2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合，，则
A．，B．，C．，D．，
2．（5分）设，则“”是“直线与直线平行”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）实数，满足，则下列不等式成立的是
A．B．C．D．
4．（5分）已知实数，满足约束条件，则的最大值等于
A．9B．12C．27D．36
5．（5分）已知角的顶点为坐标原点始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，则
A．B．C．D．
6．（5分）已知函数，则
A．B．C．D．
7．（5分）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在的正北方向，游船正好到达处时，
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数，若将其图象沿轴向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则实数的最小值为
A．B．C．D．
9．（5分）函数，的图象大致为
A．B．
C．D．
10．（5分）直线与双曲线的一条渐近线平行，过抛物线的焦点，交于，两点，若，则的离心率为
A．2B．C．D．
11．（5分）已知圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，点，，，在底面圆周上，当四棱锥体积最大时，
A．B．C．D．
12．（5分）在平面四边形中，面积是面积的2倍，数列满足，且，则
A．31B．33C．63D．65
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则 ．
14．（5分）《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布 尺．
15．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为 ．
16．（5分）已知偶函数满足：当时，，若恰有三个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．
17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，的面积为，已知．
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
18．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求证：是等比数列；
（2）数列满足数列满足，求数列的前项和．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，．
（1）证明：平面；
（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．
20．（12分）已知圆，点，，动点在上，线段的垂直平分线与直线相交于点，的轨迹是曲线．
（1）求的方程；
（2）已知过点的直线与交于，两点，是与轴正半轴的交点，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
21．（12分）已知函数，若存在极大值点和极小值点．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）过点作的垂线交于，两点，点在轴上方，求．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．函数，不等式的解集为．
（1）求的值；
（2）求证：对任意，存在，使得不等式成立．
2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【解答】解：，，
，
故选：．
【解答】解：当时，两直线方程分别为与直，满足两直线平行．
当时，两直线方程分别为与直满足平行，但不成立，
“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．
故选：．
【解答】解：对于选项：当，时，，故选项错误，
对于选项：因为在上为增函数，又，所以，所以，故选项正确，
对于选项：当，时，，故选项错误，
对于选项：当，时，，故选项错误，
故选：．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得：，
化目标函数为，
由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，最大．
此时．
故选：．
【解答】解：角的顶点为坐标原点始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，
，，，
则，
故选：．
【解答】解：函数，
，
．
故选：．
【解答】解：设船的实际速度为，和的夹角为，
北岸的点在的正北方向，游船正好到达处，则，
故选：．
【解答】解：因为，，由二倍角公式得：，
将其图象沿轴向右平移个单位，则所得图象对应的解析式为：
，
所得图象关于原点对称，即函数为奇函数，
即，又，所以的最小值为，
故选：．
【解答】解：函数是偶函数，关于轴对称，
，排除，
，，排除，
故选：．
【解答】解：依题意，点的坐标为，设直线的方程为，
联立方程组，消去并整理得：，设，，，，
则，，则，解得：，
直线的方程为或；直线的斜率为：．
直线与双曲线的一条渐近线平行，可得，
所以，，解得．
故选：．
【解答】解：圆锥的顶点为，母线长为2，底面半径为，点，，，在底面圆周上，
设四棱锥的高为，
，，
令，则，解得，
在上是减函数，在，上是增函数，
，
此时，．
故选：．
【解答】解：根据题意，如图，连接、，设与交于点，过点作与点，过点作与点，
若面积是面积的2倍，即，则有，
又由，则，即，
则有，
变形可得：，
设，则，
又由，
则，变形可得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
则，
则有；
则，
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【解答】解：由，得，
．
故答案为：．
【解答】解：根据题意，该女子每天织的布的数量为等差数列，设该数列为，
若该女子一个月共织布390尺，则，
该女子本月中旬织布的数量为
；
故答案为：130．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为2．
设三角形的重心为，则，设三棱柱外接球的球心为，
连接，则，三棱柱外接球的半径满足．
该三棱柱外接球的表面积为．
故答案为：．
【解答】解：，
即有一个零点0，
是偶函数，
要使恰有三个零点，则等价为当时，只有一个零点，
由，得在时只有一个根，
设和
则两个函数互为反函数，图象关于对称，
要使在时只有一个根，
则只需要函数的在处的导数即可，
即，
则，
得，
即实数的取值范围是，
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．
【解答】解：（1），
，
，
，
又，
；
（2），，
由正弦定理，
可得：，，
，
，，，
，，
，，
即的取值范围是，
【解答】解：（1）证明：，可得，
即；
时，，
可得，
即有是首项为4，公比为2的等比数列；
（2），
，
前项和
．
【解答】证明：（1）四棱锥中，平面，
四边形为平行四边形，且，
，
，，，，
，
，，
，又，
平面．
解：（2）平面，
是直线与平面所成角，
直线与平面所成角的正切值为，
，，
，，
，
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，，，，0，，，，，
，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
【解答】解：（1）依题意得，
根据椭圆的定义可得的轨迹曲线是以，为焦点的椭圆，
这里，，，，
所以
故的方程为；
（2）证明：根据题意，的方程为，是与轴正半轴的交点，则，
显然直线有斜率，设直线的方程为
与椭圆方程联立消去可得：，
变形可得：，
设，，，，
则，，
则，，
则
；
故为定值．
【解答】解：（1），
存在极大值点和极小值点，
，
令，解得，或，且，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，
故的范围为，
（2）由（1）可知，且的极大值点为，极小值点为，
，，
，
对任意恒成立，
由于此时，故，
故，
即，
设，
则，
令，
①时，△，
故，在递增，
故（a）（1），即，符合题意，
②时，△，设的两根为，，且，
则，，故，
则当时，，在，递增，
故当时，（a）（1），即，
故，矛盾，不合题意，
综上，．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
【解答】（1）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，
的轨迹方程是，
直线的极坐标方程为，即，
直线的直角坐标方程是，即；
（2）由上解之的斜率是，故其倾斜角是，所以其垂线的倾斜角是
故直线的垂线的方程可设为，将其代入整理得
，，
由题意，点在轴上方，故可令，，
．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
【解答】解：（1），
，
（2）证明：由（1）得，
，
当时，，
所以对任意，存在，使得不等式成立
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