2018-2019学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若复数满足，则　　

A．或 B．或 C．或 D．

2．（5分）函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知相异直线，和不重合平面，，则的一个充分条件是　　

A．， B．，， C．，， D．，，

4．（5分）定义运算，则函数的图象是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）的展开式中，的系数是　　

A．120 B． C．100 D．

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是　　

A．36 B．32 C．30 D．27

7．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的离心率为　　

A．4 B．3 C．2 D．

8．（5分）在中，若，，，则当最小时，　　

A． B． C． D．

9．（5分）已知函数（1），且其图象在点处的切线的倾斜角为，则的值为　　

A． B． C． D．

10．（5分）已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，记红豆落在内的概率为，落在内的概率为，，则　　

A． B． C． D．

11．（5分）数列1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，1，2，，其相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，则数列的前209项的和为　　

A．279 B．289 C．399 D．409

12．（5分）已知且，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知集合，，则　　．（用区间表示）

14．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，若最终输出的，则开始时输入的的值为　　

15．（5分）设实数，满足，若的最大值为16，则实数　　．

16．（5分）已知过椭圆上一点，的切线方程为，若分别交，轴于，两点，则当最小时，　　．为坐标原点）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．在中，，，分别为内角，，的对边，且．．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

18．设，，，数列的前项和，点，均在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前项和，求满足的最大正整数．

19．如图，正三棱柱中，（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）设是线段的中点，求直线与平面所成的角的正弦值．

20．为了积极支持雄安新区建设，某投资公司计划明年投资1000万元给雄安新区甲、乙两家科技企业，以支持其创新研发计划，经有关部门测算，若不受中美贸易战影响的话，每投入100万元资金，在甲企业可获利150万元，若遭受贸易战影响的话，则将损失50万元；同样的情况，在乙企业可获利100万元，否则将损失20万元，假设甲、乙两企业遭受贸易战影响的概率分别为0.6和0.5．

（1）若在甲、乙两企业分别投资500万元，求获利1250万元的概率；

（2）若在两企业的投资额相差不超过300万元，求该投资公司明年获利约在什么范围内？

21．设点在以，为焦点的椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）经过作直线交于两点，，交轴于点，若，，且，求与．

22．已知函数．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；

（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件．

2018-2019学年河北省保定市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【解答】解：设，

由，得，

，解得或．

或．

故选：．

【解答】解：为上的连续函数，

且（1），（2），

（1）（2），

故函数的零点所在区间为：，

故选：．

【解答】解：平行于同一平面的两条直线位置关系不确定，错误；

，，，直线、有可能相交或异面，错误；

，，，又，，正确；

，，，错误．

故选：．

【解答】解：从定义运算上看，对于任意的、，实质上是求与中最大的，

就是取1与中较大的一个，

对于对数函数，当，，当时，．

故选：．

【解答】解：

的展开式的通项为

令得展开式中的项的系数是

令得展开式中的项的系数是

的展开式中的项的系数是

故选：．

【解答】解：根据几何体的三视图：

把几何体转换为：

所以．

故选：．

【解答】解：抛物线的焦点是，

双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，

，，，

．

故选：．

【解答】解：，，，

，

令，

根据二次函数的性质可知，当，，此时最小，

，，，

，

，即，

故选：．

【解答】解：（1），

（1），

（1）（1），

即（1），，

图象在点处的切线的斜率（2），

则

，

故选：．

【解答】解：如图，令，，．

则为△ 的重心，

，

而，，．

，

，，．

则．

故选：．

【解答】解：该数列的规律是相邻的两个1被2隔开，第对1之间有个2，

当时，共有个数，

则前209项的和为．

故选：．

【解答】解：根据题意，，

又由，则原不等式等价于，

不妨设，，，

，

即函数为增函数，

所以当时，，

故选：．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

【解答】解：，，，

则，

故答案为：．

【解答】解：第一次输入，

执行循环体，，，

执行循环体，，，

执行循环体，，，

输出的值为0，解得：，

故答案为：．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示；

由得：，

同样地，得，；

，即，分，两种情况；

当时，

目标函数在点取最大值，即直线在轴上的截距最小，即的值最大，

所以，解得；

当时，目标函数在点时截距最小，此时取得最大值，

所以，解得，不合题意；

综上，的值为5．

故答案为，5．

【解答】设切点为．则椭圆在处的切线方程为．

令，则，令，则

．

当的时，最小为，

．

此时，．

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

【解答】解：（1）．

由正弦定理可得：．

由余弦定理可得：，

，

．

（2），，，

由余弦定理，可得：，可得：，解得：，（负值舍去），

的面积．

【解答】解：（1）因为．

又因为点，均在函数的图象上，所以．

当时，．

当时，，

所以， ．

（2），

所以，．

对所有都成立对所有都成立

故所求最大正整数为8．

【解答】证明：（1）取中点，的中点为，连结，，，

则有，且，

四边形为平行四边形，，

面，面，，

又，平面，故平面．

所以平面平面．

解：（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，

是线段的中点，，1，

，

设是平面的一个法向量，

由，得

取，得，

设直线与平面所成的角为．

则直线与平面所成的角的正弦值：

，．

【解答】解：（1）由已知条件可知，在甲、乙两公司分别投资500万元的情况下欲获利1250万元，

须且必须两公司均不遭受贸易战的影响；

故所求的概率为．

（2）设投资100万元在甲公司获利万元，则的可能取值为150和万元；

又甲公司遭受贸易战影响的概率为0.6，

故投资100万元在甲公司获利的期望为万元；

同理在乙公司获利的期望为万元；

设在甲、乙两公司的投资分别为，万元，

则平均获利为：

万元（其中；

由于上述函数为减函数，所以其获利区间范围为335与365万元之间．

【解答】解：（1）点在以，为焦点的椭圆上，

．

又，

椭圆的方程为；

（2）法一：设、、点的坐标分别为，，，，．

，，，

，

将点坐标代入到椭圆方程中，得．

去分母整理得：

同理，由可得：

、是方程的两个根，

，又

二者联立解得．

法二：设、、点的坐标分别为，，，，．

直线 存在斜率，设直线 的斜率为，则直线 的方程是．

将直线 的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．

，．

又，，将各点坐标代入得，．

又，所以，

解得，，

，或，

代入上式可得．

【解答】解：（1）若，则，

由于△，

函数的单调递增区间为，没有单调递减区间．

（2），

，

在区间上不单调，

由题意知，

当，时，，且，

函数的对称轴为直线，

①当，即时，

由（3），得，

由得，

此时解集为空集；

②当，即时，

由得，

由（3）得，

此时解集为空集；

 ，

由（3），得，

由，得或，

此时解集为；

④若，

由得，

由得或，

此时解集为

综上可得，的取值范围是．

（3）证明：

当△，

即时

函数在上单调递增

故在上不可能有三个不同零点

若在上有三个不同零点，则必有△，

即或是在上有三个不同零点的必要条件；

而当，时，满足或

但

即此时只有两个不同零点

同样，当时，满足或，

但

即此时也只有两个不同零点，

，或是在上有三个不同零点的不充分条件，

故或是在上有三个不同零点的必要不充分条件．

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日期：2019/12/26 15:39:44；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267