2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）

这是一份2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合，，3，4，，则　　A． B．， C．，3，4， D．，2，3，4，2．（5分）设复数满足，则　　A． B． C． D．23．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的　　A． B． C．5 D．64．（5分）在平面直角坐标系中，过，，三点的圆被轴截得的弦长为　　A．2 B． C．4 D．5．（5分）将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为　　A． B． C． D．6．（5分）设为实数，则“”是“”的　　A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）对任意实数，都有且，则实数的取值范围是　　A． B．， C． D．，8．（5分）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为　　A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）已知数列为等差数列，为其前项的和．若，，则　　．10．（5分）已知四边形的顶点，，，在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则　　．11．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为　　．12．（5分）过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，分别过，作准线的垂线，垂足分别为，．若，则　　．13．（5分）2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠．国际象棋中骑士的移动规则是沿着格或格的对角移动．在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2，3，4，5，6，，到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内．如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，　　（填“能”或“不能” 走回到标50的方格内．若骑士限制在图（二中的格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，，到达右下角标12的方格内，分析图（二中处所标的数应为　　．14．（5分）如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是　　．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在中，已知，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求边上的中线的长．16．（13分）某日，，三个城市18个销售点的小麦价格如表：销售点序号所属城市小麦价格（元吨）销售点序号所属城市小麦价格（元吨）124201025002258011246032470122460425401325005243014250062400152450724401624608250017246092440182540（Ⅰ）甲以市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格．记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对，，三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．17．（14分）如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且，分别是，的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围．19．（14分）过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，其中，另一条过的直线交椭圆于，两点（不与，重合），且点不与点重合．过作轴的垂线分别交直线，于，．（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：．20．（13分）已知，，，，是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②．（Ⅰ）若，，写出满足条件的所有的值；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）求所有可能取值中的最大值．
2018-2019学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：集合，2，，，3，4，，，2，3，4，．故选：．【解答】解：，，．则．故选：．【解答】解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，满足条件，退出循环，输出的值为．故选：．【解答】解：根据题意，设过、、的圆为圆，其方程为，又由，，，则有，解可得：，，，即圆的方程为，令可得：，解可得：，，即圆与轴的交点的坐标为，，则圆被轴截得的弦长为4；故选：．【解答】解：函数的图象向右平移个单位后，解析式为，又此时图象经过点，，或，．解得或，．又，故它最小的值是，故选：．【解答】解：若，，则：； “ “是“ “的充分条件；时，；解得； “ “是“ “的必要条件；综上得，“”是“”的充分必要条件．故选：．【解答】解：，若，则恒成立，，此时，若，则恒成立，，此时无解，综上所述，，即实数的取值范围是，．故选：．【解答】解：正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体，它的中截面（垂直平分相对顶点连线的界面）是正方形，该正方形对角线长等于正方体的棱长，所以它的棱长，以各个面的中心为顶点的正方体为图形是正方体，正方体面对角线长等于棱长的，（正三角形中心到对边的距离等于高的，对角线为，，即该小正方体的棱长为．故选：．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．【解答】解：根据题意得，， 又，，，，，故答案为：25．【解答】解：以的连线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：，，，，；．故答案为：7．【解答】解：由三视图画出该三棱锥的直观图，如图所示；则三棱锥的体积为．故答案为：．【解答】解：设直线的倾斜角为，并设为锐角，由于，则有，解得，则，由抛物线的焦点弦长公式可得，因此，．故答案为：5．【解答】解：如图所示：如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，能走回到标50的方格内，如图所示：使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2，3，4，5，6，，到达右下角标12的方格，且路线是唯一的，故处应该为8，故答案为：能，8【解答】解：设等腰三角形的底角为，则，则等腰三角形的底边为，高为，则，又，，当，即时，取最大值，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．【解答】解：（Ⅰ）由，，所以，由正弦定理得，，即；（Ⅱ）在中，，由余弦定理得，，所以，所以．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500．所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500．市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2．，，．所以分布列为：012所以数学期望．（10分）（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：，，．  （13分）【解答】．证明：（Ⅰ）取中点，连，连在△中，因为，分别是，中点，所以，且．在平行四边形中，因为是的中点，所以，且．所以，且．所以四边形是平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面．（4分）（Ⅱ）（ⅰ）因为侧面是正方形，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，，0，，，，，，0，，，，，．设平面的一个法向量为，，．由得即令，所以，1，．又因为平面，所以是平面的一个法向量．所以．由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为．故答案为：（ⅱ）假设在线段上存在点，使得．设，则．因为，又，所以．所以，．故点在点处时，有．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数．所以，的极小值为．．（Ⅱ）．当时，由，得或．（ⅰ）若，则．故在上单调递增；（ⅱ）若，则．故当时，或；当时，．所以在，单调递增，在单调递减．（ⅲ）若，则．故当时，或；当时，．所以在，单调递增，在单调递减．．（Ⅲ）（1）当时，，令，得．因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点．（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点．（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论（1）的符号：当时，（1），在区间上有且只有一个零点；当时，（1），函数在区间上无零点．（ⅲ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，（1），，此时在区间上有且只有一个零点．综上所述，【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可得直线的方程为．与椭圆方程联立，由可求．（4分）（Ⅱ）证明：当与轴垂直时，，两点与，两点重合，由椭圆的对称性，．当不与轴垂直时，设，，，，的方程为．由消去，整理得．则，．由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标．把代入得．由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标．把代入得．把，代入到中，．即，即（14分）【解答】（Ⅰ）解：的值可取27，30，33，36；（Ⅱ）证明：由，2，，对于任意的，有．当时，，即，即．则成立．是的倍数，当时，有成立．若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为．则，成立，是的倍数，故．由，得．因此当时，；（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，且是的倍数，，，，满足下面的不等式：，，，，，，，，，．则，，，，，，，，，，当时，这个数列符合条件．故所求的最大值为85．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/12/17 21:16:10；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267