2018-2019学年江西省新余市高三(上)期末数学试卷(理科)
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(5分)已知全集,,则
A. B. C. D.
2.(5分)已知复数,则
A. B. C.1 D.
3.(5分)某产品的广告费用与销售额的统计数据如表:
广告费用(万元) | 1 | 2 | 4 | 5 |
销售额(万元) | 6 | 14 | 28 | 32 |
根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为6.6,据此模型预报广告费用为10万元时销售额为
A.66.2万元 B.66.4万元 C.66.8万元 D.67.6万元
4.(5分)已知函数,则
A.1 B. C.2019 D.
5.(5分)在等差数列中,已知,是函数的两个零点,则的前10项和等于
A. B.9 C.18 D.20
6.(5分)已知,满足不等式组,则的最大值与最小值的比值为
A. B. C. D.2
7.(5分)如图,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为
A. B.2 C.8 D.6
8.(5分)把1,2,3,,6这六个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰先增后减,则这样的数列共有多少个?
A.31 B.30 C.28 D.32
9.(5分)在如图算法框图中,若,程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的9倍,那么判断框中应填入的关于的判断条件是
A. B. C. D.
10.(5分)在中,内角、、所对的边分别为,,,已知,,且,则
A.3 B. C. D.
11.(5分)是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线的离心率的最大值为
A. B. C.2 D.3
12.(5分)已知函数,若当方程有四个不等实根,,,时,不等式恒成立,则实数的最小值为
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.)
13.(5分)已知是定义在上的偶函数,且.若当,时,,则 .
14.(5分)已知向量,满足,,则向量在方向上的投影为 .
15.(5分)已知,则 .
16.(5分)正四棱柱中,,,设四棱柱的外接球的球心为,动点在正方形的边长,射线交球的表面点,现点从点出发,沿着运动一次,则点经过的路径长为 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.(12分)已知等比数列的公比,,且,36,成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
18.(12分)现有4名学生参加演讲比赛,有、两个题目可供选择.组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目,规则如下:选手掷出能被3整除的数则选择题目,掷出其他的数则选择题目.
(Ⅰ)求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率;
(Ⅱ)用、分别表示这4个人中选择、题目的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
19.(12分)在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,.
(1)证明:平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
20.(12分)在平面直角坐标系中,已知点,的坐标分别为,.直线,相交于点,且它们的斜率之积是.记点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)已知直线,分别交直线于点,,轨迹在点处的切线与线段交于点,求的值.
21.(12分)已知函数,.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)当时,函数,有最小值. 记的最小值为(a),求函数(a)的值域.
选考题:[选修4-4:坐标系与参数方程](共1个小题,共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.)
22.(10分)平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线过点,且与曲线交于,两点,试求.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数.
(1)解不等式;
(2)若不等式有解,求实数的取值范围.
2018-2019学年江西省新余市高三(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
【解答】解:全集,或,
.
故选:.
【解答】解:,
,
则,
故选:.
【解答】解:根据表中数据,得,;
且回归方程过样本中心点,,
所以,解得,
所以回归方程;
当时,,
即广告费用为10万元时销售额为66.2万元.
故选:.
【解答】解:函数,
,
.
故选:.
【解答】解:,是函数的两个零点,
由韦达定理可知:,
,
故选:.
【解答】解:约束条件 对应的平面区域如下图示:
当直线过时,取得最大值6.
当直线过时,取得最小值3,
故的最大值与最小值的比值为:2.
故选:.
【解答】解:直观图如图所示,底面为梯形,面积为,四棱锥的高为2,
几何体的体积为,
故选:.
【解答】解:该数列恰先增后减,则数字6一定是分界点,且前面的顺序和后面的顺序都只有一种,
当6前有1个数字时,有种,
当6前有2个数字时,有种,
当6前有3个数字时,有种,
当6前有4个数字时,有种,
根据分类计数原理,共有种,
故选:.
【解答】解:由于,
二项式展开式的通项公式是,
令,
;
的系数是.
程序运行的结果为360,
模拟程序的运行,可得,
不满足条件,执行循环体,,
不满足条件,执行循环体,,
不满足条件,执行循环体,,
不满足条件,执行循环体,,
由题意,此时,应该满足条件,退出循环,输出的值为360.
则判断框中应填入的关于的判断条件是?
故选:.
【解答】解:因为:,
所以:,即:,
由正弦定理得:,即:,
,
,即:,
,
,
,
,
.
,
,
,可得:,
,即,
.
故选:.
【解答】解:设双曲线的焦点,直线,
可设点,,,
由两直线的夹角公式可得
,
由,
可得,
化简可得,即,
即有.
当且仅当,即,离心率取得最大值.
故选:.
【解答】解:函数的图象如下图所示:
当方程有四个不等实根,,,时,
,即,,
,即,
且,
若不等式恒成立,
则恒成立,
由
故,
故实数的最小值为,
故选:.
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.)
【解答】解:由.则,
为周期为6的周期函数,
(1),
由是定义在上的偶函数,则(1),
当,时,,
,
,
故答案为:6.
【解答】解:,,
,
,
在方向上的投影为.
故答案为:.
【解答】解:,
,
,
,
,
故答案为:.
【解答】解:由题意,点从点出发,沿着运动一次,则点经过的路径是四段大圆上的相等的弧.
正四棱柱中,,,
四棱柱的外接球的直径为其对角线,长度为,
四棱柱的外接球的半径为,,
所在大圆,所对的弧长为,
点经过的路径长为.
故答案为:.
三、解答题(本大题共5小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
【解答】(本题满分12分)
解:(1)由得: 即
又因为,36,成等差数列 所以
将代入得:
从而:,
所以: .(6分)
(2)
①
②
①②得:
.(12分)
【解答】解:由题意知,这4个人中每个人选择题目的概率为,选择题目的概率为,
记“这4个人中恰有人选择题目”为事件,1,2,3,,
,
(Ⅰ)这4人中恰有一人选择题目的概率为;
(Ⅱ)的所有可能取值为0,3,4,且,,,
的分布列是
0 | 3 | 4 | |
所以.
【解答】证明:(1)连接,则和都是正三角形.
取中点,连接,,
因为为的中点,所以在中,,
因为,所以,
又因为,所以平面,
又平面,所以.
同理,
又因为,所以平面.
解:(2)如图,以为原点,建立空间直角坐标系,
则,,,,2,,,0,,
,2,,,3,,
设平面的法向量为,,,
则,取,得,
取平面的法向量,0,,
则,
所以二面角的余弦值是.(12分)
【解答】解:(Ⅰ)设点坐标为,则
直线的斜率;
直线的斜率.
由已知有,
化简得点的轨迹的方程为.
(Ⅱ)设,,则.
直线的方程为,令,得点纵坐标为;
直线的方程为,令,得点纵坐标为;
设在点处的切线方程为,
由,得.
由△,得,
整理得.
将代入上式并整理得:,解得,
切线方程为.
令得,点纵坐标为.
设,则,
.
.
将代入上式,得,
解得,即.
【解答】解:(Ⅰ),
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以当时,取得最大值(e),
的最大值;(4分)
(Ⅱ),由(Ⅰ)及,得:
①当时,,,单调递减,当时,取得最小值(e)(a).(6分)
②当,,(1),(e),所以存在,,且,
当时,,单调递减,当,时,,单调递增,
所以的最小值为(a).(9分)
令(a),
因为,所以在,单调递减,此时,.
综上,(a),.(12分)
选考题:[选修4-4:坐标系与参数方程](共1个小题,共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.)
【解答】解:(1)把直线的参数方程化为普通方程为.
由,可得,
曲线的直角坐标方程为.
(2)直线的倾斜角为,
直线的倾斜角也为,又直线过点,
直线线的参数方程为为参数),
将其代入曲线的直角坐标方程可得,
设点,对应的参数分别为,.
由一元二次方程的根与系数的关系知为,.
.
[选修4-5:不等式选讲]
【解答】.解:(1),
或或,.(3分)
解得:或或无解,
综上,不等式的解集是.(5分)
(2),
当时等号成立,.(7分)
不等式有解,
,
,或,
即或,
实数的取值范围是,,.(10分)
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日期:2019/12/17 21:23:40;用户:18434650699;邮箱:18434650699;学号:19737267
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