2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）设集合，，，则　　

A．， B．，1，3， C．，3，5， D．

2．（5分）在等差数列中，已知，则该数列前11项和　　

A．58 B．88 C．143 D．176

3．（5分）下列函数中，值域是的是　　

A． B． C． D．

4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为　　

A．4 B． C． D．

5．（5分）设，均为实数，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知，为异面直线，平面，平面．直线满足，，，，则　　

A．且 B．且 

C．与相交，且交线垂直于 D．与相交，且交线平行于

7．（5分）设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则　　

A．3 B．1 C． D．

8．（5分）过点总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是　　

A．或 B．或 

C．或 D．或

9．（5分）设是上的奇函数，且，下面关于的判定：其中正确命题的个数为　　

①（4）；

②是以4为周期的函数；

③的图象关于对称；

④的图象关于对称．

A．1 B．2 C．3 D．4

10．（5分）设，满足约束条件，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

11．（5分）已知，都是定义在上的函数，，，且，且，，若数列的前项和大于62，则的最小值为　　

A．6 B．7 C．8 D．9

12．（5分）已知函数，，，（其中为正整数，，，则的零点个数为　　

A． B． C． D．与有关

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）设复数满足，则复数的共轭复数为　　．

14．（5分）在中，已知，，，为的中点，则向量在方向上的投影为　　．

15．（5分）已知不等式对任意正实数，恒成立，则正实数的最小值为　　．

16．（5分）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，且，是它们的一个公共点，，分别为椭圆和双曲线的离心率．若满足，则△面积的取值范围是　　．

三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项；

（2）求数列的前项和

18．（12分）已知函数，．

（1）求的最小正周期和最值；

（2）已知，，，求证：．

19．（12分）在三棱柱中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，点在平面的射影在上，且与平面所成角的正弦值为，求三棱柱的高．

20．（12分）已知椭圆过点，两个焦点为，，，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求以点为中点的弦所在的直线方程，并求此时的面积．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在实数，使得函数的极值大于0？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．

22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为为参数），直线与曲线相交于，两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若，求的值．

2018-2019学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）

【解答】解：集合，2，3，4，5，，

，，

，3，5，．

故选：．

【解答】解：在等差数列中，已知，

，

，

故选：．

【解答】解：；

；

；

该函数的值域是，该选项错误；

；

；

该函数的值域为，，该选项错误；

；

该函数的值域为，该选项正确；

；

该函数的值域为，．

故选：．

【解答】解：由题意三视图可知，几何体是直四棱锥，

底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，

所以四棱锥的体积．

故选：．

【解答】解：由”能推出“”，是充分条件，

反之，不成立，比如，，不是必要条件，

故选：．

【解答】解：由平面，直线满足，且，所以，

又平面，，，所以．

由直线，为异面直线，且平面，平面，则与相交，否则，若则推出，

与，异面矛盾．

故与相交，且交线平行于．

故选：．

【解答】解：因为为定义在上的奇函数，

所以，

解得，

所以当时，，

又因为为定义在上的奇函数，

所以（1），

故选：．

【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：，

所以，解得：，

又点应在已知圆的外部，

把点代入圆方程得：，即，

解得：或，

则实数的取值范围是，，．

故选：．

【解答】解：是上的奇函数，且，

可得，，

即有的图象关于直线对称；

由，

可得为4为周期的函数，

又，可得（4），

则①②③正确；④错误．

故选：．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：其中，

，

设，则的几何意义为平面区域内的点到定点的斜率，

由图象知的斜率最小，的斜率最大，

则的斜率，的斜率为，

即，

则，

，

即的取值范围是，，

故选：．

【解答】解：，

，

，

从而可得单调递增，从而可得，

，

．

故

．

，即，，．

．

故选：．

【解答】解：函数，，，的零点的个数

等于方程，，，解的个数；

设，，

，

在，，，，，，，上单调递减；

在，，，，，上单调递增；

如图中实线所示；

，由的图象可得：

时，的图象，如图中虚线所示；

则函数共有个零点；

由函数图象的对称性可得，

当时，函数零点个数仍为个．

故选：．

二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）

【解答】解：，

故，

故答案为：．

【解答】解：由余弦定理可得：

，

所以，

所以，

则，

则，的夹角为，

则向量在方向上的投影为：，

故答案为：

【解答】解：，

当且仅当时取最小值，

对任意正实数，恒成立，

，

解不等式可得，，则正实数的最小值1，

故答案为：1．

【解答】解：设，设椭圆的短半轴长为，长半轴长为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，

由焦点三角形的面积公式可得，

即，即，

等式两边同时除以4可得，，即，

在等式两边同时乘以可得，

对比等式，可得，可得，

易知为锐角，则，

易知，，由焦点三角形的面积公式可得．

故答案为：．

三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

【解答】解：（1）数列的前项和为，且①，

当时，②，

①②得：，

整理得：，

当时，（符合上式），

故：．

（2）由于：，

所以：数列，

所以：①，

②，

①②得：，

解得：．

【解答】（1）解：函数

，

的最小正周期为，，；

（2）证明：，

，

两式相加，得，

又，

则，，，

，

．

【解答】解：（Ⅰ）证明：连结交于点，连结．

则是的中点，又为，所以，且面，，

平面；

（Ⅱ）取的中点，连结，点在面上的射影在上，且．

面，则可建立如图的空间直角坐标系，设．

，，则，，，，0，，，0，，，，

，，．

设为面的法向量，，

取，则，

由与平面所成角的正弦值为，即，可得．

三棱柱的高．

【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，

由椭圆定义可得，，，

因此，椭圆的方程为；

（2）设点，、，，由题意可得，所以，，

将点、的坐标代入椭圆的方程可得，

上述两式相减得，所以，，

即，即，则，

所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即．

将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，

由韦达定理可得，，

由弦长公式可得，

点到直线的距离为，

因此，的面积为．

【解答】解：（1），，，

当时，，故在上单调递增；

当时，由于，故，于是，

，故在上单调递增；

当时，得，，即在上单调递增；

由得，，即在，上单调递减；

函数在，，单调递增，在，单调递减．

（2）由（1）可知，当，时函数取到极大值，此时

，，，

有两个不等的根

即有两个不等的根

即有两个不等的根

构造函数与，则两个图象有两个不同的交点

过，的对称轴为直线，顶点坐标为

，解得

【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为，

转换为直角坐标方程为：，

过点的直线的参数方程为为参数），

站换为直角坐标方程为：．

（2）由于：直线与曲线相交于，两点．

直线的方程转换为标准式为：为参数），代入，

得到：，

所以：，

所以：，和为和对应的参数）

由于：，

所以：，

解得：．

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日期：2019/12/17 21:21:27；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267