2018-2019学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三（上）期末数学试卷（理科），共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知全集，2，3，4，5，，集合，2，，，3，，则
A．B．，C．，D．，3，5，
2．（5分）欧拉公式是自然对数的底，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有．根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若向量与共线，则实数
A．B．C．1D．2
4．（5分）若数列是公比不为1的等比数列，且，则
A．B．C．D．
5．（5分）设，定义符号函数，则下列正确的是
A．．B．
C．D．
6．（5分）运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合，从集合中任取一个元素，则函数在是增函数的概率为
A．B．C．D．
7．（5分）已知函数，，的导函数为，的解集为，若的极小值等于，则的值是
A．B．C．2D．5
8．（5分）已知的展开式中常数项为，则的值为
A．2B．C．D．4
9．（5分）已知函数在区间，上是增函数，且在区间，上存在唯一的使得，则的取值不可能为
A．B．C．D．1
10．（5分）直线与双曲线的渐近线交于，两点，设为双曲线上的任意一点，若，，为坐标原点），则下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
11．（5分）如图，在正方体中，平面垂直于对角线，且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形，记此截面六边形的面积为，周长为，则
A．为定值，不为定值B．不为定值，为定值
C．与均为定值D．与均不为定值
12．（5分）设函数，．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）实数，满足不等式，则的最大值为 ．
14．（5分）现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置），俯视图分别为图1、图2、图3，则 一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是 ．
15．（5分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴．若以为直径的圆截直线所得的弦长为1，则实数的值为 ．
16．（5分）设数列的前项和为满足：，，2，，．则 ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，，，，，四点共圆，为钝角且，，．
（1）求；
（2）设，，求的值．
18．（12分）已知，分别为椭圆的左、右焦点．
（1）当时，若是椭圆上一点，且位于第一象限，，求点的坐标；
（2）当椭圆的焦距为2时，若直线与椭圆相交于，，，两点，且，试求的面积．
19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，．
（1）求证：；
（2）若点，分别是棱，的中点，平面与棱的交点，
则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长，
若不存在，请说明理由．
20．（12分）有甲乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下：
甲公司
乙公司
（1）根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由；
（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布：
若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的的观测值为，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？
附：
21．（12分）已知，设，，，，且，记；
（1）设，其中，试求的单调区间；
（2）试判断弦的斜率与的大小关系，并证明；
（3）证明：当时，．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，，直线的极坐标方程为．
（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；
（2）若是曲线上的动点，为线段的中点．求点到直线的距离的最大值．
【选修4-5：不等式选讲】
23．已知函数，．
当时，求不等式的解集；
设，且当，时，，求的取值范围
2018-2019学年湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【解答】解：，5，；
，．
故选：．
【解答】解：由题意可得，．
表示的复数在复平面对应的点的坐标为，，位于第三象限．
故选：．
【解答】解：根据图形可看出；
满足与共线；
．
故选：．
【解答】解：表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，
，
，
设，公比为，
，
，
故选：．
【解答】解：①当时，，
当时，，
当时，，
②当时，，
当时，，
当时，，
故．
故选：．
【解答】解：模拟程序的运行，可得，3，，
其中基本事件的总数为3，
设集合中满足“函数，，是增函数”为事件，
当函数，，是增函数时，
事件包含基本事件为2，
则（E）．
故选：．
【解答】解：依题意得的解集是，，
于是有，，，
解得，，
函数在处取得极小值，
有（3），
，
故选：．
【解答】解：的展开式的通项为．
取，得，取，得（舍．
的展开式中常数项为，得．
故选：．
【解答】解：在区间，上是增函数，
，即，即，则，
若在区间，上存在唯一的使得，
则，即，即，则，
即不成立，
故选：．
【解答】解：由题意，，，
设，则
，
为双曲线上的任意一点，
故选：．
【解答】解：将正方体切去两个正三棱锥与后，
得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体，
的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，
将的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个，如图，
而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中，
由题意得，故为定值．
当位于中点时，多边形为正六边形，而当移至处时，为正三角形，
由题意知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故不为定值．
故选：．
【解答】解：，
令，
则，
而是上的单调递增函数，又是奇函数，
于是有．
故，
得，
，，则．
故．
实数的取值范围是，．
故选：．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．
【解答】解：实数，满足不等式组，对应的平面区域如图：
三角形的三边及其内部部分：
联立，解得：．
联立，解得：．
设，则可看作是一条斜率为的动直线，
由图数形结合可知，当直线过点时，最大为，
当直线过点时，最小为．
，
，
的最大值为21，
故答案为：21．
【解答】解：编号为①的三棱锥，其直观图可能是①，
其侧棱底面，侧面底面，满足条件；
编号为②的三棱锥，其直观图可能是②
，
其侧面平面，满足条件；
编号为③的三棱锥，其直观图可能为③，
其中不存在侧面与底面互相垂直的情况．
综上，满足题意的序号是①②．
故答案为：①②．
【解答】解：把代入可得，不妨设在第一象限，
则，，
又，，直线的方程为，即，
原点到直线的距离，
以为直径的圆截直线所得的弦长为1，
，解得．
故答案为：．
【解答】解：数列的前项和为满足：，，2，，．
则：当时，，
当时，，
所以：，
故：
故：，
故答案为：
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
【解答】（本题满分为12分）
解：（1），且角为钝角，
．
在中，由余弦定理得，，
，解得，或（舍，
．（6分）
（2）连接，则与互补，
于是，
在中，由正弦定理：，可得：．（12分）
其它方法酌情给分．
【解答】解：（1）设，，有，解得，，于是，
（2）由于，椭圆方程为，
联立直线得，得，
，，
，
得满足△，
，
点到直线的距离，
于是．
【解答】（1）证明：记，连结，
底面为正方形，．
，，
平面底面，平面，
底面．
底面，．
；
（2）解：以为坐标原点，射线，，的方向分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
由（1）可知．
可得，0，，，，，，0，，，2，，，0，，
可得，，，，，1，．
，．
设平面的法向量，
由，令，可得．
记，可得，0，，
，
由，可得，，解得．
可得，．
记，可得，，，
，若，则，
，解得．
故．
【解答】解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量，，
则，
，
，
，
则，，
我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；
或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；
（2）因为，根据表中对应值，
得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，
由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的列联表如下：
计算，
且，
对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，
由，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．
【解答】（1）解：，．
若，则，为上的增函数，
若，由，解得．
当时，，当，时，，
的增区间为，减区间为，；
（2）解：．
证明如下：．
令，则，，
而（1）．故在单调递增，故；
（3）证明：当时，原不等式等价于，
由（2）知，
即证，转化为．
令，，
（1），故时成立．
即当时，．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】
【解答】解：（1）直线的极坐标方程为，即．
由，，可得直线的直角坐标方程为．
曲线的参数方程为，其中为参数，
曲线的普通方程为．（5分）
（2）设，，，．
点的极坐标，化为直角坐标为．
则．
点到直线的距离．
当时，等号成立．
点到直线的距离的最大值为．（10分）
【选修4-5：不等式选讲】
【解答】解：（Ⅰ）当时，求不等式化为．
设，则，它的图象如图所示：
结合图象可得，的解集为，故原不等式的解集为．
（Ⅱ）设，且当，时，，不等式化为，
故对，都成立．
故，
解得，
故的取值范围为，．
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日期：2019/12/17 21:18:04；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267职位
月薪元
6000
7000
8000
9000
获得相应职位概率
0.4
0.3
0.2
0.1
职位
月薪元
5000
7000
9000
11000
获得相应职位概率
0.4
0.3
0.2
0.1
人员结构
选择意愿
40岁以上（含40岁）男性
40岁以上（含40岁）女性
40岁以下男性
40岁以下女性
选择甲公司
110
120
140
80
选择乙公司
150
90
200
110
0.050
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
选择甲公司
选择乙公司
总计
男
250
350
600
女
200
200
400
总计
450
550
1000