
2、直线的一般式方程：
（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线．
（2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．
（3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：
①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；
②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；
③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；
④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．
如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．
8．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
9．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系

2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
11．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：

12．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±0
±0
13．直线与椭圆的综合
v．
14．直线与抛物线的综合
v．
15．棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点； 棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面； 棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征

根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．

16．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
17．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
18．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．

2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
19．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

20．异面直线的判定
【知识点的知识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
21．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．

1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
22．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
23．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1．空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz．
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量．
2．单位正交基底
如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示．
3．空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz．
其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．
4．空间向量的坐标表示
对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）．
【解题方法点拨】
1．基底的判断
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立．
2．空间向量的坐标表示
用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：
（1）观察图形：充分观察图形特征；
（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；
（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．
3．用基底表示向量
用基底表示向量时，
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角--
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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日期：2019/4/17 16:32:02；用户：15295542135；邮箱：15295542135；学号：21780078