2018-2019学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若复数为虚数单位），则
A．B．C．3D．5
2．（5分）已知全集，集合，1，2，3，4，5，，，则图中阴影部分表示的集合为
A．，B．，1，C．，2，D．，1，2，
3．（5分）为了普及消防知识，增强消防意识，某学校组织消防知识抢答活动，现在随机抽取30名学生参加本次活动，得分情况（十分制）如图所示，则得分值的众数和中位数分别为
A．5，5B．5，5.5C．5，6D．6，6.5
4．（5分）已知，满足的束条件，则的最大值为
A．1B．2C．3D．4
5．（5分）如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形内，用表示事件“豆子落在圆内”， 表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则
A．B．C．D．
6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的
A．74B．83C．177D．166
7．（5分）已知向量，，若，则
A．B．1C．2D．
8．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则
A．2B．4C．1D．3
9．（5分）函数的大致图象为
A．B．
C．D．
10．（5分）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是
A．B．C．D．
11．（5分）在四面体中，，，，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积为
A．B．C．D．
12．（5分）设曲线为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为
A．，B．C．，D．，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知函数（其中是自然对数的底数），则 ．
14．（5分）把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为 （用数字作答）．
15．（5分）已知正三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，为的中点，则直线与所成的角的余弦值为 ．
16．（5分）中，，，，是上一点且，则的面积为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为，且，数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18．（12分）如图（1），已知是边长为6的等边三角形，点、分别是边、上的点，且满足，如图（2），将沿折成四棱锥，且有平面平面．
（1）求证：平面；
（2）记的中点为，求二面角的余弦值．
19．（12分）某市为了了解民众对开展创建文明城市工作以来的满意度，随机调查了40名群众，并将他们随机分成，两组，每组20人，组群众给第一阶段的创文工作评分，组群众给第二阶段的创文工作评分，根据两组群众的评分绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图比较群众对两个阶段创文工作满意度评分的平均值及集中程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（2）根据群众的评分将满意度从低到高分为三个等级：
①假设两组群众的评价结果相互独立，由频率估计概率，求创文工作第二阶段的民众满意度等级高于第一阶段的概率；
②从这40名群众中随机抽取2人，记表示满意度等级为“非常满意”的群众人数，求的分布列与数学期望．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，与轴、轴分别交于、两点（且、在、之间或同时在、之外）．问：是否存在定值，使得的面积与的面积总相等，若存在，求的值，并求出实数取值范围；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，是的两个极值点，证明：．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设直线的极坐标方程为，若直线与曲线交于，两点，且，求直线的直角坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，，，使得成立，求实数的取值范围．
2018-2019学年广东省汕头市高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
【解答】解：，
则．
故选：．
【解答】解：集合，1，2，3，4，5，，
或，
．
图中阴影部分表示的集合为，2，．
故选：．
【解答】解：由条形图得：
众数为5，中位数为：．
故选：．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线过点时，
在轴上截距最小，此时取得最大值4．
故选：．
【解答】解：如图所示，半径为1的圆是正方形的内切圆，
将一颗豆子随机地扔到正方形内，
用表示事件“豆子落在圆内”， 表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，
则（A），
，
．
故选：．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
，
不满足条件，执行循环体，，
不满足条件，执行循环体，，
不满足条件，执行循环体，，
不满足条件，执行循环体，，
不满足条件，执行循环体，，
此时，满足条件，退出循环，输出的值为177．
故选：．
【解答】解：；
；
；
解得．
故选：．
【解答】解：由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，
该几何体的体积为，．
故选：．
【解答】解：，排除，，
，
则函数是偶函数，排除，
故选：．
【解答】解：函数的图象向右平移个单位，
可得的图象．
再根据所得图象关于轴对称，可得，，
则令，可得的最小值为，
故选：．
【解答】解：，，，由勾股定理可得，
所以，是以为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆直径为，
当平面时，四面体的体积取最大值，
此时，其外接球的直径为，
因此，四面体的外接球的表面积为．
故选：．
【解答】解：的导数为，
设，为上的任一点，
则过，处的切线的斜率为，
的导数为，
过图象上一点，处的切线的斜率为．
由，可得，
即，
任意的，总存在使等式成立．
则有的值域为，．
的值域为，
有，即，，，
即，
解得：，
故选：．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
【解答】解：函数（其中是自然对数的底数），
则，
则（1），
故，
故答案为：．
【解答】解：先将票分为符合条件的3份，由题意，3人分5张票，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，
再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．
故答案为：36
【解答】解：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，
设正三棱柱的所有棱长都为2，
则，2，，，1，，，0，，
，1，，
，，，，1，，
设直线与所成的角为，
则．
直线与所成的角的余弦值为．
故答案为：．
【解答】解：，，，
在中，由正弦定理，可得：，
解得：，可得：，
，
，
，可得：，
，
在中，由余弦定理可得：，解得：，或3．
，，可得：，可得：，与矛盾，
，
在中，由正弦定理，可得：，
．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【解答】解：（1）当时，，
时，①
②
①②得：
是以为首项，2为公比的等比数列，
（2），，
，
，
，为公差为2的等差数列，
，
又，
，
．
【解答】证明：（1）依题意，，，
在△中，由余弦定理得，
，，，
平面平面，
平面．
解：（2）由（1）得平面，且，
以为原点建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，，，，
，，，，，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的一个法向量，，，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
【解答】解：（1）通过茎叶图可以看出：组群众给第二阶段创文工作满意度评分的“叶”分布在“茎”的7，8，9上，
也相对集中在峰值的随近，
故组级第二阶段创文工作满意度评分的平均分高于组群众给第一阶段创文工作满意度评分的平均值，
给分相对组更集中稳定．
（2）①记表示事件“第一阶段创文工作满意度等级为不满意”，
表示事件“第一阶段创文工作满意度等级为满意”，
表示事件“第二阶段创文工作满意度等级为满意或非常满意”，
表示事件“第二阶段创文工作满意度等级为非常满意”，
则由频率估计概率，得：，，，，
设创文工作第二阶段的民众满意度等级高于第一阶段为事件，
由事件的相互独立性，得创文工作第二阶段的民众满意度等级高于第一阶段的概率：
（A）
．
②由已知在被随机调查的40名群众中，创文工作满意度为“非常满意”的人数为8人，
其他等级为32人，则从中随机抽取2人，，1，2，
，
，
，
的分布列为：
．
【解答】解：（1）依题意可得，
椭圆方程为：；
（2）联立，消去，可得，
△，
由△，可得，
设，，，，则，
由题意可设，，，
的面积与的面积相等恒成立
线段的中点和线段中点重合．
即有，解得，
由且，可得或．
即存在定值，都有的面积与的面积相等．
此时，实数取值范围为，．
【解答】解：（1），．
令．则，的对称轴为，△．
①时，，函数在上是增函数；
②当时，△，可得，，函数在上是增函数；
③当时，△，由，解得，．
在，，上，，，函数是增函数；
在，，，，函数是减函数．
综上可得：在，，上，函数是增函数；
在，，函数是减函数．
（2）证明：假设，由，是函数的极值点，则，是的两个实数根，，，．
．
即．
令，即．
令，（1）．
，
函数在内单调递减，（1）．
即．
．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
【解答】解：（1）曲线的参数方程为为参数），
曲线的普通方程为，即，
曲线的极坐标方程为．
（2）直线的极坐标方程为，
直线的参数坐标方程为，为参数），
代入，得，
整理，得，
设，两点对应的参数分别为，，
则，，
，
解得，直线的斜率为．
直线的直角坐标方程为或．
[选修4-5：不等式选讲]
【解答】解：（1）时，函数，
；
当时，不等式化为，解得，即；
当时，不等式化为恒成立，；
当时，不等式化为，解得，即；
综上所述，不等式的解集为，；
（2）函数，
函数在上的最小值为，
又，，使得成立，
所以，即，
解得或，
实数的取值范围是，，．
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日期：2019/12/17 21:23:27；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意

0
1
2